Документ: Демирчян, Нейман, Коровкин, Чечурин. Теоретические основы электротехники.т.2.2003, страницы 56-60

âåòâè ñ ðåçèñòîðàìè è òîëüêî â ïîñëåäíþþ î÷åðåäü âåòâè ñ êàòóøêàìè

èíäóêòèâíîñòè. Äåðåâî, ñîñòàâëåííîå ñîãëàñíî ýòîìó ïðàâèëó, íàçûâàþò

íîð-

ìàëüíûì

. Ñîîòâåòñòâåííî â êà÷åñòâå ñâÿçåé (õîðä) ñíà÷àëà äîëæíû áûòü âûäå-

ëåíû èñòî÷íèêè òîêà, çàòåì èíäóêòèâíûå ýëåìåíòû è ðåçèñòèâíûå âåòâè è â ïî-

ñëåäíþþ î÷åðåäü âåòâè ñ êîíäåíñàòîðàìè. Ïîäãðàô, ñîñòàâëåííûé ñîãëàñíî

ýòîìó ïðàâèëó, íàçûâàþò

íîðìàëüíûì ïîäãðàôîì ñâÿçåé

(

õîðä

). Ãðàô ýëåêòðè÷å-

ñêîé öåïè, ñîäåðæàùèé íîðìàëüíîå äåðåâî è íîðìàëüíûé ïîäãðàô ñâÿçåé, ñ÷è-

òàþò

íîðìàëüíûì

èëè

ïðàâèëüíûì

.

Ñîãëàñíî óñëîâèÿì ñîñòàâëåíèÿ íîðìàëüíîãî äåðåâà è äîïîëíåíèÿ åãî äî

ïîëíîãî ãðàôà, òîêè è íàïðÿæåíèÿ ýëåêòðè÷åñêîé öåïè ìîæíî çàïèñàòü â âèäå

i i i i

i i i i i

i i

=

E

t

Ñ

t

R

t

L

t

L

t

G

t

C

t

t t

ä

c

ä

c

Á

=

,

u u u u

u u u u u

u u

=

E

t

Ñ

t

R

t

L

t

L

t

G

t

C

t

t t

ä

c

ä

c

Á

=

,

ãäå

i

E

ä

,

u

E

ä

— òîêè è íàïðÿæåíèÿ âåòâåé äåðåâà ñ èñòî÷íèêàìè ÝÄÑ;

i

C

ä

,

u

C

ä

—

òîêè è íàïðÿæåíèÿ êîíäåíñàòîðîâ, âõîäÿùèõ â ñîñòàâ âåòâåé äåðåâà;

i

R

ä

,

u

R

ä

—

òîêè è íàïðÿæåíèÿ ðåçèñòîðîâ, ñîñòàâëÿþùèõ âåòâè äåðåâà;

i

L

ä

,

u

L

ä

— òîêè è íà-

ïðÿæåíèÿ êàòóøåê èíäóêòèâíîñòåé, âõîäÿùèõ â âåòâè äåðåâà,

i

Á

ñ

,

u

Á

c

— òîêè è

íàïðÿæåíèÿ èñòî÷íèêîâ òîêà, îòíåñåííûõ ê ïîäãðàôó ñâÿçåé;

i

L

ñ

,

u

L

c

— òîêè è íà-

ïðÿæåíèÿ êàòóøåê èíäóêòèâíîñòåé, âêëþ÷åííûõ â ïîäãðàô ñâÿçåé,

i

R

ñ

,

u

R

c

—

òîêè è íàïðÿæåíèÿ ðåçèñòîðîâ, âõîäÿùèõ â ïîäãðàô ñâÿçåé;

i

C

ñ

,

u

C

c

— òîêè è íà-

ïðÿæåíèÿ êîíäåíñàòîðîâ, âõîäÿùèõ â ïîäãðàô ñâÿçåé.

Âîçìîæíû ñëó÷àè, êîãäà â ýëåêòðè÷åñêîé öåïè èìåþòñÿ êîíòóðû, ñîñòîÿùèå

òîëüêî èç êîíäåíñàòîðîâ è (èëè) èñòî÷íèêîâ ÝÄÑ, èëè ñå÷åíèÿ, ñîäåðæàùèå òîëü-

êî êàòóøêè èíäóêòèâíîñòè è (èëè) èñòî÷íèêè òîêà. Çàäà÷è ðàñ÷åòà òàêèõ öåïåé

ðàññìîòðåíû â § 9.11.

Â ñîîòâåòñòâèè ñ òàêèì ðàçáèåíèåì âåòâåé ìîæíî âûäåëèòü ÷åòûðå ïîäìàò-

ðèöû-ñòðîêè â ìàòðèöå êîíòóðîâ

C

, ñîîòâåòñòâóþùèå: 1) âåòâÿì-ñâÿçÿì, ñîäåð-

æàùèì èñòî÷íèêè òîêà; 2) âåòâÿì-ñâÿçÿì, ñîäåðæàùèì êàòóøêè èíäóêòèâíîñòè;

3) âåòâÿì-ñâÿçÿì, ñîäåðæàùèì ðåçèñòèâíûå ýëåìåíòû; 4) âåòâÿì-ñâÿçÿì, ñîäåð-

æàùèì êîíäåíñàòîðû. Ñëåäîâàòåëüíî,

E

C

r

L

L g C

L

g

C

E

C

R

L

LE

LC

L

ä

c

Á

=

Á

Ñ

F

1 0 0 0

F

R

LL

GE

GC

GR

CE

CC

F

0 1 0 0

F

0

0 0 1 0

F

0

0 0 0 1

Ïî ïðèîðèòåòó îòíåñåíèÿ êîíäåíñàòîðîâ ê ïîäãðàôó ñâÿçåé â êîíòóð, îáðà-

çîâàííûé çâåíîì (êîíäåíñàòîðîì), íå ìîãóò âîéòè ðåçèñòèâíàÿ è èíäóêòèâíàÿ

âåòâè äåðåâà, ò. å. ðàâíû íóëþ ïîäìàòðèöû

F

CR

è

F

CL

. Äåéñòâèòåëüíî, åìêîñòíàÿ

âåòâü ìîæåò áûòü îòíåñåíà ê êàòåãîðèè ñâÿçåé, åñëè îíà îáðàçóåò êîíòóð, ñîäåð-

æàùèé èñòî÷íèê ÝÄÑ è êîíäåíñàòîðû. Åñëè íåêîòîðûé óçåë ñîåäèíåí ñ äðóãè-

ìè óçëàìè èíäóêòèâíûìè ýëåìåíòàìè, òî âåòâü ñ îäíîé èç íèõ äîëæíà âîéòè

58

×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé

â ñîñòàâ äåðåâà. Òîãäà âåòâü

L

ä

ìîæåò âîéòè â ñå÷åíèÿ, îáðàçîâàííûå

L

c

-ñâÿçÿìè.

Òàêèì îáðàçîì, â ñå÷åíèÿ, îáðàçîâàííûå èç

g

c

ðåçèñòèâíûõ âåòâåé-ñâÿçåé, âåòâè

äåðåâà

L

ä

íå âõîäÿò. Ñëåäîâàòåëüíî, ðàâåí íóëþ è ýëåìåíò

F

GL

.

Â ñîîòâåòñòâèè ñ èçâåñòíûìè ñîîòíîøåíèÿìè

D

1 F

C

F 1

= -

=

t

,

çàêîíû

Êèðõãîôà ìîæíî çàïèñàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì:

E Ñ r L

L

g

C

E

C

R

L

E

t

LE

t

GE

t

CE

ä

c

ä

Á

=

Á

Di

1 0 0 0

F

–

t

C

t

LC

t

GC

t

CC

t

R

t

LR

t

GR

t

0 1 0 0

F

0 0 1 0

F

0

0 0 0 1

–

Á

F

0

i 0

Á

=

L

t

LL

t

–

;

1 F

i

0

-

=

t

ä

ñ

;

E

C

r

L

L G C

L

g

C

E

C

R

L

LE

LC

ä

c

Á

=

Á

Cu

F

1 0 0 0

F

LR

LL

GE

GC

GR

CE

CC

F

0 1 0 0

F

0

0 0 1 0

F

0

0 0 0 1

u 0

=

;

F 1

u

0

ä

ñ

=

;

ãäå

1

— åäèíè÷íûå ìàòðèöû, ðàçìåðíîñòè êîòîðûõ îïðåäåëÿþòñÿ ÷èñëîì ñòðîê

â ïîäìàòðèöàõ

F

ij

;

E

ä

,

C

ä

— íîìåðà âåòâåé, âõîäÿùèõ â äåðåâî è ñîäåðæàùèõ èñ-

òî÷íèêè ÝÄÑ, êîíäåíñàòîðû è ò. ä.;

Á

ñ

,

L

c

— íîìåðà âåòâåé, âõîäÿùèõ â ïîäãðàô

ñâÿçåé è ñîäåðæàùèõ èñòî÷íèêè òîêà, èíäóêòèâíûå ýëåìåíòû è äð. Ðàíæèðîâà-

íèå âåòâåé è èõ íóìåðàöèÿ ïîä÷èíåíû ïðàâèëàì ñîñòàâëåíèÿ íîðìàëüíûõ äåðå-

âà è ïîäãðàôà ñâÿçåé. Ïðè ñîñòàâëåíèè íîðìàëüíîãî ãðàôà ýëåêòðè÷åñêîé öåïè

ìàòðèöó ñîåäèíåíèé

A

òàêæå ñëåäóåò óïîðÿäî÷èòü, ðàñïîëîæèâ âåòâè òàêèì îá-

ðàçîì, ÷òîáû ñíà÷àëà áûëè ïåðå÷èñëåíû âåòâè íîðìàëüíîãî äåðåâà, à çàòåì óæå

è íîðìàëüíîãî ïîäãðàôà ñâÿçåé:

A

A A

=

ä

c

. Äëÿ íîðìàëüíîãî ãðàôà ñïðàâåä-

ëèâî ðàâåíñòâî

Ai 0

A A

i

0

=

,

ä

c

ä

c

,

ãäå

A

— ìàòðèöà ñîåäèíåíèé ðàçìåðíîñòè (

q

– 1)

´

l

(

q

— ÷èñëî óçëîâ,

l

— ÷èñëî

âåòâåé);

i

— âåêòîð-ñòîëáåö òîêîâ (âêëþ÷àÿ âåòâè ñ èñòî÷íèêàìè òîêà) ðàçìåð-

íîñòüþ

l

. Èç ñîîòíîøåíèé

A

ä

i

ä

=

—

A

ñ

i

c

,

i

ä

=

F

t

i

ñ

ñëåäóåò, ÷òî

-

=

F

A A

t

ä

c

–1

. Òàêèì

îáðàçîì, ñîñòàâëåíèå ñ ïîìîùüþ êîìïüþòåðà ìàòðèö

C

è

D

ìîæíî ïðîèçâåñòè

Ãëàâà 9. Ðàñ÷åò ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ êëàññè÷åñêèì ìåòîäîì

59

íà îñíîâàíèè ìàòðèöû ñîåäèíåíèé

A

, êîòîðàÿ ââîäèòñÿ â êîìïüþòåð â êà÷åñòâå

÷àñòè èñõîäíûõ äàííûõ, ïðåäñòàâëÿþùèõ îïèñàíèå òîïîëîãèè ýëåêòðè÷åñêîé

öåïè.

Ðàññìîòðèì ôîðìèðîâàíèå óðàâíåíèé ñîñòîÿíèÿ äëÿ ýëåêòðè÷åñêîé öåïè,

ïðåäñòàâëåííîé íà ðèñ. 9.32. Ïàðàìåòðû öåïè â ñèñòåìå ÑÈ ñâåäåì â òàáë. 9.1.

Ýòà òàáëèöà ìîæåò áûòü çàïîëíåíà â ëþáîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè, ïî ìåðå ââåäå-

íèÿ òîïîëîãè÷åñêîãî îïèñàíèÿ â êîìïüþòåð.

Òàáëèöà 9.1

Ýëåìåíò

¹ âåòâè

Íà÷àëüíûé óçåë

Êîíå÷íûé óçåë

Çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðîâ

r

1

0

10

–13

g

2

4

5

1,5

×

10

–2

L

3

4

3

5

×

10

–4

L

4

2

3

7

×

10

–5

C

5

1

2

1,1

×

10

–13

C

6

4

2

2,1

×

10

–13

C

7

1

4

10

–13

L

8

5

3

10

–5

Á

9

1

5

10

–1

E

10

0

5

1,2

Â äàëüíåéøåì îíà ìîæåò áûòü ïåðåñòðîåíà â ñîîòâåòñòâèè ñ ïðàâèëàìè ñî-

ñòàâëåíèÿ íîðìàëüíîãî ãðàôà ýëåêòðè÷åñêîé öåïè. Ïåðåñòðîåííàÿ òàáë. 9.2 è

ñëóæèò îñíîâîé äëÿ ñîñòàâëåíèÿ ìàòðèö

A

,

C

è

D

è ðàñ÷åòà ìàòðèöû

F

. Èñïîëü-

çóÿ òàáë. 9.2, ìîæíî ñîñòàâèòü ñëåäóþùèå ìàòðèöû:

60

×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé

Ðèñ. 9.32

Òàáëèöà

9.2

Ýëåìåíò

¹ âåòâè

Íà÷àëüíûé óçåë

Êîíå÷íûé óçåë

Çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðîâ

E

10

0

5

1,2

C

5

1

2

1,1

×

10

–13

C

6

4

2

2,1

×

10

–13

r

1

0

10

–13

L

4

2

3

7

×

10

–5

Á

9

1

5

10

–1

L

3

4

3

5

×

10

–4

L

8

4

3

10

–5

g

2

5

1,5

×

10

–2

C

7

1

4

10

–13

Âåòâè

Óçëû 10

5

6

1

4

9 3

8

2

7

A

=

1

2

3
4

5

0

1 0

0

1

1 0

1

0

1

0

1 0

0

1 0

0

-

A

ä

1

2

444

3

444

1 0

0

1

0

1

1 0

0

1 0

1

1 0

1

1 0

-

A

ñ

1

2

444

3

444

;

9

3

8

2

7

A

ä

-

=

1

0

1

0

1

1 0

0

1 0

1

1 0

0

1 0

0

-

;

-

=

×

=

-

F

A

t

ä

c

1

10

5
6

1
4

1 0

1

1 0

0

1

0

1 0

1

1 0

1

1 0

0

1

1 0

0

-

;

10 5

6

1

4

F

=

9
3

8
2
7

-

1 0

0

1 0

0

1 0

1

1 0

1

1 0

0

1

1 0

0

.

Ãëàâà 9. Ðàñ÷åò ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ êëàññè÷åñêèì ìåòîäîì

61

Èç ìàòðèöû

F

ñëåäóåò, ÷òî

Ïðèâåäåííîå îïèñàíèå ýëåêòðè÷åñêîé öåïè â âèäå, óäîáíîì äëÿ ââîäà â êîì-

ïüþòåð, íå ÿâëÿåòñÿ åäèíñòâåííûì. Òàê, òàáë. 9.1 ñîäåðæèò èíôîðìàöèþ ëèøü î

õàðàêòåðå ýëåìåíòîâ, ÷èñëå âåòâåé, óñëîâíî-ïîëîæèòåëüíûõ íàïðàâëåíèÿõ òî-

êîâ è íàïðÿæåíèé (ñ ïîìîùüþ ââåäåíèÿ â òàáëèöó ïîíÿòèé íà÷àëüíîãî è êîíå÷-

íîãî óçëîâ), çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðîâ è ïîçâîëÿåò îïèñàòü ýëåêòðè÷åñêèå öåïè,

ñîñòîÿùèå òîëüêî èç äâóõïîëþñíèêîâ. Îïèñàíèå ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé, ñîäåð-

æàùèõ ìíîãîïîëþñíûå ýëåìåíòû, ñëåäóåò âûïîëíèòü èíûì ñïîñîáîì — ïóòåì

ââåäåíèÿ äîïîëíèòåëüíûõ ñòîëáöîâ, õàðàêòåðèçóþùèõ ÷èñëî ïîëþñîâ è íîìå-

ðîâ óçëîâ, ê êîòîðûì îíè ïðèñîåäèíåíû, è ññûëêè íà äîïîëíèòåëüíûå ñïèñêè

ïàðàìåòðîâ, îïèñûâàþùèå ýòè ìíîãîïîëþñíèêè èëè èõ ýêâèâàëåíòíûå ýëåêòðè-

÷åñêèå ñõåìû.

Ïåðåõîä îò òàáë. 9.1 ê òàáë. 9.2 ïðîèçâîäÿò ñ ïîìîùüþ ïîñëåäîâàòåëüíîãî

ïåðåáîðà ýëåìåíòîâ. Ñíà÷àëà â òàáë. 9.1 âûäåëÿåòñÿ ñòðîêà ñ âåòâüþ, ñîäåðæà-

ùåé ÝÄÑ, â êà÷åñòâå ïåðâîé ñòðîêè òàáë. 9.2. Ïîñëå îáðàáîòêè âåòâåé ñ ÝÄÑ â

òàáë. 9.1 âûáèðàþò ñòðîêè ñ åìêîñòíûìè ýëåìåíòàìè. Ïðè âûäåëåíèè êàæäîé

ñòðîêè â òàáë. 9.1 ïðîâåðÿåòñÿ ñîáëþäåíèå óñëîâèÿ, ïðè êîòîðîì íîâûé ýëåìåíò

íå îáðàçóåò êîíòóð ñ óæå ïîìåùåííûìè â òàáë. 9.2 ýëåìåíòàìè. Äëÿ ýòîãî äîñòà-

òî÷íî, ÷òîáû õîòÿ áû îäèí èç óçëîâ íîâîãî ýëåìåíòà íå ñîäåðæàëñÿ â ñïèñêå óç-

ëîâ, ïåðå÷èñëåííûõ ðàíåå. Åñëè ýòî óñëîâèå íå âûïîëíÿåòñÿ, òî äàííûé ýëåìåíò

çàïèñûâàåòñÿ â êîíöå òàáë. 9.2. Äîáàâëåíèå âåòâåé ñ ýëåìåíòàìè

C

,

r

è

L

ïðîèç-

âîäÿò äî òåõ ïîð, ïîêà â ñïèñîê óçëîâ íå âîéäóò âñå óçëû ýëåêòðè÷åñêîé öåïè.

Åñëè ñîáëþäåíî ïðàâèëî ïðîâåðêè îòñóòñòâèÿ êîíòóðîâ, òî ïîëíàÿ êîìïëåêòà-

öèÿ ñïèñêà óçëîâ ñâèäåòåëüñòâóåò î òîì, ÷òî ñïèñîê âåòâåé, îáðàçóþùèõ íîð-

ìàëüíîå äåðåâî (ðèñ. 9.32,

á

), â òàáë. 9.2 çàïîëíåí. Ïîñëå ýòîãî ôîðìèðóåòñÿ ïîä-

ãðàô ñâÿçåé, ñîäåðæàùèé èñòî÷íèêè òîêà, èíäóêòèâíûå êàòóøêè, ðåçèñòîðû è

óæå çàïèñàííûå â êîíöå òàáë. 9.2 êîíäåíñàòîðû.

Ñîñòàâëåíèå ìàòðèöû

A

íà îñíîâå òàáë. 9.2 íå ñîñòàâëÿåò òðóäíîñòåé. Äîñòà-

òî÷íî íóìåðîâàòü ñòðîêè ìàòðèöû

A

ïî íîìåðàì óçëîâ, à ñòîëáöû — ñîãëàñíî

íîìåðàì âåòâåé â òàáë. 9.2. Íà÷àëüíûé óçåë â òàáë. 9.2 äëÿ äàííîé âåòâè îïðåäå-

62

×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé

Материал: Демирчян, Нейман, Коровкин, Чечурин. Теоретические основы электротехники.т.2.2003

Смотрите также: