Материал: Демирчян, Нейман, Коровкин, Чечурин. Теоретические основы электротехники.т.2.2003
f t x
f t x e dt e
f t x e e dt
e
pt
px
pt px
p
(
)
(
)
(
)
-
Þ
-
=
-
=
=
-
¥
-
-
¥
-
ò
ò
0
0
x
pt
px
pt
px
f t e
dt e
f t e dt e F p
( )
( )
( ),
'
'
'
-
¥
-
-
¥
-
=
=
ò
ò
0
0
òî åñòü
f t x
e F p
px
(
)
( ).
-
Þ
-
Íàéäåì îðèãèíàë, ñîîòâåòñòâóþùèé ñìåùåíèþ èçîáðàæåíèÿ â êîìïëåêñíîé
ïëîñêîñòè íà êîìïëåêñíîå ÷èñëî
a
.
Ïóñòü
F p
f t e dt
f t
pt
( )
( )
( ).
=
Þ
-
¥
ò
0
Òîãäà
( )
F p a
f t e
dt
f t e
e
dt
f t e
p a t
at
pt
at
(
)
( )
[ ( )
]
( )
+
=
=
Þ
- +
¥
-
-
-
¥
ò
0
0
ò
,
òî åñòü
f t e
F p a
at
( )
(
).
-
Þ
+
Ïîäðîáíûå òàáëèöû ñîîòâåòñòâèÿ îðèãèíàëîâ è èçîáðàæåíèé ïðèâåäåíû
â ñïåöèàëüíûõ ñïðàâî÷íèêàõ.
10.3. Çàêîíû Êèðõãîôà è Îìà â îïåðàòîðíîé ôîðìå
Ïåðâûé çàêîí Êèðõãîôà â ïðèìåíåíèè ê óçëó öåïè äëÿ äåéñòâèòåëüíûõ òîêîâ
èìååò âèä
i
k
å
=
0.
Òàê êàê òîê
i
k
èçîáðàæàåòñÿ ñ ïîìîùüþ èíòåãðàëà Ëàïëàñà, à èíòåãðàë ñóììû
ðàâåí ñóììå èíòåãðàëîâ îò ñëàãàåìûõ ýòîé ñóììû, òî ïåðâûé çàêîí Êèðõãîôà â
îïåðàòîðíîé ôîðìå çàïèñûâàåòñÿ â âèäå
I p
k
( )
.
å
=
0
Ñîîòâåòñòâåííî, âòîðîé çàêîí Êèðõãîôà â ïðèìåíåíèè ê êîíòóðó öåïè
e
u
k
k
å
å
=
,
ãäå
e
k
—
ñóììà ÝÄÑ èñòî÷íèêîâ ýíåðãèè â
k-
é âåòâè è
u
k
— íàïðÿæåíèå íà
k
-é
âåòâè, çàïèñûâàåòñÿ â îïåðàòîðíîé ôîðìå:
E p
U p
k
k
( )
( ).
å
å
=
Åñòåñòâåííî, ÷òî ïðè ñîñòàâëåíèè óðàâíåíèé Êèðõãîôà â îïåðàòîðíîé ôîðìå
íåîáõîäèìî çàäàòüñÿ ïîëîæèòåëüíûìè íàïðàâëåíèÿìè âñåõ òîêîâ è ñîáëþäàòü
âñå ïðàâèëà çíàêîâ, óñòàíîâëåííûå ðàíåå ïðè ñîñòàâëåíèè óðàâíåíèé íà îñíîâå
çàêîíîâ Êèðõãîôà äëÿ äåéñòâèòåëüíûõ ôóíêöèé âðåìåíè.  îáùåì ñëó÷àå äëÿ
âåòâè, ñîäåðæàùåé âñå òðè ýëåìåíòà (
r, L, Ñ
)
,
èìååì
98
×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé
u
r i
L di
dt
C
i dt u
k
k k
k
k
k
k
t
Ck
=
+
+
+
ò
1
0
0
( );
ïîýòîìó ñîãëàñíî § 10.1 ñ ó÷åòîì íåíóëåâûõ íà÷àëüíûõ óñëîâèé ïîëó÷èì
U p
r I p
pL I p
L i
I p
pC
u
p
k
k k
k k
k k
k
k
Ck
( )
( )
( )
( )
( )
( )
=
+
-
+
+
0
0
èëè
U p
L i
u
p
I p r
pL
pC
k
k k
Ck
k
k
k
k
( )
( )
( )
( )
.
+
-
=
+
+
æ
è
çç
ö
ø
÷÷
0
0
1
Âåëè÷èíó
r
pL
pC
Z p
k
k
k
k
+
+
=
1
( )
íàçûâàþò î á î á ù å í í û ì ñ î ï ð î ò è â ë å í è å ì âåòâè, èëè, èíà÷å, î ï å ð à -
ò î ð í û ì ñ î ï ð î ò è â ë å í è å ì âåòâè.
Îêîí÷àòåëüíî ïðè ýòîì îïåðàòîðíàÿ çàïèñü çàêîíîâ Êèðõãîôà ïðèìåò âèä
I p
E p
I p Z p
L i
u
p
k
k
k
k
k k
Ck
( )
;
( )
( ) ( )
( )
( ) .
å
å
å
=
=
-
+
é
ë
ê
ù
û
ú
0
0
0
Òîê â
k
-é âåòâè è ïàäåíèå íàïðÿæåíèÿ â ýòîé âåòâè â îïåðàòîðíîé ôîðìå ñâÿ-
çàíû ñîîòíîøåíèåì
I p
U p
L i
u
p
Z p
k
k
k k
Ck
k
( )
( )
( )
( )
( )
,
=
+
-
0
0
êîòîðîå ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé çàêîí Îìà, îáîáùåííûé íà ñëó÷àé ïåðåõîäíîãî ïðî-
öåññà.  ÷àñòíîì ñëó÷àå ïðè íóëåâûõ íà÷àëüíûõ óñëîâèÿõ, ò. å. ïðè
i
Lk
(0)
=
0
è
u
Ck
(0)
=
0, èìååì
I p
U p
Z p
U p
r
pL
pC
k
k
k
k
k
k
k
( )
( )
( )
( )
(
)
.
=
=
+
+
1
Çàìåòèì, ÷òî ñòðóêòóðû çàïèñè îïåðàòîðíîãî ñîïðîòèâëåíèÿ âåòâè è êîì-
ïëåêñíîãî ñîïðîòèâëåíèÿ ýòîé æå âåòâè
Z
r
j L
j C
k
k
k
k
=
+
+
w
w
1
òîæäåñòâåííû è âûðàæåíèå äëÿ êîìïëåêñíîãî ñîïðîòèâëåíèÿ
Z
k
ìîæíî ïî-
ëó÷èòü ÷åðåç îïåðàòîðíîå ñîïðîòèâëåíèå
Z
k
(
ð
) ïóòåì çàìåíû
p
íà
j
w
, ò. å.
Z
k
=
Z
k
(
j
w
).  ÷àñòíîñòè, ïîëàãàÿ
ð
=
0, ïîëó÷èì ñîïðîòèâëåíèå âåòâè ïîñòîÿííî-
ìó òîêó.
Ñîïîñòàâëÿÿ âûðàæåíèÿ çàêîíîâ Êèðõãîôà â îïåðàòîðíîé ôîðìå ñ èõ âûðà-
æåíèÿìè â êîìïëåêñíîé ôîðìå
&
&
&
,
I
E
I Z
k
k
k
k
å
å
å
=
=
0
è
Ãëàâà 10. Ðàñ÷åò ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ îïåðàòîðíûì ìåòîäîì
99
ãäå êîìïëåêñíûå âåëè÷èíû
&
I
k
,
Z
k
ñîäåðæàò ÷àñòîòó
w
òîëüêî ñ ìíîæèòåëåì
j
, âè-
äèì, ÷òî ïðè íóëåâûõ íà÷àëüíûõ óñëîâèÿõ çàêîíû Êèðõãîôà â îïåðàòîðíîé
ôîðìå îäèíàêîâû ïî âèäó ñ ýòèìè çàêîíàìè â êîìïëåêñíîé ôîðìå. Ïîýòîìó ïðè
íóëåâûõ íà÷àëüíûõ óñëîâèÿõ ñïîñîáû ðàñ÷åòà ëþáûõ ñëîæíûõ öåïåé ïðè ïåðå-
õîäíûõ ïðîöåññàõ îïåðàòîðíûì ìåòîäîì àíàëîãè÷íû ñïîñîáàì ðàñ÷åòà óñòàíî-
âèâøèõñÿ ðåæèìîâ êîìïëåêñíûì ìåòîäîì.  ÷àñòíîñòè, ïðè íóëåâûõ íà÷àëüíûõ
óñëîâèÿõ âõîäíîå îïåðàòîðíîå ñîïðîòèâëåíèå ñêîëü óãîäíî ñëîæíîãî ïàññèâíî-
ãî äâóõïîëþñíèêà ìîæíî ïîëó÷èòü èç êîìïëåêñíîãî ñîïðîòèâëåíèÿ ýòîãî äâóõ-
ïîëþñíèêà çàìåíîé
j
w
íà
p.
Ïðè íåíóëåâûõ íà÷àëüíûõ óñëîâèÿõ ìîæåì âòîðîé çàêîí Êèðõãîôà äëÿ âñåõ
êîíòóðîâ çàïèñàòü â âèäå
E p
L i
u
p
I p Z p
k
k k
Ck
k
k
( )
( )
( )
( ) ( ).
å
å
å
å
+
-
=
0
0
Ðàññìàòðèâàÿ ÷ëåíû
S
L
k
i
k
(0) è –
S
u
Ck
(0)/
p
êàê ÝÄÑ äîáàâî÷íûõ èñòî÷íèêîâ
ýíåðãèè â êîíòóðàõ (ðèñ. 10.1), ìîæåì ñ èõ ó÷åòîì ñîõðàíèòü âñå òå æå îáùèå ìå-
òîäû ðàñ÷åòà ñëîæíûõ öåïåé.  ÷àñòíîñòè, ìîæíî âîñïîëüçî-
âàòüñÿ ìåòîäîì íàëîæåíèÿ è ðàññ÷èòàòü ïðîöåññ â öåïè ñíà-
÷àëà ïðè íóëåâûõ íà÷àëüíûõ óñëîâèÿõ, à çàòåì íàëîæèòü íà
íåãî ïðîöåññ, âîçíèêàþùèé òîëüêî ïîä äåéñòâèåì îäíèõ äî-
áàâî÷íûõ ÝÄÑ, îïðåäåëÿåìûõ íà÷àëüíûìè òîêàìè â êàòóø-
êàõ è íà÷àëüíûìè íàïðÿæåíèÿìè íà êîíäåíñàòîðàõ.
Ðàññìîòðèì ïîñëåäîâàòåëüíîå ñîåäèíåíèå íåñêîëüêèõ
ó÷àñòêîâ öåïè. Ïóñòü öåïü ñîñòîèò èç îäíîãî êîíòóðà.  òàêîì
ñëó÷àå òîê äëÿ âñåõ ó÷àñòêîâ ýòîé öåïè îäèí è òîò æå. Ïðèìå-
íÿÿ âòîðîé çàêîí Êèðõãîôà â îïåðàòîðíîé ôîðìå, èìååì
E p
I p
Z p
L i
u
p
k
k
k
k k
Ck
( )
( )
( )
( )
( ).
å
å
å
å
=
-
+
0
0
Âåëè÷èíà Z(
ð
)
=
S
Z
k
(
p
) ÿâëÿåòñÿ îïåðàòîðíûì ñîïðîòèâëåíèåì âñåé öåïè.
Òàêèì îáðàçîì,
ïðè ïîñëåäîâàòåëüíîì ñîåäèíåíèè ó÷àñòêîâ öåïè èõ îïåðàòîðíûå
ñîïðîòèâëåíèÿ ñêëàäûâàþòñÿ.
Ðàññìîòðèì ïàðàëëåëüíîå ñîåäèíåíèå äâóõ âåòâåé.  ýòîì ñëó÷àå íàïðÿæå-
íèå íà íèõ îáùåå. Ïóñòü â êàæäîé âåòâè ïîñëåäîâàòåëüíî ñîåäèíåíû
r, L
è
C
.
Èìååì äëÿ êàæäîé âåòâè
U p
I p Z p
L i
u
p
C
( )
( ) ( )
( )
( )
=
-
+
1
1
1 1
1
0
0
è
U p
I p Z p
L i
u
p
C
( )
( ) ( )
( )
( ) ,
=
-
+
2
2
2 2
2
0
0
ãäå
Z p
r
pL
pC
Z p
r
pL
pC
1
1
1
1
2
2
2
2
1
1
( )
( )
.
= +
+
=
+
+
è
100
×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé
Ðèñ. 10.1
Ñóììàðíûé òîê â íåðàçâåòâëåííîé ÷àñòè öåïè èçîáðàæàåòñÿ êàê
I p
I p
I p
U p
L i
u
p
Z p
U p
L
C
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
=
+
=
+
-
+
+
1
2
1 1
1
1
2
0
0
i
u
p
Z p
C
2
2
2
0
0
( )
( )
( )
.
-
Îòñþäà âèäèì, ÷òî
ïðè íåíóëåâûõ
íà÷àëüíûõ óñëîâèÿõ
íåëüçÿ
ïðåäñòàâèòü
I
(
p
) êàê ïðîèçâåäåíèå
U
(
p
) íà íåêîòîðûé ìíîæèòåëü
Y
(
p
), èìåþùèé ñìûñë îïå-
ðàòîðíîé ïðîâîäèìîñòè. Îäíàêî
ïðè íóëåâûõ
íà÷àëüíûõ óñëîâèÿõ ýòî
âîçìîæíî
,
òàê êàê ïðè ýòîì
I p
U p
Z p
Z p
U p Y p Y p
U p
( )
( )
( )
( )
( )[ ( )
( )]
(
=
+
é
ë
ê
ù
û
ú =
+
=
1
1
1
2
1
2
) ( ).
Y p
Âåëè÷èíû
Y
1
(
p
)
=
1
1
Z p
( )
,
Y
2
(
p
)
=
1
2
Z p
( )
è
Y
(
p
)
=
1
Z p
( )
íàçûâàþò î ï å ð à ò î ð -
í û ì è ï ð î â î ä è ì î ñ ò ÿ ì è.
Òàêèì îáðàçîì,
ïðè íóëåâûõ íà÷àëüíûõ óñëîâèÿõ â ñëó÷àå ïàðàëëåëüíîãî ñîåäè-
íåíèÿ ó÷àñòêîâ öåïè èõ îïåðàòîðíûå ïðîâîäèìîñòè ñêëàäûâàþòñÿ
.
10.4. Ðàñ÷åò ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ â ýëåêòðè÷åñêèõ öåïÿõ
îïåðàòîðíûì ìåòîäîì
Ðàññìîòðèì ñíà÷àëà íåñêîëüêî ïðîñòûõ ïðèìåðîâ, èññëåäîâàííûõ ðàíåå êëàññè-
÷åñêèì ìåòîäîì.
Ïðè âêëþ÷åíèè öåïè (
r
,
L
) ïîä ïîñòîÿííîå íàïðÿæåíèå
è
=
U
=
const èìååì
U
(
p
)
=
U/p
è
Z
(
p
)
=
pL
+
r
, à ñëåäîâàòåëüíî, ïðè íóëåâîì íà÷àëüíîì óñëîâèè
i
(0)
=
0 îïåðàòîðíîå èçîáðàæåíèå òîêà, ñîãëàñíî çàêîíó Îìà â îïåðàòîðíîé ôîð-
ìå, ïîëó÷àåò âûðàæåíèå
I p
U p
Z p
U p
r pL
U
r p p r L
( )
( )
( )
.
=
=
+
=
-
+
æ
è
çç
ö
ø
÷÷
1
1
Ïîëüçóÿñü èçîáðàæåíèåì ôóíêöèè
e
a
t
(ñì. § 10.2), äëÿ èñêîìîãî òîêà ìîæåì
íàïèñàòü
i t
U
r
e
r
L
t
( )
.
=
-
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
-
1
 ñëó÷àå âêëþ÷åíèÿ öåïè (
r
,
Ñ
) ïîä äåéñòâèå ïîñòîÿííîãî íàïðÿæåíèÿ ïðè
u
C
(0)
=
0 èìååì
I p
U p
r
pC
U
r p
rC
( )
( )
( )
=
+
=
+
1
1
1
è, ñîîòâåòñòâåííî,
i t
U
r
e
t
rC
( )
.
=
-
Ïðè âêëþ÷åíèè öåïè (
r
,
L
,
C
) ïîä äåéñòâèå ïîñòîÿííîãî íàïðÿæåíèÿ ïðè íó-
ëåâûõ íà÷àëüíûõ óñëîâèÿõ ïîëó÷àåì
Ãëàâà 10. Ðàñ÷åò ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ îïåðàòîðíûì ìåòîäîì
101
I p
U p
r pL
pC
U
L p r
L
p
LC
U
L
p
r
L
( )
( )
( )
=
+
+
=
+
+
=
=
+
æ
è
ç
ö
ø
÷
1
1
1
1
2
2
2
+
- æ
è
ç
ö
ø
÷
=
+
+
1
2
2
LC
r
L
U
L
w
w
d)
w
'
'
p
'
(
,
2
2
ãäå
d =
r
L
2
;
w¢
2
= w
0
2
–
d
2
è
w
0
2
1
=
LC
.
Èñïîëüçóÿ òàáëèöó èç § 10.2, íàõîäèì îðèãèíàë èñêîìîãî òîêà:
i t
U
L
e
t
t
( )
sin
.
=
-
w
w
d
'
'
Äîñòîèíñòâî îïåðàòîðíîãî ìåòîäà äëÿ ðàñ÷åòà ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ, çàêëþ-
÷àþùååñÿ â àëãåáðàèçàöèè äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé öåïè, îñîáåííî ïðî-
ÿâëÿåòñÿ ïðè ðàñ÷åòå ñëîæíûõ öåïåé.
 ïðåäûäóùåì ïàðàãðàôå áûëî îòìå÷åíî, ÷òî, ó÷èòûâàÿ ÷ëåíû âèäà
L
k
i
k
(0)
è –
u
Ck
(0)/
ð
êàê äîáàâî÷íûå ÝÄÑ, ìîæåì äëÿ ðàñ÷åòà ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ âîñ-
ïîëüçîâàòüñÿ âñåìè ìåòîäàìè ðàñ÷åòà ñëîæíûõ öåïåé, ðàññìîòðåííûìè â ãë. 5
ïðèìåíèòåëüíî ê óñòàíîâèâøèìñÿ ðåæèìàì. Åñëè â öåïè èìåþòñÿ èíäóêòèâ-
íî-ñâÿçàííûå âåòâè, òî ÷ëåíû âèäà
M
ks
i
s
(0) òàêæå ñëåäóåò ðàññìàòðèâàòü êàê íåêî-
òîðûå äîáàâî÷íûå èñòî÷íèêè ÝÄÑ, è óðàâíåíèå âòîðîãî çàêîíà Êèðõãîôà äëÿ
êîíòóðà, â êîòîðîì äåéñòâóþò ÝÄÑ âçàèìíîé èíäóêöèè, ñëåäóåò ïèñàòü â âèäå
E p
L i
M i
p
u
Z p I p
pM
k
k k
ks s
Ck
k
k
k
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
å
å
å
å
+
+
-
=
+
0
0
1
0
s s
I p
( ).
å
å
 êà÷åñòâå ïðèìåðà ðàñ÷åòà ñëîæíîé öå-
ïè ðàññìîòðèì ðàñ÷åò ïåðåõîäíîãî ïðîöåññà
â öåïè, ïðèâåäåííîé íà ðèñ. 10.2, ïðè ðàçìû-
êàíèè êëþ÷à. Ñîñòàâèì óðàâíåíèÿ ïî ìåòî-
äó êîíòóðíûõ òîêîâ:
Z p I p
Z
p I p
E p
Z
p I p
Z
p I
11
1
12
2
11
21
1
22
( ) ( )
( ) ( )
( );
( ) ( )
( )
+
=
+
2
22
( )
( ),
p
E
p
=
ãäå
Z p
r
r
p L
L
Z
p
r
r
pC
pL
Z
p
11
1
3
1
3
22
2
3
2
3
12
1
( )
(
);
( )
;
( )
= + +
+
=
+ +
+
=
=
+
=
+
+
Z
p
r
pL
E p
E p
L i
L i
E
L
L
21
3
3
11
1
1 1
3 3
22
0
0
( )
;
( )
( )
( )
( );
(
p
E p
u
p
L i
C
L
)
( )
( )
( ).
=
-
+
2
2
3 3
0
0
Ðåøèâ ñèñòåìó óðàâíåíèé, ïîëó÷èì
102
×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé
Ðèñ. 10.2