Материал: Демирчян, Нейман, Коровкин, Чечурин. Теоретические основы электротехники.т.2.2003
Ãëàâà äåñÿòàÿ
Ðàñ÷åò ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ
â öåïÿõ ñ ñîñðåäîòî÷åííûìè ïàðàìåòðàìè
îïåðàòîðíûì ìåòîäîì
10.1. Îïåðàòîðíîå èçîáðàæåíèå ôóíêöèé,
èõ ïðîèçâîäíûõ è èíòåãðàëîâ
 ïðåäûäóùåé ãëàâå áûë èçëîæåí êëàññè÷åñêèé ìåòîä ðàñ÷åòà ïåðåõîäíûõ ïðî-
öåññîâ â ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïÿõ ñ ïîñòîÿííûìè ïàðàìåòðàìè. Òàêèå
ïðîöåññû îïèñûâàþòñÿ ëèíåéíûìè äèôôåðåíöèàëüíûìè óðàâíåíèÿìè ñ ïîñòî-
ÿííûìè êîýôôèöèåíòàìè. Ýòè óðàâíåíèÿ ìîãóò áûòü ïðîèíòåãðèðîâàíû òàêæå
î ï å ð à ò î ð í û ì ì å ò î ä î ì.
Õåâèñàéä ïðèìåíèë ýòîò ìåòîä â êîíöå 19-ãî ñòîëåòèÿ ê ðàñ÷åòó ïåðåõîäíûõ
ïðîöåññîâ â ýëåêòðè÷åñêèõ öåïÿõ. Ïðè ýòîì Õåâèñàéä, íå ññûëàÿñü íà ïðåäûäó-
ùèå ìàòåìàòè÷åñêèå ðàáîòû â ýòîé îáëàñòè, íå ïðèâîäèò è ìàòåìàòè÷åñêîãî
îáîñíîâàíèÿ ìåòîäà.
Ïðè èñïîëüçîâàíèè îïåðàòîðíîãî ìåòîäà äåéñòâèòåëüíûå ôóíêöèè âðåìåíè,
íàçûâàåìûå î ð è ã è í à ë à ì è, çàìåíÿþò èõ î ï å ð à ò î ð í û ì è è ç î á ð à æ å -
í è ÿ ì è. Ñîîòâåòñòâèå ìåæäó îðèãèíàëîì è èçîáðàæåíèåì óñòàíàâëèâàåòñÿ ñ
ïîìîùüþ íåêîòîðîãî ôóíêöèîíàëüíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ. Ýòî ïðåîáðàçîâàíèå
âûáèðàåòñÿ òàê, ÷òîáû îïåðàöèè äèôôåðåíöèðîâàíèÿ è èíòåãðèðîâàíèÿ îðèãè-
íàëîâ çàìåíÿëèñü àëãåáðàè÷åñêèìè îïåðàöèÿìè íàä èõ èçîáðàæåíèÿìè.  òàêîì
ñëó÷àå äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ äëÿ îðèãèíàëîâ ïåðåõîäÿò â àëãåáðàè÷å-
ñêèå óðàâíåíèÿ äëÿ èõ èçîáðàæåíèé.
Ñâÿçü ìåæäó îðèãèíàëîì
f
(
t
) è åãî èçîáðàæåíèåì óñòàíàâëèâàåòñÿ ñ ïîìî-
ùüþ
èíòåãðàëà Ëàïëàñà:
F p
f t e dt
pt
( )
( )
,
=
-
¥
ò
0
ãäå
ð
=
s
+
j
h
— êîìïëåêñíîå ÷èñëî. Òàêèì îáðàçîì, îïåðàòîðíîå èçîáðàæåíèå
äåéñòâèòåëüíîé ôóíêöèè âðåìåíè ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé êîìïëåêñíîãî ÷èñëà
ð.
Äëÿ òîãî ÷òîáû èíòåãðàë Ëàïëàñà èìåë êîíå÷íîå çíà÷åíèå, ôóíêöèÿ
f
(
t
)
äîëæíà óäîâëåòâîðÿòü îïðåäåëåííûì óñëîâèÿì. Îíà äîëæíà óäîâëåòâîðÿòü
óñëîâèÿì Äèðèõëå, ò. å. çà ëþáîé êîíå÷íûé ïðîìåæóòîê âðåìåíè èìåòü êîíå÷-
íîå ÷èñëî ðàçðûâîâ ïåðâîãî ðîäà è êîíå÷íîå ÷èñëî ìàêñèìóìîâ è ìèíèìóìîâ.
Êðîìå òîãî, áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ïðè
t >
0 óäîâëåòâîðÿåòñÿ óñëîâèå
|
f
(
t
)
|
<
Ae
a
t
,
ãäå
A
è
a
— íåêîòîðûå ïîëîæèòåëüíûå ÷èñëà. Èíûìè ñëîâàìè, ìîæíî âûáðàòü
A
è
a
òàê, ÷òîáû ìîäóëü ôóíêöèè
f
(
t
) âîçðàñòàë ìåäëåííåå, ÷åì
Ae
a
t
.
Âñå ðåàëüíûå
òîêè è íàïðÿæåíèÿ óäîâëåòâîðÿþò ýòèì óñëîâèÿì. Äëÿ òîãî ÷òîáû èíòåãðàë Ëà-
ïëàñà èìåë êîíå÷íîå çíà÷åíèå, íåîáõîäèìî ïîëàãàòü
s > a
.
Êîìïëåêñíîå ÷èñëî
ð
íàçûâàþò î ï å ð à ò î ð î ì.
Óñëîâèìñÿ çàïèñûâàòü
ïðåîáðàçîâàíèå Ëàïëàñà
òàêæå â âèäå
F p
f t
( )
[ ( )].
=
¸
Ñîîòâåòñòâèå ìåæäó îðèãèíàëîì è èçîáðàæåíèåì çàïèñûâàåòñÿ óñëîâíî â âèäå
F p
f t
( )
( ).
Þ
Çàìåòèì, ÷òî ïî îïðåäåëåíèþ ïðåîáðàçîâàíèå Ëàïëàñà ïðèìåíèìî íà÷èíàÿ
ñ ìîìåíòà
t
=
+0. Äàëåå, îáîçíà÷àÿ íà÷àëüíîå çíà÷åíèå ôóíêöèè è åå ïðîèçâîä-
íûõ ÷åðåç
f
(0),
f
¢
(0),
f
² (0), ...,
f
(
n
)
(0), áóäåì ïîíèìàòü ïîä íèìè èõ çíà÷åíèÿ ïðè
t
=
+0.
Ñóùåñòâóåò îáðàòíîå ôóíêöèîíàëüíîå ïðåîáðàçîâàíèå, äàþùåå âîçìîæíîñòü
îïðåäåëèòü îðèãèíàë ïî åãî èçîáðàæåíèþ. Òàêîå ïðåîáðàçîâàíèå, íîñÿùåå íà-
çâàíèå
îáðàòíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ Ëàïëàñà,
èìååò âèä
1
2
0
0
0
p
s
h
s
s
j
F p e dp f t
p
j
pt
j
j
( )
( ),
.
- ¥
+ ¥
ò
=
=
+
ãäå
Îáðàòíîå ïðåîáðàçîâàíèå Ëàïëàñà êðàòêî çàïèñûâàåòñÿ â âèäå
¸
-
=
1
[ ( )]
( ).
F p
f t
 ýëåêòðîòåõíè÷åñêîé ïðàêòèêå ðàñïðîñòðàíåíî òàêæå ôóíêöèîíàëüíîå ïðå-
îáðàçîâàíèå, íàçûâàåìîå
ïðåîáðàçîâàíèåì ïî Êàðñîíó
, èìåþùåå âèä
p f t e dt pF p
p
pt
( )
( )
( ).
-
¥
ò
=
=
0
F
Äîñòîèíñòâîì ïðåîáðàçîâàíèÿ ïî Êàðñîíó ÿâëÿåòñÿ îäèíàêîâîñòü ðàçìåðíî-
ñòåé îðèãèíàëà è èçîáðàæåíèÿ. Ýòî âèäíî èç òîãî, ÷òî ïðîèçâåäåíèå
pt
äîëæíî
áûòü áåçðàçìåðíûì.  ñëó÷àå æå ïðåîáðàçîâàíèÿ ïî Ëàïëàñó ðàçìåðíîñòü èçî-
áðàæåíèÿ ðàâíà ðàçìåðíîñòè îðèãèíàëà, óìíîæåííîé íà ðàçìåðíîñòü âðåìåíè.
Äîñòîèíñòâîì ïðåîáðàçîâàíèÿ ïî Ëàïëàñó ÿâëÿåòñÿ åãî ñîîòâåòñòâèå ïðåîá-
ðàçîâàíèþ Ôóðüå, íà êîòîðîì îñíîâûâàåòñÿ øèðîêî èñïîëüçóåìûé â íàñòîÿùåå
âðåìÿ ÷àñòîòíûé ìåòîä àíàëèçà öåïåé è êîòîðûé áóäåò èçëîæåí â ãë. 11. Èñõîäÿ
èç ïîñëåäíåãî ñîîáðàæåíèÿ, à òàêæå èç òîãî, ÷òî â çíà÷èòåëüíîé ÷àñòè ñîâðåìåí-
íîé ëèòåðàòóðû ïðèìåíÿåòñÿ ïðåîáðàçîâàíèå ïî Ëàïëàñó, â äàëüíåéøåì áóäåì
òàêæå ïîëüçîâàòüñÿ ýòèì ïðåîáðàçîâàíèåì.
Ïîëó÷èì èçîáðàæåíèå ïðîèçâîäíîé
d
dt
[
f
(
t
)]
=
f
¢
(
t
). Èìååì
f t
f t e dt
pt
'
'
( )
( )
.
Þ
-
¥
ò
0
Èíòåãðèðóÿ ïî ÷àñòÿì è ó÷èòûâàÿ, ÷òî, ñîãëàñíî íàëîæåííûì íà
f
(
t
) óñëîâè-
ÿì, [
e
–pt
f
(
t
)]
t
=¥
=
0, ïîëó÷àåì
f t
e f t
p e f t dt pF p
f
pt
pt
'
( )
( )
( )
( )
( ).
Þ
+
=
-
-
¥
-
¥
ò
0
0
0
 ÷àñòíîì ñëó÷àå, ïðè íóëåâîì íà÷àëüíîì óñëîâèè, êîãäà
f
(0)
=
0, äëÿ èçîáðà-
æåíèÿ ïðîèçâîäíîé èìååì
94
×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé
f t
pF p
'
( )
( ).
Þ
Èçîáðàæåíèå âòîðîé ïðîèçâîäíîé
f t
p pF p
f
f
p F p
f
p
f
p
"
'
'
( )
[ ( )
( )]
( )
( )
( )
( )
Þ
-
-
=
-
-
é
ë
ê
ù
0
0
0
0
2
2
û
ú
.
Ñîîòâåòñòâåííî, äëÿ ïðîèçâîäíîé ïîðÿäêà
n
ïîëó÷àåì
f
t
p F p
f
p
f
p
f
p
f
p
n
n
n
n
( )
(
)
( )
( )
( )
( )
( )
( )
Þ
-
-
-
- -
-
0
0
0
0
2
3
1
'
"
K
é
ë
ê
ù
û
ú
.
 ÷àñòíîñòè, ïðè íóëåâûõ íà÷àëüíûõ óñëîâèÿõ, åñëè ïðè
t
=
0 ñàìà ôóíêöèÿ
f
(
t
) è âñå åå ïðîèçâîäíûå äî (
ï –
1)-é âêëþ÷èòåëüíî ðàâíû íóëþ, èìååì
f
t
p F p
n
n
( )
( )
( ).
Þ
Íàéäåì òåïåðü èçîáðàæåíèå èíòåãðàëà
y
(
t
)
=
f t dt
t
( )
0
ò
.
Èñïîëüçóÿ îïðåäåëåíèå èçîáðàæåíèÿ ôóíêöèè
y
(
t
) ñ ïîìîùüþ èíòåãðàëà
Ëàïëàñà è èíòåãðèðóÿ ïî ÷àñòÿì, ïîëó÷àåì
Y
( )
( )
( )
( )
.
p
t e
dt
t
p
e
p
t e
dt
pt
pt
pt
=
= -
+
-
¥
-
¥
-
¥
ò
ò
y
y
y
0
0
0
1
1
'
Ïåðâîå ñëàãàåìîå ðàâíî íóëþ, òàê êàê ôóíêöèÿ
y
(
t
) äîëæíà óäîâëåòâîðÿòü
óñëîâèþ
|
e
–pt
y
(
t
)
|
t
=¥
=
0, à ïðè
t
=
0 áóäåò
y
(
t
)
=
f t dt
t
( )
0
0
ò
=
. Âòîðîå ñëàãàåìîå
ðàâíî 1
p
F
(
p
), òàê êàê
y¢
(
t
)
=
f
(
t
) è
f
(
t
)
Þ
F
(
p
)
.
Òàêèì îáðàçîì, èçîáðàæåíèå èíòå-
ãðàëà, âçÿòîãî â ïðåäåëàõ îò 0 äî
t,
áóäåò
f t dt
F p
p
t
( )
( ) .
0
ò
Þ
Èòàê, ìû óáåäèëèñü, ÷òî, èçîáðàæàÿ ôóíêöèè âðåìåíè
f
(
t
) ñ ïîìîùüþ èíòå-
ãðàëà Ëàïëàñà, îïåðàöèè äèôôåðåíöèðîâàíèÿ è èíòåãðèðîâàíèÿ ýòèõ ôóíêöèé
çàìåíÿåì àëãåáðàè÷åñêèìè îïåðàöèÿìè íàä èçîáðàæåíèÿìè ýòèõ ôóíêöèé.
 äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèÿõ ýëåêòðè÷åñêîé öåïè ñ ïðîèçâîäíîé ïî
âðåìåíè ÷àùå âñåãî âñòðå÷àåìñÿ â âûðàæåíèè äëÿ íàïðÿæåíèÿ
u
L
íà êàòóøêå:
u
L di
dt
L
=
.
Îáîçíà÷àÿ îïåðàòîðíîå èçîáðàæåíèå òîêà
i
(
t
) â âèäå
I
(
p
), ïîëó÷àåì ñî-
ãëàñíî âûøåèçëîæåííîìó îïåðàòîðíîå èçîáðàæåíèå äëÿ
è
L
(
t
):
U p
pLI p
Li
L
( )
( )
( ).
=
-
0
Ñ èíòåãðàëîì ÷àùå âñåãî âñòðå÷àåìñÿ â âûðàæåíèè íàïðÿæåíèÿ
è
C
íà êîí-
äåíñàòîðå:
è
C
=
1
0
0
C
i dt u
t
C
ò
+
( ).
Ãëàâà 10. Ðàñ÷åò ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ îïåðàòîðíûì ìåòîäîì
95
Èçîáðàæåíèå ïåðâîãî ñëàãàåìîãî ñîãëàñíî èçëîæåííîìó áóäåò
I
(
p
)/(
pC
).
Âòîðîå ñëàãàåìîå
è
C
(0) ÿâëÿåòñÿ ïîñòîÿííîé âåëè÷èíîé è èìååò èçîáðàæåíèå
u
e
dt
u
p
e
u
p
C
pt
C
pt
C
( )
( )
( ) .
0
0
0
0
0
-
¥
-
¥
ò
= -
=
Ñëåäîâàòåëüíî, â îáùåì ñëó÷àå ïðè íåíóëåâîì íà÷àëüíîì óñëîâèè èçîáðàæå-
íèå íàïðÿæåíèÿ íà êîíäåíñàòîðå
è
C
(
t
) èìååò âèä
U p
I p
pC
u
p
C
C
( )
( )
( ) .
=
+
0
Òàêèì îáðàçîì, ïðè ñîñòàâëåíèè óðàâíåíèé öåïè â îïåðàòîðíîé ôîðìå àâòî-
ìàòè÷åñêè áóäóò ó÷èòûâàòüñÿ âñå ôèçè÷åñêèå íà÷àëüíûå óñëîâèÿ — çíà÷åíèÿ
òîêîâ â êàòóøêàõ è íàïðÿæåíèÿ íà êîíäåíñàòîðàõ ïðè
t
=
0.
10.2. Ïðèìåðû èçîáðàæåíèé ôóíêöèé
Èçîáðàæåíèå ïîñòîÿííîé âåëè÷èíû
A
èìååò âèä
Ae
dt
A
p
e
A
p
pt
pt
-
¥
-
¥
ò
= -
=
0
0
,
ò. å.
¸
[ ]
A
A p
=
èëè
À
Þ
A
/
p.
Ïóñòü
f
(
t
)
=
e
a
t
, òîãäà
(
)
(
)
F p
e e
dt
e
dt
p
e
p
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pt
p
t
p
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( )
=
=
= -
-
=
-
-
¥
- -
¥
- -
¥
ò
ò
a
a
a
a
a
0
0
0
1
1
è, ñëåäîâàòåëüíî,
e
p
t
a
a
Þ
-
1 .
Åñëè
a
t
=
j
(
w
t
+
y
), òî
e
e e
e
p j
t
j
j t
j
a
y
w
y
w
=
Þ
-
.
Ñëåäîâàòåëüíî,
sin
(
)
w
w
w
w
w
w
w
t
j
e
e
j p j
p j
p
j t
j t
=
-
Þ
-
-
+
æ
è
çç
ö
ø
÷÷ =
+
-
1
2
1
2
1
1
2
2
.
Íà îñíîâå ýòèõ ðåçóëüòàòîâ ìîæíî ñîñòàâèòü ñëåäóþùóþ òàáëèöó ñîîòâåòñò-
âèÿ íåêîòîðûõ ôóíêöèé (îðèãèíàëîâ) è èõ èçîáðàæåíèé.
Îðèãèíàë
Èçîáðàæåíèå
A
A
p
Ae
t
a
A
p
- a
96
×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé
Îðèãèíàë
Èçîáðàæåíèå
1
-
-
e
t
a
1
1
p p
p p
-
+
=
+
a
a
a)
(
sh
a
a
a
t
e
e
t
t
=
-
-
1
2
(
)
1
2
1
1
2
2
p
p
p
-
-
+
æ
è
çç
ö
ø
÷÷ =
-
a
a
a
a
ch
a
a
a
t
e
e
t
t
=
+
-
1
2
(
)
1
2
1
1
2
2
p
p
p
p
-
+
+
æ
è
çç
ö
ø
÷÷ =
-
a
a
a
sin
(
)
w
w
w
t
j
e
e
j t
j t
=
-
-
1
2
1
2
1
1
2
2
j p j
p j
p
-
-
+
æ
è
ç
ö
ø
÷ =
+
w
w
w
w
cos
(
)
w
w
w
t
e
e
j t
j t
=
+
-
1
2
1
2
1
1
2
2
p j
p j
p
p
-
+
+
æ
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çç
ö
ø
÷÷ =
+
w
w
w
sin(
w y )
t
+
p
p
sin
cos
y
w
y
w
+
+
2
2
cos(
w y )
t
+
p
p
cos
sin
y
w
y
w
-
+
2
2
e
t
t
-d
w
sin
w
d)
w
(
p
+
+
2
2
e
t
t
-d
w
cos
p
p
+
+
+
d
d)
w
(
2
2
te
t
-d
1
2
(
p
+ d)
t
1
2
p
 ïðèâåäåííîé òàáëèöå äàíû ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó îðèãèíàëàìè è èõ èçîáðà-
æåíèÿìè ïðè ïðåîáðàçîâàíèè Ëàïëàñà. Ïðè èñïîëüçîâàíèè ïðåîáðàçîâàíèÿ Êàð-
ñîíà ñëåäóåò óìíîæèòü âñå èçîáðàæåíèÿ íà
ð
.  ýòîì ñëó÷àå èçîáðàæåíèåì ïî-
ñòîÿííîé âåëè÷èíû áóäåò ñàìà ïîñòîÿííàÿ âåëè÷èíà. Îáðàòèì âíèìàíèå íà òî,
÷òî êðàòíûå ïîëþñû â âûðàæåíèè äëÿ
F
(
ð
) èçîáðàæàþò ôóíêöèè, â êîòîðûõ âðå-
ìÿ
t
âõîäèò ìíîæèòåëåì (ïîñëåäíèå äâà âûðàæåíèÿ â òàáëèöå).
Íàéäåì èçîáðàæåíèå ôóíêöèè, ñìåùåííîé âî âðåìåíè íà âåëè÷èíó
x
, ïðè
óñëîâèè, ÷òî ïðè
t
< 0 èìååì
f
(
t
)
=
0. Åñëè
f
(
t
)
Þ
F
(
p
), òî äëÿ èçîáðàæåíèÿ òîé
æå ôóíêöèè ïðè
t
¢ =
t – x
ïîëó÷èì
Ãëàâà 10. Ðàñ÷åò ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ îïåðàòîðíûì ìåòîäîì
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