Материал: Демирчян, Нейман, Коровкин, Чечурин. Теоретические основы электротехники.т.2.2003
ïðåäñòàâëÿþùåé ñîáîé
èíòåãðàë Ôóðüå
(îáðàòíîå ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå)
â òðè-
ãîíîìåòðè÷åñêîé ôîðìå.
Ïîñëåäíåå âûðàæåíèå ñî âñåé ÿñíîñòüþ ïîêàçûâàåò, ÷òî
íåïåðèîäè÷åñêóþ ôóíêöèþ, óäîâëåòâîðÿþùóþ îòìå÷åííûì ðàíåå óñëîâèÿì,
ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ñóììó áåñêîíå÷íîãî ìíîæåñòâà ãàðìîíè÷åñêèõ ñîñòàâ-
ëÿþùèõ ñ áåñêîíå÷íî ìàëûìè àìïëèòóäàìè 1
p
F
(
w
)
d
w
è íà÷àëüíûìè ôàçàìè
y
(
w
)
= p
/2 +
a
(
w
). Òî, ÷òî àìïëèòóäû â ýòîì ñëó÷àå îêàçàëèñü â äâà ðàçà áîëüøå,
÷åì ïðè ðàññìîòðåíèè âûðàæåíèÿ (**), åñòü ðåçóëüòàò òîãî, ÷òî â ïîñëåäíåì âû-
ðàæåíèè
w
èçìåíÿåòñÿ îò 0 äî +
¥
, à íå îò –
¥
äî +
¥
è, ñîîòâåòñòâåííî, ãàðìîíèêè
ñ ÷àñòîòàìè
w
è –
w
, ñîäåðæàùèåñÿ â âûðàæåíèè (**), ïðîñóììèðîâàíû â ïîñëåä-
íåì âûðàæåíèè.
Íåòðóäíî çàìåòèòü, ÷òî
[ ( )]
( ) (
)
F
F j F j
w
w
w
2
=
-
è
[ ( )]
( ) (
)
( )
( )
F
d
F j F j d
F j
f t e
j t
w
w
w
w w
w
w
2
-¥
+¥
-¥
+¥
-¥
+
ò
ò
=
-
=
¥
-¥
+¥
-¥
+¥
-
ò
ò
ò
é
ë
ê
ê
ù
û
ú
ú
=
é
ë
ê
ê
ù
û
ú
ú
dt d
f t
F j e d
j t
w =
w
w
w
( )
( )
¥
+¥
-¥
+¥
ò
ò
=
dt
f t
dt
2
2
p
[ ( )]
èëè
[ ( )]
[ ( )]
.
f t
dt
F
d
2
2
1
2
-¥
+¥
-¥
+¥
ò
ò
=
p
w
w
Ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî âûðàæàåò ñîáîé ò å î ð å ì ó Ð å ë å ÿ, à òàêæå íàçûâàåòñÿ
ð à â å í ñ ò â î ì Ï à ð ñ å â à ë ÿ.
 ÷àñòíîì ñëó÷àå, êîãäà
f
(
t
)
=
e
ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ÝÄÑ, âîçäåéñòâóþùóþ
íà öåïü òîëüêî ñ àêòèâíûìè ñîïðîòèâëåíèÿìè,
g f t
dt
[ ( )]
2
-¥
+¥
ò
ðàâíî ýíåðãèè, âûäå-
ëÿåìîé â öåïè, ïðè÷åì
g
åñòü ýêâèâàëåíòíàÿ ïðîâîäèìîñòü âñåé öåïè. Ðàâåíñòâî
Ïàðñåâàëÿ ïîêàçûâàåò, ÷òî â äàííîì ñëó÷àå ýòà ýíåðãèÿ ìîæåò áûòü âû÷èñëåíà
ïî èçâåñòíîé àìïëèòóäíî-÷àñòîòíîé õàðàêòåðèñòèêå ÝÄÑ.
11.3. Ïîëó÷åíèå ÷àñòîòíûõ õàðàêòåðèñòèê
çàäàííîé ôóíêöèè âðåìåíè
Ñîïîñòàâëÿÿ ïðÿìîå îäíîñòîðîííåå ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå
F j
f t e
dt
j t
( )
( )
w
w
=
-
¥
ò
0
ñ ïðåîáðàçîâàíèåì ïî Ëàïëàñó
F p
f t e dt
pt
( )
( )
,
=
-
¥
ò
0
Ãëàâà 11. Ñïåêòðàëüíîå ïðåäñòàâëåíèå íåïåðèîäè÷åñêèõ ôóíêöèé
113
âèäèì, ÷òî ïåðâîå åñòü ÷àñòíûé ñëó÷àé âòîðîãî ïðè
ð
=
j
w
. Èíûìè ñëîâàìè, îä-
íîñòîðîííåå ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå ïîëó÷àåòñÿ èç ïðåîáðàçîâàíèÿ ïî Ëàïëàñó
ïðåäåëüíûì ïåðåõîäîì, êîãäà â ïîñëåäíåì âåùåñòâåííàÿ ÷àñòü êîìïëåêñíîé ïå-
ðåìåííîé
p
ñòðåìèòñÿ ê íóëþ.
Áëàãîäàðÿ ýòîìó ìîæíî íå ïðîèçâîäèòü èíòåãðèðîâàíèÿ äëÿ âû÷èñëåíèÿ
F
(
j
w
), à, âîñïîëüçîâàâøèñü ãîòîâûìè òàáëèöàìè äëÿ
F
(
ð
) [èëè äëÿ Ô(
p
)
=
pF
(
ð
)],
èìåþùèìèñÿ â ñïðàâî÷íèêàõ, çàìåíèòü â âûðàæåíèÿõ
F
(
ð
) âåëè÷èíó
ð
íà
j
w
.
Ðàññìîòðèì ñíà÷àëà ïðèìåðû äëÿ ôóíêöèé
f
(
t
), äëÿ êîòîðûõ âîçìîæíî ïðÿ-
ìîå ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå.
Ïóñòü íàïðÿæåíèå èçìåíÿåòñÿ âî âðåìåíè ïî çàêîíó
u
(
t
)
=
U
0
e
–
d
t
.
Ñîãëàñíî
òàáëèöå èç § 10.2,
U e
U
p
F p
t
0
0
-
Þ
+
=
d
d
( ),
è, ñëåäîâàòåëüíî, ÷àñòîòíàÿ õàðàêòåðèñòèêà ôóíêöèè
U
0
e
–
d
t
èìååò âèä
F j
U j
U
j
U
e
j
( )
( )
,
w
w
d
w
d
w
w
d
=
=
+
=
+
-
0
0
2
2
arctg
ò. å.
F
U
U
( )
( )
( )
( )
.
w
w
d
w
a w
a w
w
d
=
=
+
=
= -
0
2
2
è
arctg
u
Îáîçíà÷åíèå
U
(
w
) è èíäåêñ
u
ó
a
îçíà÷àþò, ÷òî ýòè âåëè÷èíû îòíîñÿòñÿ ê íà-
ïðÿæåíèþ. Âåëè÷èíû, îòíîñÿùèåñÿ ê òîêó, áóäåì îáîçíà÷àòü, ñîîòâåòñòâåííî,
I
(
w
) è
a
i
(
w
).
Íà ðèñ. 11.1,
à
è
á
ñîîòâåòñòâåííî, ïîêàçàíû àìïëèòóäíî-÷àñòîòíàÿ è ôàçî÷à-
ñòîòíàÿ õàðàêòåðèñòèêè ôóíêöèè
u
(
t
)
=
U
0
e
–
d
t
, íà ðèñ. 11.2 — ñîîòâåòñòâåííî, âå-
ùåñòâåííàÿ ÷àñòîòíàÿ è ìíèìàÿ ÷àñòîòíàÿ õàðàêòåðèñòèêè, êîòîðûå îïðåäåëÿ-
þòñÿ ôîðìóëàìè
U j
U
j
U
j
U
j U
U
( )
(
(
w
d
w
d
w)
d
w
d
d
w
w
d
w
w
=
+
=
-
+
=
+
-
+
=
0
0
2
2
0
2
2
0
2
2
1
) +
w).
jU
2
(
114
×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé
Ðèñ. 11.1
 êà÷åñòâå äðóãîãî ïðèìåðà âîçüìåì ôóíê-
öèþ
u t
U e
t
U
p
t
( )
sin
(
)
.
=
Þ
+
+
-
0
0
0 0
2
d
0
2
w
w
d
w
Ñëåäîâàòåëüíî, ÷àñòîòíàÿ õàðàêòåðèñòèêà
äëÿ ýòîé ôóíêöèè èìååò âèä
F j
U j
U
j
( )
( )
(
;
w
w
w
d
w)
w
=
=
+
+
0 0
2
0
2
U
U
( )
(
)
;
w
w
d
w - w
d w
=
+
+
0 0
2
0
2
2 2
2 2
4
a w
dw
d
w - w
u
( )
.
= -
+
arctg
2
2
0
2
2
Íà ðèñ. 11.3,
à
,
á
ïîêàçàíû ÷àñòîòíûå õàðàêòåðèñòèêè ýòîé ôóíêöèè ïðè
d =
0,5
w
0
.
Ïîëó÷èì â âèäå òðåòüåãî ïðèìåðà ÷àñòîòíóþ õàðàêòå-
ðèñòèêó ïðÿìîóãîëüíîãî èìïóëüñà íàïðÿæåíèÿ (ðèñ. 11.4)
ïðÿìûì èíòåãðèðîâàíèåì ñîãëàñíî âûðàæåíèþ (***)
èç § 11.1. Èìååì
f
(
t
)
=
u
(
t
)
=
U
0
ïðè
–a
£
t
£
a
è
f
(
t
)
=
u
(
t
)
=
0
ïðè
|
t
|
> a
. Ïîëó÷àåì
U j
U e
dt
U
j
e
e
U
a
j t
a
a
j a
j a
( )
(
)
sin
w
w
w
w
w
w
w
=
=
-
-
=
-
-
+
-
ò
0
0
0
2
òî åñòü
U
U
a
( )
sin
.
w
w
w
=
2
0
Íà ðèñ. 11.5 ïðèâåäåíà àìïëèòóäíî-÷àñòîòíàÿ õàðàêòåðèñòèêà ýòîé ôóíêöèè.
Âåëè÷èíà
a
u
(
w
) èçìåíÿåòñÿ ñêà÷êîì íà
p
ïðè êàæäîì èçìåíåíèè çíàêà âåëè÷è-
íû (sin
a
w
)/
w
.
Ãëàâà 11. Ñïåêòðàëüíîå ïðåäñòàâëåíèå íåïåðèîäè÷åñêèõ ôóíêöèé
115
Ðèñ. 11.3
Ðèñ. 11.4
Ðèñ. 11.2
Ðàññìîòðèì åùå ïîëó÷åíèå ÷àñòîòíûõ õàðàêòåðèñòèê äëÿ èìåþùèõ âàæíîå
çíà÷åíèå â òåîðèè ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé ôóíêöèé
f
(
t
)
=
U
0
=
const è
f
(
t
)
=
U
0
sin
w
0
t
,
äëÿ êîòîðûõ íåïîñðåäñòâåííîå ïðèìåíåíèå ïðÿìîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå íåâîç-
ìîæíî, òàê êàê èíòåãðàë â ýòîì ïðåîáðàçîâàíèè äëÿ íèõ íå èìååò îïðåäåëåííîãî
êîíå÷íîãî çíà÷åíèÿ.  ýòîì ñëó÷àå ìîæåò áûòü èñïîëüçîâàí ñëåäóþùèé ïðèåì:
óìíîæåíèå ýòèõ ôóíêöèé íà
e
–
d
t
, ãäå
d
> 0. ×àñòîòíûå õàðàêòåðèñòèêè ôóíêöèè
U
0
e
–
d
t
è
U
0
e
–
d
t
sin
w
0
t
íàéäåíû â ïðèâåäåííûõ âûøå ïðèìåðàõ. Ïåðåõîäÿ ê ïðåäå-
ëó, êîãäà
d ®
0, ïîëó÷èì èñêîìûå ÷àñòîòíûå õàðàêòåðèñòèêè:
u t
U
U
j
u t
U
t
U
j
U
( )
;
( )
sin
( )
=
Þ
=
Þ
=
-
0
0
0
0
0 0
2
0
2
0 0
2
w
w
w
w + w
w
w + w
0
2
.
Ðàçëîæåíèå íåïåðèîäè÷åñêèõ ÝÄÑ â íåïðåðûâíûé ñïåêòð ñèíóñîèäàëüíûõ
ñîñòàâëÿþùèõ íàõîäèò øèðîêîå ïðèìåíåíèå â èìïóëüñíîé òåõíèêå, â ðàäèîòåõ-
íèêå, â òåõíèêå àâòîìàòè÷åñêîãî ðåãóëèðîâàíèÿ, òàê êàê, ðàñïîëàãàÿ òàêèì ñïåê-
òðîì è çíàÿ çàâèñèìîñòü ïàðàìåòðîâ öåïè îò ÷àñòîòû, ìîæíî îïðåäåëèòü õàðàê-
òåð âîçäåéñòâèÿ òàêîé ÝÄÑ íà ðàññìàòðèâàåìóþ öåïü.
11.4. Ðàñ÷åò ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ
ïðè ïîìîùè ÷àñòîòíûõ õàðàêòåðèñòèê
Ìåòîä ÷àñòîòíûõ õàðàêòåðèñòèê äëÿ ðàñ÷åòà ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ â ëèíåéíûõ
ýëåêòðè÷åñêèõ öåïÿõ çàêëþ÷àåòñÿ â ñëåäóþùåì.
Ïóñòü öåïü âêëþ÷àåòñÿ â ìîìåíò
t
=
0 ïîä äåéñòâèå íàïðÿæåíèÿ
è
(
t
) ïðè íó-
ëåâûõ íà÷àëüíûõ óñëîâèÿõ, ïðè÷åì ôóíêöèÿ
è
(
t
) óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì, ïðè
êîòîðûõ èíòåãðàë Ôóðüå ñóùåñòâóåò. Èñïîëüçóÿ ïðÿìîå îäíîñòîðîííåå ïðåîá-
ðàçîâàíèå Ôóðüå
U j
u t e
dt
j t
( )
( )
,
w
w
=
-
¥
ò
0
íàõîäèì ÷àñòîòíóþ õàðàêòåðèñòèêó
U
(
j
w
).
Çíàÿ êîìïëåêñíîå ñîïðîòèâëåíèå öåïè
Z
(
j
w
) êàê ôóíêöèþ ÷àñòîòû, ìîæåì
ïîëó÷èòü ÷àñòîòíóþ õàðàêòåðèñòèêó òîêà â öåïè:
116
×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé
Ðèñ. 11.5
I j
U j
Z j
I
e
j
( )
( )
( )
( )
,
(
w
w
w
w
a w)
=
=
i
ïðè÷åì
Z j
z
e
r
jx
j
( )
( )
( )
( ).
(
w
w
w
w
j w)
=
=
+
Èñêîìûé ïåðåõîäíûé òîê íàõîäèòñÿ ñ ïîìîùüþ îáðàòíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ
Ôóðüå:
i t
I j e d
j t
( )
( )
=
-¥
+¥
ò
1
2
p
w
w
w
èëè ñ ïîìîùüþ òîãî æå ïðåîáðàçîâàíèÿ â òðèãîíîìåòðè÷åñêîé ôîðìå:
i t
I
t
d
i
( )
( )cos[
( ] .
=
+
+¥
ò
1
0
p
w
w a w) w
Ñàì ïî ñåáå ýòîò ïóòü ðàñ÷åòà íå äàåò êàêèõ-ëèáî ñóùåñòâåííûõ ïðåèìóùåñòâ
ïî ñðàâíåíèþ ñ èçëîæåííûì â ïðåäûäóùèõ ïàðàãðàôàõ îïåðàòîðíûì ìåòîäîì.
Ñóùåñòâåííîå ïðåèìóùåñòâî ìåòîäà èíòåãðàëà Ôóðüå îáíàðóæèâàåòñÿ ïðè íà-
õîæäåíèè òîêà
i
(
t
) ïî çàäàííîìó íàïðÿæåíèþ
è
(
t
), êîãäà èìååì ïðàêòè÷åñêè
îñóùåñòâëåííóþ ñëîæíóþ ëèíåéíóþ ýëåêòðè÷åñêóþ öåïü èëè âîîáùå êàêîå-ëè-
áî ñëîæíîå óñòðîéñòâî ñ ëèíåéíûìè ýëåêòðè÷åñêèìè ýëåìåíòàìè è ðàñïîëàãàåì
âîçìîæíîñòüþ ñíÿòü ýêñïåðèìåíòàëüíî çàâèñèìîñòü âõîäíîãî êîìïëåêñíîãî ñî-
ïðîòèâëåíèÿ öåïè îò ÷àñòîòû, ò. å. ïîëó÷èòü ýêñïåðèìåíòàëüíî çàâèñèìîñòè
z
(
w
)
è
j
(
w
) èëè, ñîîòâåòñòâåííî,
r
(
w
) è
õ
(
w
).
Âû÷èñëèâ ñ ïîìîùüþ ïðÿìîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå ñïåêòðàëüíóþ õàðàê-
òåðèñòèêó
U
(
j
w
)
=
U
(
w
)
e
j
a w
u
( )
çàäàííîé ôóíêöèè
è
(
t
) è ïîëüçóÿñü îïûòíûìè
äàííûìè äëÿ
z
(
w
) è
j
(
w
), ìîæíî îïðåäåëèòü ñïåêòðàëüíóþ õàðàêòåðèñòèêó
òîêà:
I
U
z
( )
( )
( )
;
( )
( )
( ).
w
w
w
a w
a w
j w
=
=
-
i
u
Èñêîìûé òîê
i
(
t
) ìîæíî òîãäà îïðåäåëèòü èç ïîñëåäíåãî èíòåãðàëüíîãî âû-
ðàæåíèÿ, âûïîëíÿÿ èíòåãðèðîâàíèå õîòÿ áû òåì èëè èíûì ïðèáëèæåííûì ìå-
òîäîì.
Èç ýòîãî æå âûðàæåíèÿ ìîæíî óñòàíîâèòü ñâÿçü ìåæäó âåùåñòâåííîé ÷àñòîò-
íîé
I
1
(
w
) è ìíèìîé ÷àñòîòíîé
I
2
(
w
) õàðàêòåðèñòèêàìè. Òàê êàê
I j
I
e
I
jI
I
j
( )
( )
( )cos ( )
( )sin ( )
( )
( )
w
w
w
a w
w
a w
w
a w
=
=
+
=
i
i
i
1
+
jI
2
( ),
w
òî
i t
I
t
d
I
t I
i
( )
( )cos[
( ]
[ ( )cos
( )s
=
+
=
-
¥
ò
1
1
0
1
2
p
w
w a w) w
p
w
w
w
in ] .
w
w
t d
0
¥
ò
Ïðèíèìàÿ âî âíèìàíèå, ÷òî ïðè
t
< 0 èìååì
i
(
t
)
=
0, ïîäñòàâèì â òîëüêî ÷òî
íàïèñàííîå âûðàæåíèå
i
(
t
) çíà÷åíèå
t
=
–
t
:
Ãëàâà 11. Ñïåêòðàëüíîå ïðåäñòàâëåíèå íåïåðèîäè÷åñêèõ ôóíêöèé
117