Материал: Демирчян, Нейман, Коровкин, Чечурин. Теоретические основы электротехники.т.2.2003
0
1
2
0
=
+
¥
ò
[ ( )cos
( )sin ]
I
t I
t d
w
w
w
w
w
èëè
I
t d
I
t d
1
0
2
0
( )cos
( )sin
,
w
w w
w
w w
¥
¥
ò
ò
= -
÷òî è âûðàæàåò ñâÿçü ìåæäó âåùåñòâåííîé
I
1
(
w
) è ìíèìîé
I
2
(
w
) ÷àñòîòíûìè õà-
ðàêòåðèñòèêàìè.
Çàìåòèì, ÷òî ýòà ñâÿçü ñóùåñòâóåò äëÿ ÷àñòîòíûõ õàðàêòåðèñòèê òåõ ôóíê-
öèé
i
(
t
), äëÿ êîòîðûõ ñïðàâåäëèâî ïðÿìîå ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå.
Èñïîëüçóÿ ïîëó÷åííîå ñîîòíîøåíèå äëÿ òîêà
i
(
t
), èìååì
i t
I
t d
I
t d
( )
( )cos
( )sin
=
= -
¥
¥
ò
ò
2
2
1
0
2
0
p
w
w w
p
w
w w,
ò. å. ìîæåì îïðåäåëèòü ôóíêöèþ
i
(
t
) ëèáî ïî âåùåñòâåííîé ÷àñòîòíîé, ëèáî ïî
ìíèìîé ÷àñòîòíîé õàðàêòåðèñòèêå.
Òàê êàê ìåæäó âåùåñòâåííîé è ìíèìîé ñîñòàâëÿþùèìè ÷àñòîòíîé õàðàêòå-
ðèñòèêè
I
(
j
w
) ñóùåñòâóåò ñâÿçü, òî, ñîîòâåòñòâåííî, â òåõ æå ñëó÷àÿõ åñòü ñâÿçü
è ìåæäó àìïëèòóäíî-÷àñòîòíûìè è ôàçî÷àñòîòíûìè õàðàêòåðèñòèêàìè.
Åñëè â ñîîòâåòñòâèè ñî ñêàçàííûì èìååòñÿ ñâÿçü ìåæäó
U
(
w
) è
a
u
(
w
), à òàêæå
ìåæäó
I
(
w
) è
a
i
(
w
), òî äîëæíà áûòü ñâÿçü è ìåæäó
Z
(
w
) è
j
(
w
) èëè ñîîòâåòñòâåí-
íî ìåæäó
r
(
w
) è
x
(
w
). Äëÿ ðÿäà ñèñòåì îêàçûâàåòñÿ âîçìîæíîé è ðàçðàáîòàíà
ìåòîäèêà îïðåäåëåíèÿ
j
(
w
) ïî
z
(
w
).  òàêîì ñëó÷àå äîñòàòî÷íî ñíÿòü ýêñïåðè-
ìåíòàëüíî òîëüêî õàðàêòåðèñòèêó
z
(
w
), ÷òî çíà÷èòåëüíî ïðîùå ýêñïåðèìåíòàëü-
íîãî ïîëó÷åíèÿ õàðàêòåðèñòèêè
j
(
w
).
Òàê êàê ýêñïåðèìåíòàëüíàÿ çàâèñèìîñòü
z
(
w
) ìîæåò áûòü ïîëó÷åíà òîëüêî
ïðè èçìåíåíèè ÷àñòîòû îò íóëÿ äî îïðåäåëåííîãî çíà÷åíèÿ
w¢
, òî íåîáõîäèìî
áûòü óâåðåííûì, ÷òî ìû íå äîïóñêàåì çàìåòíîé îøèáêè, âû÷èñëÿÿ
i
(
t
) ïî ôîð-
ìóëå îáðàòíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå â ýòîì îãðàíè÷åííîì äèàïàçîíå âìåñòî
âñåãî äèàïàçîíà 0 <
w
<
¥
. Íåêîòîðîé îöåíêîé äîñòàòî÷íîñòè âåðõíåãî ïðåäåëà
÷àñòîòû
w¢
â ñëó÷àå ýêñïåðèìåíòàëüíîãî ïîëó÷åíèÿ ÷àñòîòíûõ õàðàêòåðèñòèê
ìîæåò ñëóæèòü óñëîâèå, ÷òîáû ìîäóëè
y
(
w
)
=
1/
z
(
w)
ïðè ýòîé ÷àñòîòå
w¢
ïðèáëè-
æàëèñü ê íóëþ, ïðè äîïîëíèòåëüíîì óñëîâèè, ÷òî íà îñíîâå êàêèõ-ëèáî ñîîáðà-
æåíèé ìîæíî áûòü óâåðåííûì, ÷òî ñ äàëüíåéøèì óâåëè÷åíèåì
w
îíè íå áóäóò
âíîâü âîçðàñòàòü.
Íàêîíåö, çàìåòèì, ÷òî óêàçàííûå ïðèåìû ðàñ÷åòà ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ
ïðèãîäíû äëÿ íóëåâûõ íà÷àëüíûõ óñëîâèé. Ýòî âèäíî õîòÿ áû èç òîãî, ÷òî ñîîò-
íîøåíèå
I
(
j
w
)
=
U
(
j
w
)/
Z
(
j
w
) ñîîòâåòñòâóåò ñîîòíîøåíèþ
I
(
p
)
=
U
(
p
)/
Z
(
p
), ñïðà-
âåäëèâîìó òîëüêî ïðè íóëåâûõ íà÷àëüíûõ óñëîâèÿõ (ñì. § 10.3). Ïðè íåíóëåâûõ
íà÷àëüíûõ óñëîâèÿõ ìîæíî âîñïîëüçîâàòüñÿ, òàê æå, êàê è â îïåðàòîðíîì ìåòî-
äå, ìåòîäîì íàëîæåíèÿ, ðàññ÷èòàâ ïðîöåññ ïðè íóëåâûõ íà÷àëüíûõ óñëîâèÿõ è
íàëîæèâ íà íåãî ïðîöåññû, êîòîðûå ïîëó÷àþòñÿ òîëüêî îò äåéñòâèÿ îäíèõ íà-
÷àëüíûõ íàïðÿæåíèé íà êîíäåíñàòîðàõ è òîêîâ â êàòóøêàõ.
118
×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé
11.5. Ñâÿçü ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå ñ ïðåîáðàçîâàíèåì Ëàïëàñà.
Ïîíÿòèå î êîìïëåêñíîé ÷àñòîòå
 § 11.3 áûëè ñîïîñòàâëåíû ïðåîáðàçîâàíèå Ëàïëàñà
F p
f t e dt
pt
( )
( )
=
-
¥
ò
0
ñ ïðÿ-
ìûì îäíîñòîðîííèì ïðåîáðàçîâàíèåì Ôóðüå
F j
f t e
dt
j t
( )
( )
w
w
=
-
¥
ò
0
, îòêóäà âèäíî,
÷òî âòîðîå åñòü ÷àñòíûé ñëó÷àé ïåðâîãî ïðè
p
=
j
w
.  êîíöå § 11.1 áûëî îòìå÷åíî,
÷òî ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå âîçìîæíî äëÿ îãðàíè÷åííîãî êëàññà ôóíêöèé
f
(
t
).
Áûëî óêàçàíî, ÷òî äîñòàòî÷íûì óñëîâèåì äëÿ ýòîãî ÿâëÿåòñÿ àáñîëþòíàÿ èíòåã-
ðèðóåìîñòü ôóíêöèè
f
(
t
).
Ïðåîáðàçîâàíèå Ëàïëàñà ÿâëÿåòñÿ áîëåå îáùèì, òàê êàê
p
ðàññìàòðèâàåòñÿ
êàê êîìïëåêñíàÿ âåëè÷èíà, èìåþùàÿ ïîëîæèòåëüíóþ âåùåñòâåííóþ ÷àñòü, äî-
ñòàòî÷íî áîëüøóþ, ÷òîáû èíòåãðàë Ëàïëàñà èìåë êîíå÷íîå çíà÷åíèå äëÿ âåñüìà
øèðîêîãî êëàññà ôóíêöèé
f
(
t
), ïðàêòè÷åñêè îõâàòûâàþùèõ âñå ôóíêöèè, ñ êîòî-
ðûìè âñòðå÷àåìñÿ â òåîðèè ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé. Ñîîòâåòñòâóþùèå óñëîâèÿ,
íàêëàäûâàåìûå íà âåùåñòâåííóþ ÷àñòü âåëè÷èíû
p
, áûëè ñôîðìóëèðîâàíû â
íà÷àëå § 10.1.
Ìîæíî îáîáùèòü ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå òàê, ÷òî îíî ñòàíåò ýêâèâàëåíòíî
ïðåîáðàçîâàíèþ Ëàïëàñà ïî øèðîòå îõâàòà êëàññà ôóíêöèé
f
(
t
), åñëè ââåñòè ïî-
íÿòèå ê î ì ï ë å ê ñ í î é ÷ à ñ ò î ò û
&
w =
c
+
j
w
, ñîäåðæàùåé ïîëîæèòåëüíóþ âå-
ùåñòâåííóþ ÷àñòü
c
, íà êîòîðóþ íàëàãàþòñÿ òå æå ñàìûå òðåáîâàíèÿ, ÷òî è íà âå-
ùåñòâåííóþ ÷àñòü
s
îïåðàòîðà
p.
Òàêîå
îáîáùåííîå ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå
èìååò
âèä
F c j
f t e
dt
c j t
(
)
( )
.
(
)
+
=
- +
¥
ò
w
w
0
Ñîîòâåòñòâåííî,
îáðàòíîå ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå â îáîáùåííîé ôîðìå,
åñëè
çàìåíèòü â ôîðìóëå (**) èç § 11.1 âñþäó â âûðàæåíèè ïîä çíàêîì èíòåãðàëà âå-
ëè÷èíó
j
w
íà âåëè÷èíó
&
,
w =
w
c j
+
ïðèíèìàåò âèä
f t
j
F c j e
d c j
c j t
c j
c j
( )
(
)
(
).
(
)
=
=
+
+
+
- ¥
+ ¥
ò
1
2
p
w
w
w
Ïóòü èíòåãðèðîâàíèÿ â êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè äîëæåí áûòü èçáðàí òàê, ÷òî-
áû âåùåñòâåííàÿ ÷àñòü êîìïëåêñíîé ÷àñòîòû áûëà íå ìåíüøå òîé, êîòîðàÿ îáåñ-
ïå÷èâàåò ñõîäèìîñòü ïðÿìîãî îáîáùåííîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå.  ÷àñòíîñòè,
ìîæíî èíòåãðèðîâàòü ïî ïðÿìîé, îòñòîÿùåé ñïðàâà îò îñè ìíèìûõ íà íåîáõîäè-
ìóþ âåëè÷èíó
ñ
> 0. Ñ ýòèì è ñâÿçàí âûáîð ïðåäåëîâ èíòåãðèðîâàíèÿ îò
ñ – j
¥
äî
ñ
+
j
¥
.
Ïðÿìîå ïðåîáðàçîâàíèå Ëàïëàñà ñîâïàäàåò ñ îáîáùåííûì ïðÿìûì ïðåîáðà-
çîâàíèåì Ôóðüå ïðè çàìåíå
p
íà
&
w.
Ïîýòîìó, ïîëüçóÿñü îáðàòíûì ïðåîáðàçî-
âàíèåì Ôóðüå â îáîáùåííîé ôîðìå, ìîæåì çàïèñàòü îáðàòíîå ïðåîáðàçîâàíèå
Ãëàâà 11. Ñïåêòðàëüíîå ïðåäñòàâëåíèå íåïåðèîäè÷åñêèõ ôóíêöèé
119
Ëàïëàñà, äàþùåå âîçìîæíîñòü âû÷èñëèòü îðèãèíàë
f
(
t
) ïî åãî îïåðàòîðíîìó
èçîáðàæåíèþ
F
(
ð
) â âèäå
f t
j
F p e dp
F p
pt
c j
c j
( )
( )
[ ( )].
=
=
=
-
- ¥
+ ¥
ò
1
2
1
p
¸
Îáîçíà÷åíèå
¸
–
[ ( )]
1
F p
÷àñòî ïðèìåíÿþò äëÿ êðàòêîé çàïèñè ýòîãî ïðåîá-
ðàçîâàíèÿ. Ôîðìóëà íîñèò íàçâàíèå ô î ð ì ó ë û Ð è ì à í à — Ì å ë ë è í à.
120
×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé
Ãëàâà äâåíàäöàòàÿ
Ðàñ÷åò ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé
ïðè âîçäåéñòâèè èìïóëüñíûõ ÝÄÑ è ÝÄÑ
ïðîèçâîëüíîé ôîðìû
12.1. Ïîíÿòèå îá èìïóëüñíûõ ÝÄÑ è èìïóëüñíûõ ñèñòåìàõ
Áîëüøîé êëàññ ðàäèîòåõíè÷åñêèõ è âîîáùå ýëåêòðîòåõíè÷åñêèõ çàäà÷ ñâÿçàí
ñ èññëåäîâàíèåì ïðîöåññîâ â ýëåêòðè÷åñêèõ öåïÿõ, ïðîòåêàþùèõ ïîä âîçäåéñò-
âèåì êðàòêîâðåìåííûõ âíåøíèõ âîçìóùåíèé, äëèòåëüíîñòü êîòîðûõ ñðàâíèìà
ñ äëèòåëüíîñòüþ ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ. Òàêèå âîçìóùåíèÿ è ïðîöåññû íàçûâà-
þò è ì ï ó ë ü ñ í û ì è. È ì ï ó ë ü ñ í û ì è ñ è ñ ò å ì à ì è íàçûâàþò óñòðîéñòâà,
â êîòîðûõ ôîðìèðóþòñÿ è äåéñòâóþò è ì ï ó ë ü ñ í û å ÝÄÑ è ò î ê è.
Ïåðåäà÷à è ïðåîáðàçîâàíèå ñèãíàëîâ ïðè ïîìîùè èìïóëüñîâ íàõîäèò øè-
ðîêîå ïðèìåíåíèå äëÿ ïåðåäà÷è èíôîðìàöèè, òàê êàê ïðè ýòîì âëèÿíèå ïîìåõ
îêàçûâàåòñÿ íàèìåíüøèì. Áëàãîäàðÿ êðàòêîâðåìåííîñòè èìïóëüñíîãî ïðîöåññà
ïîÿâëÿåòñÿ âîçìîæíîñòü ïîëó÷èòü èìïóëüñû î÷åíü áîëüøîé ìîùíîñòè, âî ìíî-
ãèå ñîòíè ðàç ïðåâûøàþùåé âîçìîæíóþ ìîùíîñòü ñîîòâåòñòâóþùåãî óñòðîéñò-
âà ïðè íåïðåðûâíîé åãî ðàáîòå. Âåñüìà øèðîêî èñïîëüçóåòñÿ èìïóëüñíûé ìåòîä
â àâòîìàòèêå è òåëåìåõàíèêå, â ðàäèîýëåêòðîíèêå è ò. ä. Äëÿ èññëåäîâàíèÿ èì-
ïóëüñíûõ ïðîöåññîâ ïðèìåíèìû âñå èçëîæåííûå â ïðåäûäóùèõ ãëàâàõ ìåòîäû
àíàëèçà ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ. Ïðè îïðåäåëåííûõ ôîðìàõ èìïóëüñîâ è õàðàê-
òåðå èçìåíåíèÿ èíòåðâàëîâ ìåæäó íèìè, çàâèñÿùèõ îò öåëåé, äëÿ êîòîðûõ ïðè-
ìåíÿþòñÿ èìïóëüñíûå ñèñòåìû, âîçìîæíû òå èëè èíûå ñïåöèàëèçèðîâàííûå
ìåòîäû àíàëèçà ïðîöåññîâ â èìïóëüñíûõ ñèñòåìàõ. Ïðèìåíÿþòñÿ èìïóëüñû ðàç-
íîîáðàçíîé ôîðìû, íàïðèìåð ïðÿìîóãîëüíûå (ðèñ. 12.1,
à
), òðàïåöåèäàëüíûå
(ðèñ. 12.1,
á
), òðåóãîëüíûå (ðèñ. 12.1,
â
), ýêñïîíåíöèàëüíûå (ðèñ. 12.1,
ã
), ðàäèî-
èìïóëüñû, ò. å. èìïóëüñû ñ âûñîêî÷àñòîòíûìè êîëåáàíèÿìè (ðèñ. 12.1,
ä
) è äð.
Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü èìïóëüñîâ õàðàêòåðèçóåòñÿ âðåìåíåì
T
ï
èõ ïîâòîðåíèÿ,
äëèòåëüíîñòüþ
T
èíò
èíòåðâàëà (ïàóçû) ìåæäó íèìè è äëèòåëüíîñòüþ
t
èìï
ñàìîãî
èìïóëüñà (ðèñ. 12.2).
 çàâèñèìîñòè îò çíà÷åíèé
t
èìï
,
T
èíò
,
T
ï
, çàêîíà èçìåíåíèÿ ýòèõ âåëè÷èí è
äëèòåëüíîñòè ïåðåõîäíîãî ïðîöåññà ìîãóò áûòü ïðèìåíåíû ðàçëè÷íûå ìåòîäû
àíàëèçà. Ïðè êàæäîì âîçäåéñòâèè èìïóëüñà ÝÄÑ â öåïè ïðîèñõîäèò ïåðåõîä-
íûé ïðîöåññ. Ïî èñòå÷åíèè âðåìåíè
t
èìï
âîçäåéñòâèå èìïóëüñà çàêàí÷èâàåòñÿ
è â öåïè íà÷èíàåòñÿ äðóãîé ïåðåõîäíûé ïðîöåññ, ñâÿçàííûé ñ ðàññåèâàíèåì
Ðèñ. 12.1
Ðèñ. 12.2
ýíåðãèè, íàêîïëåííîé çà âðåìÿ
t
èìï
â ýëåêòðè÷åñêèõ è ìàãíèòíûõ ïîëÿõ êîíäåí-
ñàòîðîâ è êàòóøåê. Åñëè äëèòåëüíîñòü ýòîãî ïåðåõîäíîãî ïðîöåññà íàìíîãî
ìåíüøå äëèòåëüíîñòè ïàóçû
T
èíò
, òî ê ìîìåíòó âîçäåéñòâèÿ ñëåäóþùåãî èìïóëü-
ñà òîêè è íàïðÿæåíèÿ â öåïè áóäóò ðàâíû íóëþ, è ïîýòîìó äëÿ êàæäîãî èìïóëü-
ñà íà÷àëüíûå óñëîâèÿ ÿâëÿþòñÿ íóëåâûìè. Ïîýòîìó ïåðåõîäíûé ïðîöåññ ìîæíî
ðàññ÷èòàòü äëÿ êàæäîãî èìïóëüñà â îòäåëüíîñòè. Åñëè ôîðìû èìïóëüñîâ ïîâòî-
ðÿþòñÿ, òî ïðè ýòîì ðàñ÷åò äîñòàòî÷íî ïðîèçâåñòè äëÿ îäíîãî èìïóëüñà. Êîãäà
äëèòåëüíîñòü ïåðåõîäíîãî ïðîöåññà îêàçûâàåòñÿ áîëüøå
T
èíò
, ïåðåõîäíûé ïðî-
öåññ â ñëåäóþùåì èìïóëüñå áóäåò çàâèñåòü îò ïåðåõîäíîãî ïðîöåññà â ïðåäûäó-
ùèå ìîìåíòû âðåìåíè. Äëÿ àíàëèçà ïðîöåññîâ â òàêèõ ñèñòåìàõ äîëæíû áûòü
ïðèìåíåíû ñïåöèàëüíûå ìåòîäû. Îäíèì èç íèõ â ñëó÷àå ñëåäîâàíèÿ èìïóëüñîâ
äðóã çà äðóãîì ÷åðåç ðàâíûå ïðîìåæóòêè âðåìåíè ÿâëÿåòñÿ ìåòîä, îñíîâàííûé
íà äèñêðåòíîì ïðåîáðàçîâàíèè Ëàïëàñà.
12.2. Ïåðåõîäíûå è èìïóëüñíûå õàðàêòåðèñòèêè ýëåêòðè÷åñêîé
öåïè è ðàñ÷åò öåïè ïðè âîçäåéñòâèè èìïóëüñíîé ÝÄÑ
Âêëþ÷åíèå öåïè ïîä äåéñòâèå èñòî÷íèêà ïîñòîÿííîé ÝÄÑ
E
ñ ïîìîùüþ êëþ÷à
ïðè íóëåâûõ íà÷àëüíûõ óñëîâèÿõ (ðèñ. 12.3,
à
) ìîæíî ðàññìîòðåòü, êàê äåéñòâèå
â ýòîé öåïè ÝÄÑ
Å
(
t
)
=
Å
×
1(
t
), èìåþùåé âðåìåííóþ çàâèñèìîñòü, ïîêàçàííóþ
íà ðèñ. 12.3,
á
, ïðè îòñóòñòâèè êëþ÷à. Óñëîâèìñÿ ôóíêöèè òàêîãî âèäà íàçûâàòü
ñ ê à ÷ ê î î á ð à ç í û ì è ô ó í ê ö è ÿ ì è. Ôóíêöèÿ 1(
t
) ÿâëÿåòñÿ òàê íàçûâàåìîé
å ä è í è ÷ í î é ô ó í ê ö è å é, èìåþùåé çíà÷åíèÿ
1
0
0
1
0
( )
;
.
t
t
t
=
<
³
ïðè
ïðè
Ñìåùåííóþ âïðàâî íà ïðîìåæóòîê âðåìåíè
t
ôóíêöèþ (ðèñ. 12.4) ìîæíî çà-
ïèñàòü â âèäå 1(
t
–
t)
. Ýòà ôóíêöèÿ ðàâíà íóëþ ïðè
t
<
t
è ðàâíà åäèíèöå ïðè
t
³ t
.
Âîçíèêàþùèå â ëèíåéíîé öåïè òîêè è íàïðÿæåíèÿ ïðÿìî ïðîïîðöèîíàëüíû
ïðèëîæåííîé ê öåïè ñêà÷êîîáðàçíîé ÝÄÑ. Ïîýòîìó èìååò ìåñòî ðàâåíñòâî
x t
E t h t
( )
( ) ( ),
=
ãäå
õ
(
t
)
—
èñêîìàÿ âåëè÷èíà, ò. å. òîê èëè íàïðÿæåíèå íà íåêîòîðîì ó÷àñòêå
öåïè â ïåðåõîäíîì ïðîöåññå. Â äàëüíåéøåì äëÿ îïðåäåëåííîñòè áóäåì ïîä
õ
(
t
)
ïîíèìàòü òîê
i
(
t
) íà âõîäå öåïè (ðèñ. 12.3,
á
);
h
(
t
) — ôóíêöèÿ âðåìåíè, íàçûâàå-
ìàÿ ï å ð å õ î ä í î é õ à ð à ê ò å ð è ñ ò è ê î é ö å ï è.
Åñëè èñêîìîé âåëè÷èíîé
õ
(
t
) ÿâëÿåòñÿ òîê
i
(
t
) íà âõîäå öåïè, òî ïåðåõîäíóþ
õàðàêòåðèñòèêó
h
(
t
), èìåþùóþ ïðè ýòîì ðàçìåðíîñòü ïðîâîäèìîñòè, íàçûâàþò
ï å ð å õ î ä í î é ï ð î â î ä è ì î ñ ò ü þ öåïè è îáîçíà÷àþò
Y
(
t
)
.
Ôóíêöèþ
Y
(
t
)
122
×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé
Ðèñ. 12.3
Ðèñ. 12.4