Материал: Демирчян, Нейман, Коровкин, Чечурин. Теоретические основы электротехники.т.2.2003
Ïåðåäàòî÷íóþ ôóíêöèþ âñåé ñëîæíîé ñòðóêòóðíîé ñõåìû ìîæíî îïðåäå-
ëèòü ïóòåì ïîñëåäîâàòåëüíîãî íàõîæäåíèÿ ïåðåäàòî÷íûõ ôóíêöèé îòäåëüíûõ
ó÷àñòêîâ ïðè ïîìîùè ïîëó÷åííûõ âûøå ôîðìóë äëÿ ðàçëè÷íûõ ñîåäèíåíèé.
Íàïðèìåð, ïåðåäàòî÷íóþ ôóíêöèþ
K
(
p
)
=
K
12
(
p
) âñåé ñõåìû, èçîáðàæåííîé íà
ðèñ. 14.24, ìîæíî íàéòè, âûïîëíÿÿ îïåðàöèè, óêàçàííûå íà ýòîì ðèñóíêå.
14.8. Ê âîïðîñó îá óñòîé÷èâîñòè â ýëåêòðè÷åñêèõ öåïÿõ
 ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïÿõ, ñîäåðæàùèõ èñòî÷íèêè ýíåðãèè, ïðè íàëè÷èè
îáðàòíûõ ñâÿçåé ìîæåò âîçíèêíóòü âîïðîñ îá
óñòîé÷èâîñòè ïðîöåññà
â öåïè.
Ïîä óñòîé÷èâîñòüþ áóäåì ïîíèìàòü ñëåäóþùåå. Åñëè ïîä âëèÿíèåì íåêîòî-
ðîãî êðàòêîâðåìåííîãî (èìïóëüñíîãî) âîçìóùåíèÿ
x
0
(
t
) ñèñòåìà âûéäåò èç ñî-
ñòîÿíèÿ ðàâíîâåñèÿ, òî ïðîöåññ â ñèñòåìå óñòîé÷èâ, êîãäà âîçíèêøåå îòêëî-
íåíèå
x
(
t
) îò ñîñòîÿíèÿ ðàâíîâåñèÿ ïîñëå îêîí÷àíèÿ äåéñòâèÿ âîçìóùåíèÿ
ñòðåìèòñÿ ê íóëþ èëè îñòàåòñÿ íåèçìåííûì. Ïðîöåññ â ñèñòåìå íåóñòîé÷èâ,
åñëè ýòî îòêëîíåíèå íàðàñòàåò. Èòàê, ïóñòü
x
0
(
t
) ÿâëÿåòñÿ èìïóëüñíîé ôóíêöè-
åé, è, ñëåäîâàòåëüíî, åå îïåðàòîðíîå èçîáðàæåíèå åñòü ïîñòîÿííàÿ âåëè÷èíà, ò. å.
X
0
(
p
)
=
A
. Îïåðàòîðíûå èçîáðàæåíèÿ îòêëîíåíèÿ è âîçìóùàþùåé ôóíêöèè ñâÿ-
çàíû ÷åðåç ïåðåäàòî÷íóþ ôóíêöèþ
K p
X p
X p
( )
( )
( )
=
0
, îòêóäà
X p
X p K p
AK p
A Q p
G p
a
p p
k
k
k
k n
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
,
=
=
=
=
-
=
=
å
0
1
ãäå
p
1
,
p
2
, ...,
p
n
ñóòü êîðíè óðàâíåíèÿ
G
(
p
)
=
0, ò. å. ÿâëÿþòñÿ ïîëþñàìè ïåðåäà-
òî÷íîé ôóíêöèè è, ñëåäîâàòåëüíî, ïîëþñàìè âåëè÷èíû
X
(
p
)
.
Ïðè ýòîì èìååì
208
×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé
Ðèñ. 14.24
(
)
x t
a e
a e
k
p t
k
n
k
j
t
k
n
k
k
k
( )
.
=
=
=
+
=
å
å
1
1
s
w
Ñèñòåìà óñòîé÷èâà, åñëè âåùåñòâåííûå ÷àñòè
s
k
âñåõ êîðíåé
p
k
îòðèöàòåëü-
íû, òàê êàê
x
(
t
)
®
0 ïðè
t
® ¥
.
Ñèñòåìà óñòîé÷èâà è â òîì ñëó÷àå, åñëè ïàðà ñî-
ïðÿæåííûõ êîðíåé èìååò
s
k
=
0, òàê êàê ïðè ýòîì óñòàíàâëèâàþòñÿ êîëåáàíèÿ ñ
íåèçìåííîé àìïëèòóäîé. Ñèñòåìà íåóñòîé÷èâà,
åñëè õîòÿ áû îäèí èç êîðíåé èìååò ïîëîæèòåëüíóþ
âåùåñòâåííóþ ÷àñòü
s
k
> 0, òàê êàê ñîîòâåòñòâó-
þùèé ÷ëåí
e
p t
k
áóäåò íåîãðàíè÷åííî âîçðàñòàòü.
Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ñèñòåìà óñòîé÷èâà, åñëè âñå
ïîëþñû ïåðåäàòî÷íîé ôóíêöèè ëåæàò â ëåâîé ïî-
ëóïëîñêîñòè ïåðåìåííîé
p
= s
+
j
w
èëè íà ìíèìîé
îñè. Ñèñòåìà íåóñòîé÷èâà, åñëè õîòÿ áû îäèí ïîëþñ
ïåðåäàòî÷íîé ôóíêöèè ëåæèò â ïðàâîé ïîëóïëîñ-
êîñòè (ðèñ. 14.25).
Ïóñòü â ðàññìàòðèâàåìîé ëèíåéíîé ñèñòåìå ïîëíîñòüþ îòñóòñòâóþò îáðàò-
íûå ñâÿçè è îíà óñòîé÷èâà, ò. å. ïåðåäàòî÷íàÿ ôóíêöèÿ
K
1
(
p
) ýòîé ðàçîìêíóòîé
ñèñòåìû íå èìååò ïîëþñîâ â ïðàâîé ïîëóïëîñêîñòè. Çàìêíåì ñèñòåìó ñ ïîìî-
ùüþ îáðàòíîé ñâÿçè, ïåðåäàòî÷íàÿ ôóíêöèÿ
K
2
(
p
) êîòîðîé òàêæå íå èìååò ïî-
ëþñîâ â ïðàâîé ïîëóïëîñêîñòè.
Ïåðåäàòî÷íàÿ ôóíêöèÿ çàìêíóòîé ñèñòåìû èìååò âèä
K p
K p
K p K p
Q p G p
Q p Q p
G p
3
1
1
2
1
1
1
2
1
1
1
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
(
=
-
=
-
) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
G p
Q p G p
G p G p Q p Q p
Q p G p
2
1
2
1
2
1
2
1
2
=
=
-
=
b p
b p
b
n
n
n
n
+
+ +
-
-
1
1
0
K
.
 çíàìåíàòåëå ïåðåäàòî÷íîé ôóíêöèè èìååì ðàçíîñòü äâóõ ïîëèíîìîâ îò
p
G
1
(
p
)
G
2
(
p
) –
Q
1
(
p
)
Q
2
(
p
), è ïîýòîìó â ðåçóëüòèðóþùåì ïîëèíîìå
b
n
p
n
+
b
n
–1
p
n
–1
+
+ ... +
b
0
âîçìîæíî ïîÿâëåíèå êîðíåé â ïðàâîé ïîëóïëîñêîñòè è ñèñòåìà ìîæåò
îêàçàòüñÿ íåóñòîé÷èâîé. Ïî ýòîé ïðè÷èíå âîçíèêàåò íåîáõîäèìîñòü â èññëåäî-
âàíèè âîïðîñà îá óñòîé÷èâîñòè çàìêíóòîé ñèñòåìû, åñëè äàæå çàâåäîìî èçâåñò-
íî, ÷òî ðàçîìêíóòàÿ ñèñòåìà ÿâëÿåòñÿ óñòîé÷èâîé.
Äëÿ òîãî ÷òîáû ñèñòåìà áûëà óñòîé÷èâîé, êîýôôèöèåíòû ïîëèíîìà çíàìåíà-
òåëÿ äîëæíû óäîâëåòâîðÿòü îïðåäåëåííûì óñëîâèÿì, èçâåñòíûì â ëèòåðàòóðå
ïîä íàçâàíèåì êðèòåðèåâ óñòîé÷èâîñòè Ðàóñà–Ãóðâèöà. Ïðèâåäåì áåç äîêàçà-
òåëüñòâà ýòè êðèòåðèè. Ñîñòàâèì âñïîìîãàòåëüíóþ ìàòðèöó êîýôôèöèåíòîâ ïî-
ëèíîìà
b
n
p
n
+
b
n
–1
p
n
–1
+ ... +
b
0
, ñîñòîÿùóþ èç
n
ñòðîê è
n
ñòîëáöîâ, â ñëåäóþùåì
âèäå
Ãëàâà 14. Öåïíûå ñõåìû. Ýëåêòðè÷åñêèå ôèëüòðû. Ñòðóêòóðíûå ñõåìû
209
Ðèñ. 14.25
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
-
-
-
-
-
-
-
-
1
3
2
1
5
4
3
2
0
0
0
0
0
0
0
0
K
K
K
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
2
0
K
K
b
b
b
.
Ïî âåðòèêàëè íîìåðà êîýôôèöèåíòîâ èçìåíÿþòñÿ íà äâå åäèíèöû, à ïî ãîðè-
çîíòàëè èäóò ïî ïîðÿäêó. Ïî âèäó ìàòðèöû î÷åâèäåí ñïîñîá åå ïîñòðîåíèÿ. Ãóð-
âèö ïîêàçàë, ÷òî åñëè âñå
n
äèàãîíàëüíûõ ìèíîðîâ ýòîé ìàòðèöû áîëüøå íóëÿ,
òî ïîëèíîì íå èìååò êîðíåé â ïðàâîé ïîëóïëîñêîñòè. Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî
b
n
> 0
.
Òîãäà ïåðâûé ìèíîð ýòîé òàáëèöû áóäåò
b
n
–1
, âòîðîé ìèíîð åñòü îïðåäåëèòåëü,
ñîñòàâëåííûé èç ÷ëåíîâ äâóõ ïåðâûõ ñòðîê-ñòîëáöîâ:
D
D
1
1
2
1
3
2
0
=
>
=
-
-
-
-
b
b
b
b
b
n
n
n
n
n
;
,
òðåòèé ìèíîð
D
3
1
3
2
1
5
4
3
0
=
-
-
-
-
-
-
-
b
b
b
b
b
b
b
b
n
n
n
n
n
n
n
n
è òàê äàëåå.
Òàêèì îáðàçîì, êðèòåðèåì óñòîé÷èâîñòè ñëóæàò íåðàâåíñòâà
D
D
D
D
1
2
3
0
0
0
0
>
>
>
>
;
;
;
;
.
K
n
Ïðè àíàëèçå ñèñòåì ñ îòðèöàòåëüíîé îáðàòíîé ñâÿçüþ íàõîäÿò ïðèìåíåíèå
òàêæå ÷àñòîòíûå êðèòåðèè óñòîé÷èâîñòè.
Ðàññìîòðèì îäèí èç òàêèõ êðèòåðèåâ, îñíîâàííûé íà àíàëèçå ãîäîãðàôà àì-
ïëèòóäíî-ôàçîâîé ÷àñòîòíîé õàðàêòåðèñòèêè ðàçîìêíóòîé ñèñòåìû.
Ïðè ðàçðûâå öåïè îáðàòíîé ñâÿçè â ìåñòå ïðîõîæäåíèÿ ñèãíàëà
Õ
2
(ñì.
ðèñ. 14.21) îáðàçóåòñÿ ðàçîìêíóòàÿ ñèñòåìà ñ äâóìÿ ïîñëåäîâàòåëüíî ñîåäèíåí-
íûìè áëîêàìè ñ ïåðåäàòî÷íîé ôóíêöèåé
K p
X p
X p
K p K p
( )
( )
( )
( )
( ).
=
=
×
2
0
1
2
Ïî âèäó ãîäîãðàôà àìïëèòóäíî-ôàçîâîé ÷àñ-
òîòíîé õàðàêòåðèñòèêè
K
(
j
w
)
=
K
1
(
j
w
)
×
K
2
(
j
w
) ìîæ-
íî ñóäèòü î òîì, áóäåò ëè óñòîé÷èâîé çàìêíóòàÿ
ñèñòåìà.
Åñëè ïðè
w =
0 ðàçîìêíóòàÿ ñèñòåìà èìååò
êîýôôèöèåíò ïåðåäà÷è, ïðè êîòîðîì âëèÿíèå
âûñîêî÷àñòîòíûõ ïîìåõ ìèíèìàëüíîå, ðàâíûé
K
(
j
0) =
K
ó
, à ïðè
w ® ¥
K
(
j
w
)
®
0, ÷òî õàðàêòåðíî äëÿ ñèñòåì óïðàâëåíèÿ è ðå-
ãóëèðîâàíèÿ, òî òèïè÷íûé ãîäîãðàô
K
(
j
w
) èìååò ïîêàçàííûé íà ðèñ. 14.26 âèä.
210
×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé
Ðèñ. 14.26
Òàê êàê ãîäîãðàô ïðîõîäèò ÷åðåç ÷åòûðå êâàäðàíòà, òî â ðàññìàòðèâàåìîì
ñëó÷àå íàèâûñøàÿ ñòåïåíü ïîëèíîìà çíàìåíàòåëÿ ïåðåäàòî÷íîé ôóíêöèè
K
(
p
)
ïðåâûøàåò íà ÷åòûðå íàèâûñøóþ ñòåïåíü ïîëèíîìà ÷èñëèòåëÿ (ñì. § 13.5).
Ïðè ÷àñòîòå
w
1
, ñîîòâåòñòâóþùåé òî÷êå ïåðåñå÷åíèÿ ãîäîãðàôà
K
(
j
w
) ñ îòðè-
öàòåëüíîé ÷àñòüþ îñè âåùåñòâåííûõ, óãîë ñäâèãà ïî ôàçå ìåæäó ñèãíàëàìè
Õ
0
è
Õ
2
ñîñòàâëÿåò 180
°
, òàê ÷òî, ó÷èòûâàÿ, ÷òî îáðàòíàÿ ñâÿçü îòðèöàòåëüíàÿ, ïðè
âîçíèêíîâåíèè êîëåáàíèé ñèãíàëà
Õ
0
ñ ÷àñòîòîé
w
1
è çàìûêàíèè öåïè îáðàòíîé
ñâÿçè ñèãíàë
Õ
2
áóäåò ñîâïàäàòü ïî ôàçå ñ ñèãíàëîì
Õ
0
.
 ðåçóëüòàòå îáðàòíàÿ ñâÿçü ïðè
w
=
w
1
ñòàíîâèòñÿ ïîëîæèòåëüíîé è ñèñòåìà
ìîæåò ñòàòü íåóñòîé÷èâîé, ÷òî áóäåò èìåòü ìåñòî, åñëè êîýôôèöèåíò ïåðåäà÷è
ñèñòåìû ïðè ÷àñòîòå
w
1
ïðåâûøàåò 1.
Ãëàâà 14. Öåïíûå ñõåìû. Ýëåêòðè÷åñêèå ôèëüòðû. Ñòðóêòóðíûå ñõåìû
211
Âîïðîñû óïðàæíåíèÿ è çàäà÷è ê ãëàâàì 13 è 14
13.1. Óðàâíåíèÿ è ñèñòåìû ïàðàìåòðîâ ÷åòûðåõïîëþñíèêîâ
ÂÎÏÐÎÑÛ
1.
Ìîãóò ëè âñå ïàðàìåòðû ÷åòûðåõïîëþñíèêà áûòü:
à
) âåùåñòâåííûìè;
á
) ìíè-
ìûìè;
â
) êîìïëåêñíûìè?
2.
 êàêèõ ñëó÷àÿõ öåëåñîîáðàçíî âûáèðàòü óñëîâ-
íûå ïîëîæèòåëüíûå íàïðàâëåíèÿ òîêîâ
&
I
1
,
&
I
2
òàê,
êàê óêàçàíî íà ðèñ. B13.1 è B13.2?
3.
Ñêîëüêî ïàðàìåòðîâ ÷åòûðåõïîëþñíèêà íåîáõî-
äèìî çàäàòü, ÷òîáû çàïèñàòü óðàâíåíèÿ, ñâÿçûâàþ-
ùèå òîêè è íàïðÿæåíèÿ íà åãî âõîäíûõ è âûõîä-
íûõ çàæèìàõ, åñëè èçâåñòíî, ÷òî ÷åòûðåõïîëþñíèê:
à
) ñèììåòðè÷íûé,
á
) íåñèììåòðè÷íûé?
4.
Ìîãóò ëè ïàðàìåòðû
A
,
B
,
C
,
D
ïàññèâíîãî ÷åòû-
ðåõïîëþñíèêà áûòü âñå ðàâíûìè åäèíèöå?
5.
A
-ïàðàìåòðû ÷åòûðåõïîëþñíèêà, ñîäåðæàùåãî ðå-
àêòèâíûå ýëåìåíòû, ðàññ÷èòàíû ïðè ÷àñòîòå íàïðÿæåíèÿ
® w
0
. Ñîõðàíÿò ëè îíè
ñâîè çíà÷åíèÿ ïðè ÷àñòîòå 2
w
0
?
6.
Ïî÷åìó
Í
-ïàðàìåòðû ÷åòûðåõïîëþñíèêà íàçûâàþò ãèáðèäíûìè?
7.
(Î) Ñêîëüêî ìîæíî ïðåäëîæèòü ñèñòåì ïàðàìåòðîâ ïàññèâíîãî ÷åòûðåõïî-
ëþñíèêà, ñâÿçûâàþùèõ åãî âõîäíûå è âûõîäíûå íàïðÿæåíèÿ è òîêè?
ÓÏÐÀÆÍÅÍÈß
1.
Âûðàçèòå íåäîñòàþùèé â ñòðîêàõ
À
–
Ã
òàáëèö ïàðàìåòð ÷åòûðåõïîëþñíèêà
÷åðåç çàäàííûå:
À
Á
Â
Ã
à
B C D
A
C D
A B
D
A B C
á
H
H
H
H
)
?
?
?
?
; )
?
é
ë
ê
ê
ê
ê
ù
û
ú
ú
ú
ú
12
21
22
11
?
?
?
; )
?
H
H
H
H
H
H
H
H
â
Z
Z
Z
21
22
11
12
22
11
12
21
12
21
é
ë
ê
ê
ê
ê
ù
û
ú
ú
ú
ú
22
11
21
22
11
12
22
11
12
21
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
?
?
?
.
é
ë
ê
ê
ê
ê
ù
û
ú
ú
ú
ú
2.
Âûðàçèòå ÷åðåç
Z
-ïàðàìåòðû ñèììåòðè÷íîãî ÷åòûðåõïîëþñíèêà åãî
A-
,
Y-
è
H
-ïàðàìåòðû ïðè óêàçàííûõ íà ðèñ. B13.1 è B13.2 ïîëîæèòåëüíûõ íàïðàâëå-
íèÿõ òîêîâ è íàïðÿæåíèé.
3.
(Ð) Âûðàçèòå ïàðàìåòðû ÷åòûðåõïîëþñíèêîâ, ïîêàçàííûõ íà ðèñ. B13.3, ÷å-
ðåç ïàðàìåòðû
r
,
L
,
C
èõ ýëåìåíòîâ â óñòàíîâèâøåìñÿ ñèíóñîèäàëüíîì ðåæèìå.
Ìîãóò ëè áûòü îïðåäåëåíû:
à
)
Z
-ïàðàìåòðû ÷åòûðåõïîëþñíèêîâ â ñòðîêå
a
;
á
)
Y
-ïàðàìåòðû ÷åòûðåõïîëþñíèêîâ â ñòðîêå
á
?
ÇÀÄÀ×È
1.
(Ð) Íàéäèòå
A
-,
Z
-,
Y
-ïàðàìåòðû èçîáðàæåííûõ íà ðèñ. B13.4 ÷åòûðåõïîëþñ-
íèêîâ.
Ðèñ. B13.1
Ðèñ. B13.2