Материал: Демирчян, Нейман, Коровкин, Чечурин. Теоретические основы электротехники.т.2.2003

è äðóãîé ðàç íàèìåíüøåå âîçìîæíûå çíà÷åíèÿ, îïðåäåëÿåìûå ïî êðèâîé

Y =

F

(

i

).

Ýòèì ïóòåì îïðåäåëÿòñÿ êðàéíèå ïðåäåëû âîçìîæíûõ ïðîöåññîâ. Äåéñòâèòåëü-

íûé ïðîöåññ áóäåò áëèæå ê òîìó, êîòîðûé ìîæåò áûòü ðàññ÷èòàí ïðè íåêîòîðîì

ñðåäíåì çíà÷åíèè

L

.

22.13. Èçîáðàæåíèå ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ

íà ôàçîâîé ïëîñêîñòè

Ïóñòü èññëåäóåìûé ïðîöåññ â öåïè îïèñûâàåòñÿ ëèíåéíûì èëè íåëèíåéíûì óðàâ-

íåíèåì ïåðâîãî èëè âòîðîãî ïîðÿäêà, ïðè÷åì êîýôôèöèåíòû óðàâíåíèÿ íå ÿâ-

ëÿþòñÿ ÿâíûìè ôóíêöèÿìè âðåìåíè. Ðàññìîòðèì ñëó÷àé çàìûêàíèÿ òàêèõ öå-

ïåé íàêîðîòêî èëè âêëþ÷åíèÿ èõ ïîä äåéñòâèå ïîñòîÿííîé ÝÄÑ, ò. å. ñëó÷àé, êî-

ãäà ñâîáîäíûé ÷ëåí óðàâíåíèÿ íå çàâèñèò îò âðåìåíè. Äëÿ óÿñíåíèÿ õàðàêòåðà

ïðîöåññà ïðè ýòîì îêàçûâàåòñÿ âåñüìà ïîëåçíûì èçîáðàçèòü åãî íà òàê íàçûâàå-

ìîé ô à ç î â î é ï ë î ñ ê î ñ ò è. Â ýòîé ïëîñêîñòè îäíîé èç äåêàðòîâûõ êîîðäè-

íàò ÿâëÿåòñÿ èçìåíÿþùàÿñÿ âî âðåìåíè âåëè÷èíà

x

(

t

), õàðàêòåðèçóþùàÿ èññëå-

äóåìûé ïðîöåññ, íàïðèìåð òîê â öåïè

i

(

t

), íàïðÿæåíèå íà êîíäåíñàòîðå

u

C

(

t

),

ïîòîêîñöåïëåíèå êàòóøêè

Y

(

t

) è ò. ï. Äðóãîé êîîðäèíàòîé ÿâëÿåòñÿ ïðîèçâîä-

íàÿ îò ýòîé âåëè÷èíû ïî âðåìåíè

y

=

dx

/

dt

, íàïðèìåð ñîîòâåòñòâåííî

di

/

dt

,

du

C

/

dt

,

d

Y

/

dt

è ò. ä.

Òî÷êà (

x

,

y

) íà ôàçîâîé ïëîñêîñòè íàçûâàåòñÿ è ç î á ð à æ à þ ù å é ò î ÷ ê î é.

Ëèíèÿ, êîòîðóþ âû÷åð÷èâàåò íà ôàçîâîé ïëîñêîñòè èçîáðàæàþùàÿ òî÷êà ïðè

ïðîòåêàíèè ïðîöåññà âî âðåìåíè, íàçûâàåòñÿ ô à ç î â î é ò ð à å ê ò î ð è å é.

Çíà÷åíèÿ

x

è

y

=

dx

/

dt

, ò. å. ïîëîæåíèå èçîáðàæàþùåé òî÷êè íà ïëîñêîñòè,

âïîëíå îïðåäåëÿþò ñîñòîÿíèå ïðîöåññà â äàííûé ìîìåíò âðåìåíè.

Çàìåòèì, ÷òî

â âåðõíåé ïîëóïëîñêîñòè ó

=

dx

/

dt

> 0, ò. å.

x

óâåëè÷èâàåòñÿ è,

ñëåäîâàòåëüíî,

èçîáðàæàþùàÿ òî÷êà äâèæåòñÿ ñëåâà íàïðàâî. Â íèæíåé ïîëó-

ïëîñêîñòè ó

< 0,

õ

óáûâàåò è

èçîáðàæàþùàÿ òî÷êà äâèæåòñÿ ñïðàâà íàëåâî

.

Åñëè èìååì óðàâíåíèå ïåðâîãî ïîðÿäêà (

ax

¢

+

bx

+

c

=

0 èëè, ñîîòâåòñòâåííî,

ay

+

bx

+

ñ

=

0), òî êàæäîìó çíà÷åíèþ

x

ñîîòâåòñòâóåò îïðåäåëåííîå çíà÷åíèå

ó

,

îïðåäåëÿåìîå èç ýòîãî óðàâíåíèÿ. Ñëåäîâàòåëüíî, íà ôàçîâîé ïëîñêîñòè ïðî-

öåññ èçîáðàæàåòñÿ îäíîé îïðåäåëåííîé ôàçîâîé òðà-

åêòîðèåé (ïðÿìîé, åñëè óðàâíåíèå ëèíåéíîå, ò. å.

a

,

b

è

c

íå çàâèñÿò îò

x

, è êðèâîé, åñëè óðàâíåíèå íåëèíåé-

íîå, ïðè÷åì

a

,

b

,

c

ñóòü îäíîçíà÷íûå ôóíêöèè îò

x

èëè

y

). Â âèäå ïðèìåðà íà ðèñ. 22.28 ñïëîøíîé êðèâîé

èçîáðàæåíà ôàçîâàÿ òðàåêòîðèÿ äëÿ ñëó÷àÿ âêëþ÷åíèÿ

êàòóøêè ñ ôåððîìàãíèòíûì ñåðäå÷íèêîì, ðàññìîòðåí-

íîãî â § 22.9 è 22.10, ïîä äåéñòâèå ïîñòîÿííîãî íà-

ïðÿæåíèÿ

U

0

=

7,65 Â, ò. å. äëÿ ñëó÷àÿ, èññëåäîâàííîãî

ðàçëè÷íûìè ìåòîäàìè, ïðè÷åì â êà÷åñòâå ïåðåìåí-

íîé

x

ïðèíÿò òîê

i

â êàòóøêå. Èç óðàâíåíèÿ öåïè

L di

dt

ri U

ä

+ =

0

èëè, ñîîòâåòñòâåííî,

L

ä

y

+

rx

=

U

0

, ãäå äèíàìè÷åñêàÿ èíäóêòèâ-

íîñòü

L

ä

=

d

Y

/

di

= j

(

i

)

= j

(

x

) íàõîäèòñÿ ïî êðèâîé íàìàãíè÷èâàíèÿ êàòóøêè

468

×àñòü 3. Òåîðèÿ íåëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ è ìàãíèòíûõ öåïåé

Ðèñ. 22.28

(êðèâàÿ

1

íà ðèñ. 22.17), îïðåäåëÿåì äëÿ êàæäîãî çíà÷åíèÿ

õ

ñîîòâåòñòâóþùåå

åìó çíà÷åíèå

y

è ñòðîèì ïî òî÷êàì ôàçîâóþ òðàåêòîðèþ. Òî÷êà

B

ÿâëÿåòñÿ òî÷êîé

óñòàíîâèâøåãîñÿ ðåæèìà (

i

=

I

0

=

U

0

/

r

), ê êîòîðîé ñòðåìèòñÿ èçîáðàæàþùàÿ òî÷-

êà, ïåðåìåùàÿñü ïî ôàçîâîé òðàåêòîðèè. Ïîëîæåíèå òî÷êè

B

íà îñè

x

çàâèñèò îò

çíà÷åíèÿ è çíàêà

U

0

. Ñêîðîñòü äâèæåíèÿ èçîáðàæàþùåé òî÷êè ïî ìåðå ïðèáëèæå-

íèÿ åå ê òî÷êå

B

çàìåäëÿåòñÿ, è òåîðåòè÷åñêè òî÷êà

B

äîñòèãàåòñÿ òîëüêî ïðè

t

= ¥

.

Øòðèõîâàÿ êðèâàÿ íà ðèñ. 22.28 èçîáðàæàåò ôàçîâóþ òðàåêòîðèþ äëÿ êàòóø-

êè ñ òåì æå ñîïðîòèâëåíèåì

r

=

8,5 Îì, íî ïðè ïîñòîÿííîé èíäóêòèâíîñòè

¢

L

0

=

1,22 Ãí, ò. å. êîãäà ïðîöåññ îïèñûâàåòñÿ ëèíåéíûì óðàâíåíèåì.

Òî÷êè

À

è

À

¢

ÿâëÿþòñÿ òî÷êàìè íà÷àëà ïðîöåññà ïðè

t

=

0. Â äàííîì ïðèìåðå

íà÷àëüíîå çíà÷åíèå òîêà

i

=

õ

=

0. Åñëè áû íà÷àëüíîå çíà÷åíèå òîêà áûëî èíîå, òî

ïðîöåññ íà÷èíàëñÿ áû â äðóãèõ òî÷êàõ ôàçîâûõ òðàåêòîðèé, íî âî âñåõ ñëó÷àÿõ

èçîáðàæàþùàÿ òî÷êà ñòðåìèòñÿ ïî òîé æå òðàåêòîðèè ê òî÷êå

Â

óñòàíîâèâøåãî-

ñÿ ðåæèìà. Èçìåíåíèÿ òîêà âî âðåìåíè, ñîîòâåòñòâóþùèå êðèâûì íà ðèñ. 22.28,

ïðåäñòàâëåíû êðèâûìè

i

(

t

) (ñïëîøíîé è øòðèõîâîé) íà ðèñ. 22.23.

Åñëè â êà÷åñòâå ïåðåìåííîé

õ

äëÿ òîé æå çàäà÷è ïðèíÿòü ïîòîêîñöåïëåíèå

Y

,

òî óðàâíåíèå áóäåò èìåòü âèä

d

dt

r

L

U

Y

Y

+

=

ñò

0

èëè, ñîîòâåòñòâåííî,

y

r

L

x U

+

=

ñò

0

,

ãäå ñòàòè÷åñêàÿ èíäóêòèâíîñòü

L

ñò

= Y

/

i

=

F

(

Y

) íàõîäèòñÿ òàêæå ïî êðèâîé íà-

ìàãíè÷èâàíèÿ (êðèâàÿ

1

íà ðèñ. 22.17). Íà ðèñ. 22.29 èçîáðàæåíû ôàçîâûå òðà-

åêòîðèè, äàþùèå ñâÿçü ìåæäó ïîòîêîñöåïëåíèåì

Y

è ñêîðîñòüþ åãî èçìåíåíèÿ

d

Y

/

dt

äëÿ òîé æå êàòóøêè. Ñïëîøíàÿ êðèâàÿ ñîîòâåòñòâóåò íåëèíåéíîé çàâèñè-

ìîñòè

Y

îò

i

, à øòðèõîâàÿ — ëèíåéíîé çàâèñèìîñòè

Y

îò

i

, ò. å. ïðåäïîëîæåíèþ,

÷òî

L

L

0

0

= ¢ =

const. Ñîîòâåòñòâóþùèå êðèâûå çàâèñèìîñòè

Y

îò âðåìåíè ïðèâå-

äåíû íà ðèñ. 22.23.

Åñëè ïðîöåññ îïèñûâàåòñÿ óðàâíåíèåì âòîðîãî ïî-

ðÿäêà, òî â çàâèñèìîñòè îò íà÷àëüíûõ óñëîâèé

x

(0)

=

x

0

è

y

(0)

=

y

0

èçîáðàæàþùàÿ òî÷êà áóäåò îïèñûâàòü òó

èëè èíóþ ôàçîâóþ òðàåêòîðèþ, ïðîõîäÿùóþ ÷åðåç ýòó

íà÷àëüíóþ òî÷êó. Ïðè ýòîì íè îäíà ôàçîâàÿ òðàåêòî-

ðèÿ íå ïåðåñåêàåòñÿ ñ äðóãîé, òàê êàê âî âñåõ ñëó÷àÿõ â

ðåàëüíîé ýëåêòðè÷åñêîé öåïè ïðîöåññ îò ëþáîãî åãî

ñîñòîÿíèÿ ïðîòåêàåò îïðåäåëåííûì îáðàçîì. Ôàçîâûå

òðàåêòîðèè ìîãóò òîëüêî ñõîäèòüñÿ èëè ðàñõîäèòüñÿ â

íåêîòîðûõ òî÷êàõ, ÷òî áóäåò âèäíî èç äàëüíåéøåãî.

Äëÿ ëó÷øåãî óÿñíåíèÿ âîïðîñà ðàññìîòðèì ñíà÷àëà âèä ôàçîâûõ òðàåêòîðèé

äëÿ óæå èçó÷åííûõ ñëó÷àåâ ðàçðÿäà êîíäåíñàòîðà íà öåïü

r

,

L

äëÿ ëèíåéíîé öåïè

(ñì. § 9.8, ÷. II). Ïîëàãàÿ â óðàâíåíèè äëÿ òîêà â öåïè

L d i

dt

r di

dt C

i

2

2

1

0

+

+

=

,

i

=

x

è

di

dt

dx

dt

y

=

=

, áóäåì èìåòü

dy

dt

r

L

y

LC

x

dy

dt

r

L

y

LC

x

+

+

=

= -

+

æ
è

ç

ö
ø

÷

1

0

1

èëè

.

Ãëàâà 22. Ýëåìåíòû òåîðèè êîëåáàíèé è ìåòîäû ðàñ÷åòà ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ

469

Ðèñ. 22.29

Ðàçäåëèâ ýòî óðàâíåíèå íà

dx

/

dt

=

y

, ïîëó÷àåì

dy
dx

r

L

y

LC

x

y

= -

+

1

,

÷òî è ÿâëÿåòñÿ óðàâíåíèåì ôàçîâîé òðàåêòîðèè.

 ñëó÷àå êîãäà

r

=

0, èìååì

dy
dx

LC

x
y

= -

1

,

ò. å.

y

LC

x

A

2

2

2

1

+

=

,

ïðè÷åì

A

2

îïðåäåëÿåòñÿ íà÷àëüíûìè çíà÷åíèÿìè

x

(0)

=

x

0

è

y

(0)

=

y

0

. Òàêèì îá-

ðàçîì, ôàçîâàÿ òðàåêòîðèÿ ÿâëÿåòñÿ ýëëèïñîì ñ ïîëóîñÿìè

A LC

è

A

. Òàê êàê ïðè

õ

=

x

max

=

I

m

èìååì

y

=

0, òî

A

=

I

m

/

LC

=

y

max

,

ãäå

I

m

— àìïëèòóäà òîêà, èçìåíÿþùåãîñÿ

ïðè

r

=

0 ïî ñèíóñîèäàëüíîìó çàêîíó (ñì.

§ 9.8). Íà ðèñ. 22.30 ïðèâåäåíû êðèâàÿ òîêà

i

(

t

) ïðè

i

(0)

=

0 è ñîîòâåòñòâóþùàÿ åé ôàçî-

âàÿ òðàåêòîðèÿ ñ íà÷àëüíîé òî÷êîé

A

. Ïðè

äðóãèõ íà÷àëüíûõ çíà÷åíèÿõ òîêà è åãî

ïðîèçâîäíîé èçîáðàæàþùàÿ òî÷êà áóäåò

òàêæå îïèñûâàòü ýëëèïñ, íî â îáùåì ñëó-

÷àå — ñ äðóãèìè âåëè÷èíàìè ïîëóîñåé. Âñå

ýòè ýëëèïñû îõâàòûâàþò òî÷êó

M

(â äàííîì

ñëó÷àå íà÷àëî êîîðäèíàò). Òî÷êà

M

, êîãäà îõâàòûâàþùèå åå ôàçîâûå òðàåêòîðèè

ÿâëÿþòñÿ ðàñïîëîæåííûìè îäíà â äðóãîé çàìêíóòûìè êðèâûìè, íàçûâàåòñÿ

ö å í ò ð î ì. Â ýòîì ñëó÷àå èìååì óñòîé÷èâûå íåçàòóõàþùèå êîëåáàíèÿ.

Åñëè

r

¹

0, òî ðàçðÿä êîíäåíñàòîðà áóäåò ëèáî çàòóõàþùèì êîëåáàòåëüíûì

ïðè

r

L C

<

2

, ëèáî àïåðèîäè÷åñêèì ïðè

r

L C

>

2

. Êðèâûå

i

(

t

) äëÿ ñëó÷àÿ

i

(0)

=

0

è ñîîòâåòñòâóþùèå èì ôàçîâûå òðàåêòîðèè èçîáðàæåíû íà ðèñ. 22.31 è 22.32.

 ñëó÷àå êîëåáàòåëüíîãî ðàçðÿäà (

r

L C

<

2

) ôàçîâàÿ òðàåêòîðèÿ ïðåäñòàâ-

ëÿåò ñîáîé ñâèâàþùóþñÿ ê òî÷êå

M

ñïèðàëü (ñì. ðèñ. 22.31), ïðè÷åì êàæäîìó

470

×àñòü 3. Òåîðèÿ íåëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ è ìàãíèòíûõ öåïåé

Ðèñ. 22.30

Ðèñ. 22.31

Ðèñ. 22.32

âèòêó ñïèðàëè ñîîòâåòñòâóåò îäèí ïåðèîä êîëåáàíèé. Òåîðåòè÷åñêè îêîëî òî÷êè

M

ðàñïîëàãàåòñÿ áåñêîíå÷íî áîëüøîå ÷èñëî âèòêîâ ñïèðàëè, ñîîòâåòñòâóþùåå

áåñêîíå÷íîìó ÷èñëó êîëåáàíèé ñ óáûâàþùèìè â îäíîì è òîì æå îòíîøåíèè àì-

ïëèòóäàìè. Ïðàêòè÷åñêè æå ïðîöåññ çàòóõàåò â òå÷åíèå êîíå÷íîãî ïðîìåæóòêà

âðåìåíè. Òî÷êà

M

, ê êîòîðîé ñõîäÿòñÿ ñïèðàëè ôàçîâûõ òðàåêòîðèé, íîñèò íà-

çâàíèå ó ñ ò î é ÷ è â î ã î ô î ê ó ñ à.

 ñëó÷àå

r

L C

>

2

ïðîöåññ áóäåò àïåðèîäè÷åñêèì, òîê íå ìåíÿåò ñâîåãî çíàêà

è íà ôàçîâîé òðàåêòîðèè èçîáðàæàþùàÿ òî÷êà íå ñîâåðøàåò áîëåå îäíîãî ïîëó-

îáîðîòà. Òî÷êà

M

òàêîãî òèïà íîñèò íàèìåíîâàíèå ó ñ ò î é ÷ è â î ã î ó ç ë à.

Âî âñåõ ñëó÷àÿõ, èçîáðàæåííûõ íà ðèñ. 22.30–22.32, íà÷àëüíàÿ òî÷êà

A

èìååò

êîîðäèíàòû

x

0

=

0 è

y

0

=

(

di

/

dt

)

t

=

0

=

–

U

C

0

/

L

, ãäå

U

C

0

— íà÷àëüíîå íàïðÿæåíèå íà

êîíäåíñàòîðå, ÷òî âûòåêàåò èç äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ öåïè ïðè óñëîâèè

i

(0)

=

0.

 ðàññìîòðåííûõ ñëó÷àÿõ òî÷êè

M

ÿâëÿþòñÿ òî÷êàìè óñòîé÷èâîãî ðàâíîâåñèÿ.

 íåëèíåéíûõ öåïÿõ, ñîäåðæàùèõ íåëèíåéíûå ýëåìåíòû ñ ïàäàþùèìè ó÷àñò-

êàìè õàðàêòåðèñòèê, êàê áûëî ïîêàçàíî â § 22.5, ìîãóò èìåòü ìåñòî ñîñòîÿíèÿ êàê

óñòîé÷èâîãî, òàê è íåóñòîé÷èâîãî ðàâíîâåñèÿ. Íåóñòîé÷èâîå ðàâíîâåñèå âîçìîæíî

òàêæå ïðè íàëè÷èè äîñòàòî÷íîé ïîëîæèòåëüíîé îáðàòíîé ñâÿ-

çè (ñì. § 22.6). Â ñëó÷àå íåóñòîé÷èâîãî ðàâíîâåñèÿ ðàç âîç-

íèêøåå íåáîëüøîå îòêëîíåíèå îò ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ â

äàëüíåéøåì âîçðàñòàåò. Ïðè ýòîì âîçìîæåí ñëó÷àé àïåðèî-

äè÷åñêîãî ïåðåõîäà â äðóãèå óñòîé÷èâûå ñîñòîÿíèÿ ðàâíîâå-

ñèÿ èëè ñëó÷àé íàðàñòàíèÿ àâòîêîëåáàíèé â öåïè äî íåêîòî-

ðîãî óñòîé÷èâîãî çíà÷åíèÿ àìïëèòóäû êîëåáàíèé, ïðèìåðîì

÷åãî ÿâëÿåòñÿ òpàíçèñòîðíûé ãåíåðàòîð (ñì. § 22.6). Â îáîèõ

ñëó÷àÿõ íîâîå óñòîé÷èâîå ñîñòîÿíèå èëè, ñîîòâåòñòâåííî,

óñòîé÷èâûé ïåðèîäè÷åñêèé àâòîêîëåáàòåëüíûé ïðîöåññ îïðå-

äåëÿþòñÿ íåëèíåéíîñòüþ õàðàêòåðèñòèê ýëåìåíòîâ öåïè.

Ïðè àïåðèîäè÷åñêîì ïðîöåññå òî÷êå íåóñòîé÷èâîãî ðàâíîâåñèÿ ñîîòâåòñòâóåò íà

ôàçîâîé ïëîñêîñòè òî÷êà

M

, íàçûâàåìàÿ í å ó ñ ò î é ÷ è â û ì ó ç ë î ì (ðèñ. 22.33).

 ýòîì ñëó÷àå ðàñõîäÿùèåñÿ îò òî÷êè

M

ôàçîâûå òðàåêòî-

ðèè ïðèõîäÿò â óñòîé÷èâûå óçëû, íå ïîêàçàííûå íà ðèñóí-

êå. Ïðè êîëåáàòåëüíîì ïðîöåññå ýòî áóäåò í å ó ñ ò î é ÷ è -

â û é ô î ê ó ñ (ðèñ. 22.34). Â ýòîì ñëó÷àå ðàñõîäÿùèåñÿ îò

òî÷êè

M

ñïèðàëè ôàçîâûõ òðàåêòîðèé âñå ñâèâàþòñÿ ê

çàìêíóòîé êðèâîé, íàçûâàåìîé ï ð å ä å ë ü í û ì ö è ê ë î ì

(ðèñ. 22.34), êîòîðûé è ñîîòâåòñòâóåò óñòàíîâèâøèìñÿ àâ-

òîêîëåáàíèÿì. Åñëè, ñîãëàñíî íà÷àëüíûì óñëîâèÿì, íà-

÷àëüíàÿ òî÷êà îêàæåòñÿ âíå ïðåäåëüíîãî öèêëà, òî ôàçîâàÿ

òðàåêòîðèÿ, ñâèâàÿñü, ïðèõîäèò òàêæå ê ýòîìó ïðåäåëüíî-

ìó öèêëó.

Çàìåòèì, ÷òî õîòÿ íà ôàçîâîé òðàåêòîðèè ìîìåíòû âðåìåíè, ñîîòâåòñòâóþ-

ùèå òî÷êàì ôàçîâîé òðàåêòîðèè, ÿâíî íå ôèêñèðîâàíû, îäíàêî îíè ìîãóò áûòü

íàéäåíû ìåòîäîì, èçëîæåííûì â ñëåäóþùåì ïàðàãðàôå.

Ãëàâà 22. Ýëåìåíòû òåîðèè êîëåáàíèé è ìåòîäû ðàñ÷åòà ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ

471

Ðèñ. 22.33

Ðèñ. 22.34

22.14. Ìåòîä èçîêëèí äëÿ ïîñòðîåíèÿ ôàçîâûõ òðàåêòîðèé

è ðàñ÷åòà ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ

Ïóñòü ïðîöåññ îïèñûâàåòñÿ óðàâíåíèåì âòîðîãî ïîðÿäêà

F

(

x

²

,

x

¢

,

x

)

=

0. Îáîçíà-

÷àÿ

dx

/

dt

=

y

, èìååì

F

(

y

¢

,

y

,

x

)

=

0. Ðåøàÿ ýòî óðàâíåíèå îòíîñèòåëüíî

y

¢

, ïîëó-

÷àåì

dy

dt

y x

= j

( , ).

Ðàçäåëèâ ýòî ïîñëåäíåå óðàâíåíèå íà

dx

/

dt

=

y

, íàõîäèì

dy
dx

y x

y

= j

( , ) ,

÷òî ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé óðàâíåíèå ôàçîâîé òðàåêòîðèè. Âåëè÷èíà

dy

/

dx

åñòü òàí-

ãåíñ óãëà íàêëîíà êàñàòåëüíîé ê ôàçîâîé òðàåêòîðèè â ñîîòâåòñòâóþùåé òî÷êå.

Åñëè ïðèíÿòü

dy

/

dx

=

k

=

const, òî óðàâíåíèå

k

=

j

(

y

,

x

)/

y

îïðåäåëèò ñîáîé êðè-

âóþ, ïåðåñåêàþùóþ ôàçîâûå òðàåêòîðèè â òî÷êàõ, â êîòîðûõ êàñàòåëüíûå ê íèì

èìåþò îäèíàêîâûå óãëû íàêëîíà. Òàêàÿ êðèâàÿ íîñèò íàèìåíîâàíèå è ç î ê ë è í û.

Âûáèðàÿ ðàçíûå çíà÷åíèÿ

k

, ïîëó÷àåì ñåìåéñòâî èçîêëèí (ðèñ. 22.35). Åñëè òå-

ïåðü íà êàæäîé èçîêëèíå íàíåñòè äîñòàòî÷íîå ÷èñëî ÷åðòî÷åê, òàíãåíñ óãëà íà-

êëîíà êîòîðûõ ê îñè àáñöèññ ðàâåí ñîîòâåòñòâóþùåìó äàííîé èçîêëèíå ÷èñëó

k

,

òî ïðè äîñòàòî÷íîì ÷èñëå èçîêëèí íà ïëîñêîñòè ÷åðòåæà ëåãêî ïðîâåñòè èç äàí-

íîé íà÷àëüíîé òî÷êè ôàçîâóþ òðàåêòîðèþ. Äëÿ ýòîãî òîëüêî ñëåäóåò ñòðåìèòü-

ñÿ, ÷òîáû îíà ïåðåñåêàëà èçîêëèíû ïîä óãëàìè, óêàçàííûìè ÷åðòî÷êàìè, íàíå-

ñåííûìè íà èçîêëèíû.

472

×àñòü 3. Òåîðèÿ íåëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ è ìàãíèòíûõ öåïåé

Ðèñ. 22.35