Материал: Демирчян, Нейман, Коровкин, Чечурин. Теоретические основы электротехники.т.2.2003

÷åíèå êîòîðîãî ïîòîêîñöåïëåíèå èçìåíÿåòñÿ îò

Y

0

äî

Y

, îïðåäåëÿåòñÿ çàøòðè-

õîâàííîé íà ðèñ. 22.19 ïëîùàäüþ.

Íà ðèñ. 22.20 ïîñòðîåíà ïîëó÷åííàÿ òàêèì îáðàçîì êðèâàÿ

Y

(

t

) äëÿ ðàññìàò-

ðèâàåìîé êàòóøêè, à òàêæå êðèâàÿ

i

(

t

). Äëÿ ïîñòðîåíèÿ ïîñëåäíåé çíà÷åíèÿ

i

íàõîäÿòñÿ ïî êðèâîé

2

ðèñ. 22.17 ñîîòâåòñòâåííî êàæäîìó çíà÷åíèþ

Y

. Çäåñü

æå äëÿ ñðàâíåíèÿ øòðèõîâûìè ëèíèÿìè èçîáðàæåíû êðèâûå

Y

(

t

) è

i

(

t

), êîòîðûå

èìåëè áû ìåñòî ïðè ïîñòîÿííîé èíäóêòèâíîñòè

L

I

r

0

0

0

11 0 2

0 9

1

=

-

=

-

=

Y

Y

,

,

,

Ãí,

ò. å. åñëè áû ïîòîêîñöåïëåíèå óáûâàëî îò

Y

0

äî

Y

r

â çàâèñèìîñòè îò òîêà

i

ïî ëè-

íåéíîìó çàêîíó

Y

–

Y

r

=

L

0

i

, ÷åìó ñîîòâåòñòâóåò øòðèõîâàÿ ïðÿìàÿ íà ðèñ. 22.17.

Óðàâíåíèÿ øòðèõîâûõ êðèâûõ íà ðèñ. 22.20 èìåþò âèä

i

=

I

0

e

t

-

t

0

;

Y =

(

Y

0

–

Y

r

)

e

t

-

t

0

+

Y

r

, ãäå

t

0

=

L

0

/

r

=

1/8,5

=

0,118 ñ.

Íà ðèñ. 22.20 îáîçíà÷åíî

Y

0

–

Y

r

= y

.

Èíòåðåñíî îáðàòèòü âíèìàíèå íà òî, ÷òî âñëåäñòâèå íåëèíåéíîñòè ñâÿçè

Y =

F

(

i

), èçîáðàæåííîé íà ðèñ. 22.17 (êðèâàÿ

2

), òîê âíà÷àëå óìåíüøàåòñÿ áûñò-

ðåå, à ïîòîê — ìåäëåííåå, ÷åì ïðè ëèíåéíîé çàâèñèìîñòè ìåæäó íèìè. Ýòî ìîæ-

íî ïîÿñíèòü ñëåäóþùèì îáðàçîì. Îñíîâíîå óðàâíåíèå ìîæíî çàïèñàòü â âèäå

L di

dt

ri

ä

+ =

0,

ãäå

L

ä

=

d

Y

/

di

= j

(

i

) — äèíàìè÷åñêàÿ èíäóêòèâíîñòü. Òàê êàê â íà÷àëüíûé ìî-

ìåíò

L

ä

<

L

0

(ñì. ðèñ. 22.17), òî òîê ñîãëàñíî ïîñëåäíåìó óðàâíåíèþ âíà÷àëå

ïàäàåò áûñòðåå, ÷åì ïðè

L

=

L

0

= const. Òàê êàê â òå æå ìîìåíòû âðåìåíè

t

òîê

i

îêàçûâàåòñÿ ìåíüøèì, òî ìåíüøåé ïîëó÷àåòñÿ è ÝÄÑ —

d

Y

/

dt

=

ri

, ò. å. ïîòîêî-

ñöåïëåíèå óáûâàåò ìåäëåííåå, ÷åì ïðè

L

=

L

0

= const. Èç îñíîâíîãî óðàâíåíèÿ

èìååì

d

ridt

rdq

r q

Y

DY

D

= -

= -

= -

;

,

458

×àñòü 3. Òåîðèÿ íåëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ è ìàãíèòíûõ öåïåé

Ðèñ. 22.19

Ðèñ. 22.20

ãäå

DY

— óìåíüøåíèå ïîòîêîñöåïëåíèÿ;

D

q

— ýëåêòðè÷åñêèé çàðÿä, ïåðåíåñåí-

íûé ñêâîçü ïîïåðå÷íîå ñå÷åíèå öåïè çà ïðîìåæóòîê âðåìåíè îò 0 äî

t

. Âåëè÷èíà

D

q

îïðåäåëÿåòñÿ ïëîùàäüþ, çàøòðèõîâàííîé íà ðèñ. 22.20; îíà ìåíüøå, ÷åì ïðè

L

=

L

0

=

const. Ñîîòâåòñòâåííî, ìåíüøå ïîëó÷àåòñÿ è

DY

.

Òàê êàê âåëè÷èíà

q

=

i dt

0

¥

ò

= Y

Y

0

-

r

r

â îáîèõ ñëó÷àÿõ äîëæíà áûòü îäíîé è òîé

æå, òî êðèâàÿ

i

(

t

) ïåðåñåêàåòñÿ â íåêîòîðûé ìîìåíò âðåìåíè ñ ýêñïîíåíòîé

I

0

e

t

-

t

0

.

Çàìåäëåíèå ñïàäàíèÿ òîêà ïðè áîëüøèõ çíà÷åíèÿõ

t

ñâÿçàíî ñ áîëüøîé äèíàìè-

÷åñêîé èíäóêòèâíîñòüþ íà êðóòîé ÷àñòè êðèâîé íàìàãíè÷èâàíèÿ.

Èññëåäóåì òåïåðü ìåòîäîì ãðàôè÷åñêîãî èíòåãðèðîâàíèÿ ïðîöåññ âêëþ÷åíèÿ

êàòóøêè ñ ôåððîìàãíèòíûì ñåðäå÷íèêîì ïîä äåéñòâèå ïîñòîÿííîãî íàïðÿæå-

íèÿ

U

0

(ðèñ. 22.21). Ìåòîä ïðîèëëþñòðèðóåì íà ïðèìåðå

òîé æå êîíêðåòíîé êàòóøêè, äëÿ êîòîðîé ðàññìîòðåí

ïðîöåññ êîðîòêîãî çàìûêàíèÿ. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ïåðåä

âêëþ÷åíèåì ñåðäå÷íèê áûë ðàçìàãíè÷åí. Â òàêîì ñëó÷àå

ñâÿçü

Y =

F

(

i

) áóäåò õàðàêòåðèçîâàòüñÿ ïåðâîíà÷àëüíîé

êðèâîé íàìàãíè÷èâàíèÿ (êðèâàÿ

1

íà ðèñ. 22.17). Äèôôå-

ðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå òåïåðü ïðèìåò âèä

d

dt

ri U

Y + =

0

,

îòêóäà

d

U

ri

dt t

t

Y

Y

0

0

0

-

=

=

ò

ò

.

Ïîëüçóÿñü èçâåñòíîé çàâèñèìîñòüþ

Y =

F

(

i

) (êðèâàÿ

1

íà ðèñ. 22.17), ñòðîèì

êðèâóþ

Y =

-

æ
è

çç

ö
ø

÷÷

j

1

0

U

ri

. Çàøòðèõîâàííàÿ íà ðèñ. 22.22 ïëîùàäü äàåò â ñîîòâåòñò-

âóþùåì ìàñøòàáå âðåìÿ

t

, â òå÷åíèå êîòîðîãî ïîòîêîñöåïëåíèå óâåëè÷èâàåòñÿ

îò 0 äî

Y

, ò. å. ïîçâîëÿåò íàéòè çàâèñèìîñòü

Y

(

t

).

Íàïðÿæåíèå

U

0

âûáåðåì òàê, ÷òîáû óñòàíîâèâ-

øèéñÿ òîê

I

0

, êàê è â ïðåäûäóùåì ïðèìåðå, áûë

ðàâåí 0,9 À, ò. å. ïðèìåì

U

0

=

I

0

r

=

0,9

×

8,5

=

7,65 Â.

Íà ðèñ. 22.23 èçîáðàæåíà ðàññ÷èòàííàÿ òàêèì

ïóòåì êðèâàÿ

Y

(

t

), à òàêæå êðèâàÿ

i

(

t

). Äëÿ ïî-

ñòðîåíèÿ ïîñëåäíåé çíà÷åíèÿ

i

äëÿ êàæäîãî ìîìåí-

òà âðåìåíè áåðóòñÿ èç êðèâîé

Y

(

i

) íà ðèñ. 22.17

ñîîòâåòñòâåííî íàéäåííûì çíà÷åíèÿì

Y

äëÿ

ýòèõ ìîìåíòîâ âðåìåíè. Çäåñü æå íà ðèñ. 22.23

øòðèõîâûìè ëèíèÿìè èçîáðàæåíû êðèâûå

Y Y

=

-

æ

è

ç

ç

ö

ø

÷

÷

-

¢

0

1

e

t

t

0

è

i I

e

t

=

-

æ

è

ç

ç

ö

ø

÷

÷

-

¢

0

1

t

0

, êîòîðûå èìåëè

Ãëàâà 22. Ýëåìåíòû òåîðèè êîëåáàíèé è ìåòîäû ðàñ÷åòà ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ

459

Ðèñ. 22.21

Ðèñ. 22.22

áû ìåñòî ïðè ëèíåéíîé ñâÿçè ïîòîêîñöåïëåíèÿ è òîêà

Y = ¢

L i

0

, ãäå

¢

L

0

= Y

0

/

I

0

=

=

1,1/0,9

=

1,22 Ãí, ïðè÷åì

¢ = ¢

=

t

0

L r

0

1,22/8,5

=

0,144 ñ.

Õîä êðèâîé

i

(

t

) ìîæíî, êàê è â ïðåäûäóùåì ïðèìåðå, ïîÿñíèòü, íàïèñàâ óðàâ-

íåíèå â âèäå

L di

dt

ri U

ä

+ =

0

.

Âíà÷àëå

L

ä

>

L

0

è òîê íàðàñòàåò ìåäëåííåå, ÷åì

ïðè

L

= ¢

L

0

=

const. Ïðè áîëüøèõ òîêàõ

L

ä

<

¢

L

0

è òîê ðàñòåò áûñòðåå, ÷åì ïðè

L

= ¢

L

0

=

const. Êðè-

âûå

i

(

t

) è

i I

e

t

=

-

æ

è

ç

ç

ö

ø

÷

÷

-

¢

0

1

t

0

äîëæíû â íåêîòîðûé ìî-

ìåíò âðåìåíè ïåðåñå÷üñÿ. Äåéñòâèòåëüíî, íåçàâè-

ñèìî îò çàêîíà èçìåíåíèÿ òîêà âî âðåìåíè èìååì

d

U

ri dt

Y =

-

(

) ,

0

è òàê êàê

U

0

=

I

0

r

, òî

(

)

,

I

i dt

r

d

r

0

0

0

0

1

0

-

=

=

¥

ò

ò

Y Y

Y

ò. å. ïëîùàäü íà ðèñ. 22.23, îãðàíè÷åííàÿ êðèâîé

i

(

t

) èëè

i I

e

t

=

-

æ

è

ç

ç

ö

ø

÷

÷

-

¢

0

1

t

0

, îñüþ

îðäèíàò è ãîðèçîíòàëüíîé ëèíèåé

I

0

, íå çàâèñèò îò çàêîíà èçìåíåíèÿ òîêà âî

âðåìåíè.

Ïîòîêîñöåïëåíèå âîçðàñòàåò çíà÷èòåëüíî áûñòðåå, ÷åì ïðè

L

= ¢

L

0

=

const,

è ïðàêòè÷åñêè ê ìîìåíòó âðåìåíè

t

»

0,25 ñ ïðèíèìàåò ñâîå óñòàíîâèâøååñÿ çíà-

÷åíèå

Y

0

.

22.10. Àíàëèòè÷åñêèé ìåòîä ðàñ÷åòà ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ,

îñíîâàííûé íà ïðèáëèæåííîì àíàëèòè÷åñêîì âûðàæåíèè

õàðàêòåðèñòèêè íåëèíåéíîãî ýëåìåíòà

Èññëåäóåì àíàëèòè÷åñêèì ìåòîäîì çàäà÷ó î çàìûêàíèè íàêîðîòêî êàòóøêè

ñ ôåððîìàãíèòíûì ñåðäå÷íèêîì (ðèñ. 22.24), ðàññìîòðåííóþ â íà÷àëå ïðåäûäó-

ùåãî ïàðàãðàôà ìåòîäîì ãðàôè÷åñêîãî èíòåãðèðîâà-

íèÿ. Âûðàçèì ïðèáëèæåííî êðèâóþ íàìàãíè÷èâàíèÿ

(êðèâóþ

2

íà ðèñ. 22.17)

àíàëèòè÷åñêè

â âèäå

i a

b

r

r

n

= ¢

-

+ ¢

-

+

(

)

(

) .

Y Y

Y Y

1

(*)

Äëÿ êðàòêîñòè çàïèñè îáîçíà÷èì

Y Y

Y

Y

Y Y

Y

Y

-

=

-

=

-

-

=

=

r

r

r

r

x

y

y

y

y

;

;

.

0

0

0

0

460

×àñòü 3. Òåîðèÿ íåëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ è ìàãíèòíûõ öåïåé

Ðèñ. 22.23

Ðèñ. 22.24

Ïðè ýòîì óðàâíåíèå êðèâîé, çàìåùàþùåé êðèâóþ íàìàãíè÷èâàíèÿ, çàïèøåò-

ñÿ â âèäå

i ax bx

n

=

+

+

1

,

(**)

ãäå

a a

= ¢y

0

è

b b

n

= ¢

+

y

0

1

èçìåðÿþòñÿ â àìïåðàõ. Ñäåëàâ ïîäñòàíîâêó

x

a b y

n

=

,

ïðèâåäåì óðàâíåíèå ê âèäó

i a a

b

y a a

b

y

Ay

y

A a a

b

n

n

n

n

n

=

+

=

+

=

+

1

1

(

),

.

ãäå

Äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå

d

dt

ri

Y + =

0,

îïèñûâàþùåå ïðîöåññ â öåïè, ñîîòâåòñòâåííî ïðèíèìàåò âèä

d

dt

rAy

y

n

Y +

+

=

(

)

,

1

0

èëè, òàê êàê

y

y

y

y

=

=

=

x

a
b

y

A

a

y

n

0

0

0

, òî

dy

dt

ar y y

n

+

+

=

y

0

1

0

(

)

,

îòêóäà

-

+

=

dy

y

y

ar dt

n

(

)

.

1

0

y

(***)

Ýòî óðàâíåíèå ëåãêî èíòåãðèðóåòñÿ, òàê êàê

-

+

=

+

+

ò

-

dy

y

y

n

y

C

n

n

(

)

ln(

)

,

1

1

1

÷òî ëåãêî ïðîâåðèòü äèôôåðåíöèðîâàíèåì.

Ïðè èçìåíåíèè âðåìåíè îò 0 äî

t

ïîòîêîñöåïëåíèå èçìåíÿåòñÿ îò

Y

0

äî

Y

.

Ñîîòâåòñòâåííî

x

èçìåíÿåòñÿ îò 1 äî

x

r

r

=

=

-

-

y

y

0

0

Y Y

Y

Y

, à

y

èçìåíÿåòñÿ îò

b a

n

äî

b a

n

x.

Èíòåãðèðóÿ â ýòèõ ïðåäåëàõ óðàâíåíèå (***), ïîëó÷àåì

1

1

1

1

0

0

0

n

y

ar t

a
b

n

b a

b a

n

n

n

ln (

)

ln

+

=

+

æ
è

çç

ö
ø

÷÷

+

-

-

y

y

y

y

y

èëè

a
b

n ar t

ì

í

ï

ï

î

ï

ï

ü

ý

ï

ï

þ

ï

ï

=

y

0

.

Ñëåäîâàòåëüíî,

a
b

a
b

e

n

nar t

y

y

y

0

1

1

0

æ
è

çç

ö
ø

÷÷ = +

æ
è

ç

ö
ø

÷

-

-

Ãëàâà 22. Ýëåìåíòû òåîðèè êîëåáàíèé è ìåòîäû ðàñ÷åòà ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ

461

è îêîí÷àòåëüíî

y

y

y

=

+

æ
è

ç

ö
ø

÷

-

-

0

1

1

0

b
a

e

b
a

nar t

n

.

(****)

Çàâèñèìîñòü

Y =

F

(

i

) äëÿ ðàññìàòðèâàåìîé êàòóøêè (êðèâàÿ

2

íà ðèñ. 22.17)

õîðîøî óäîâëåòâîðÿåòñÿ, åñëè ïðèíÿòü â óðàâíåíèè (*)

ï

=

6,

a

¢

=

0,21 À/Âá

è

b

¢

=

1,45 À/Âá

7

, ò. å. åñëè âûðàçèòü êðèâóþ

2

íà ðèñ. 22.17 óðàâíåíèåì

i

=

+

0 21

145

7

,

,

.

y

y

Êðèâàÿ çàìåùåíèÿ, ñîîòâåòñòâóþùàÿ ýòîìó óðàâíåíèþ, èçîáðàæåíà íà

ðèñ. 22.17 øòðèõîâîé ëèíèåé. Ïðè ýòèõ ÷èñëîâûõ çíà÷åíèÿõ êîýôôèöèåíòîâ

èìååì

y

y

0

0

0

6

0 9

145

0 21

0 9

367

= Y

Y

-

=

= ¢

¢

=

=

r

n

b
a

b
a

,

;

,

,

,

, ;

Âá

nar na r

y

0

6 0 21 8 5 10 7 1

=

¢ = ×

×

=

,

,

,

/

c.

Èñêîìîå ðåøåíèå èìååò âèä

y =

-

0 9

367

,

,

4,67

Âá.

10,7

e

t

Íà ðèñ. 22.20 íàíåñåíû íà êðèâîé

Y

(

t

) êðóæêàìè òî÷êè, âû÷èñëåííûå ïî ýòî-

ìó óðàâíåíèþ. Òî÷êè îòëè÷íî ëîæàòñÿ íà êðèâóþ

Y

(

t

), ïîñòðîåííóþ ãðàôè-

÷åñêè, ÷òî îáúÿñíÿåòñÿ õîðîøèì ñîâïàäåíèåì êðèâîé, âûðàæàåìîé óðàâíåíèåì

i

=

0,21

y

+ 1,45

y

7

, ñ äåéñòâèòåëüíîé íèñõîäÿùåé êðèâîé íàìàãíè÷èâàíèÿ

Y =

F

(

i

),

ò. å. óäà÷íûì ïîäáîðîì àíàëèòè÷åñêîãî âûðàæåíèÿ ïîñëåäíåé.

Äîñòîèíñòâî àíàëèòè÷åñêîãî ìåòîäà çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî íàéäåííîå îáùåå

âûðàæåíèå (****) äëÿ ïîòîêîñöåïëåíèÿ

y = Y

–

Y

r

äàåò âîçìîæíîñòü ðàññìîò-

ðåòü âëèÿíèå íà õîä êðèâîé

Y

(

t

) ðàçëè÷íûõ ïàðàìåòðîâ:

b

,

a

,

n

,

r

,

Y

0

,

Y

r

.

Ìîæíî áûëî áû ïîëó÷èòü àíàëèòè÷åñêèì ïóòåì ðåçóëüòàò äëÿ ñëó÷àÿ âêëþ-

÷åíèÿ òîé æå êàòóøêè ïîä äåéñòâèå ïîñòîÿííîãî íàïðÿæåíèÿ (ñì. ðèñ. 22.21),

ïîäîáðàâ àíàëèòè÷åñêîå âûðàæåíèå äëÿ êðèâîé íàìàãíè÷èâàíèÿ (êðèâàÿ

1

íà

ðèñ. 22.17). Íîâûì è îñëîæíÿþùèì ðåøåíèå ôàêòîðîì ÿâëÿåòñÿ òåïåðü íàëè÷èå

â óðàâíåíèè ïîñòîÿííîãî ÷ëåíà (

U

0

¹

0). Îãðàíè÷èìñÿ òîëüêî óêàçàíèåì âîç-

ìîæíîãî îáùåãî ïóòè òàêîãî ðåøåíèÿ, òàê êàê îí îòíîñèòñÿ ê ëþáûì íåëèíåé-

íûì óðàâíåíèÿì ïåðâîãî ïîðÿäêà, îïèñûâàþùèì ïðîöåññ â òîé èëè èíîé ýëåê-

òðè÷åñêîé öåïè ïðè ïîñòîÿííîì íàïðÿæåíèè íà åå çàæèìàõ.

Âûðàçèì

i

=

F

(

Y

) â âèäå ðÿäà

i a

a

a

a

a

k

k

k

k

k

n

=

+

+

+ +

+ =

=

å

0

1

2

2

0

Y

Y

Y

Y

K

K

.

 ÷àñòíîì ñëó÷àå (êðèâàÿ

1

íà ðèñ. 22.17)

a

0

=

0, íî âîîáùå ýòî íå îáÿçàòåëü-

íî. Äëÿ ðàññìàòðèâàåìîãî ïðèìåðà èìååì

462

×àñòü 3. Òåîðèÿ íåëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ è ìàãíèòíûõ öåïåé