Материал: Диффузия в кристаллических телах. Юрьев В.А., Юрьева М.В
Первое описывает распределение концентрации в -фазе
(0 x ):
c cs Berf x 2 |
|
. |
(5.3) |
D t |
Коэффициент B легко найти из граничного условия c ,t c .
Второе уравнение баланса - скорость роста фазы определяется количеством подводимого к ней вещества:
|
c |
|
c |
|
d |
D c x . |
(5.4) |
||||||
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
dt |
c |
|
|
|||||
Находим из уравнения (5.2) d |
dt , а из уравнения (5.3) |
||||||||||||
c x c и подставляя их в уравнение (5.4), получим |
|
|
|||||||||||
|
cs c |
|
|
|
|
bexpb2 erf b F b . |
(5.5) |
||||||
|
|
|
|||||||||||
|
c |
c |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
В таблице приведены значения |
F b для различных |
b . |
|||||||||||
Зная левую часть уравнения |
(5.5), |
находят F b , |
затем |
b . |
|||||||||
Тогда уравнение (5.2) позволяет рассчитать D , если известна
скорость роста фазы, и, наоборот, найти эту скорость, если известен коэффициент диффузии.
При малых значениях b 1 можно разложить функцию F b в ряд и ограничиться первыми членами разложения
expb2 1 и erf b 2 . Тогда
b
F b |
cS |
c |
2b2 . |
(5.6) |
|
c |
c |
||||
|
|
|
Подставляя уравнение (5.6) в (5.2), получим
146
|
|
|
2 |
cS |
c |
|
D |
|
t . |
|
(5.7) |
||
|
|
|
|
|
c |
|
|
||||||
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
Значения F b |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
b |
F b |
b |
F b |
|
|
b |
|
F b |
b |
F b |
|||
0 |
0 |
0,40 |
0,3564 |
|
|
0,80 |
|
1,9955 |
1,20 |
8,1900 |
|||
0,04 |
0,0032 |
0,44 |
0,4412 |
|
|
0,84 |
|
2,3067 |
1,22 |
8,7696 |
|||
0,08 |
0,0129 |
0,48 |
0,5385 |
|
|
0,88 |
|
2,6613 |
1,24 |
9,4138 |
|||
0,12 |
0,0291 |
0,52 |
0,6497 |
|
|
0,92 |
|
3,0670 |
1,26 |
10,1076 |
|||
0,16 |
0,0521 |
0,56 |
0,7763 |
|
|
0,96 |
|
3,5297 |
1,28 |
10,8556 |
|||
0,20 |
0,0822 |
0,60 |
0,9205 |
|
|
1,00 |
|
4,0599 |
1,30 |
11,6622 |
|||
0,24 |
0,1197 |
0,64 |
1,0842 |
|
|
1,04 |
|
4,6569 |
1,32 |
12,5338 |
|||
0,28 |
0,1653 |
0,68 |
1,2704 |
|
|
1,08 |
|
5,3664 |
1,34 |
13,4728 |
|||
0,32 |
0,2193 |
0,72 |
1,4817 |
|
|
1,12 |
|
6,1714 |
1,36 |
14,4904 |
|||
0,36 |
0,2828 |
0,76 |
1,7200 |
|
|
1,16 |
|
7,6994 |
1,38 |
15,5874 |
|||
Вагнер решил в таком же приближении целый ряд задач. Например, если исходным является однофазный сплав , то диффузия происходит как в -фазе, так и в -фазе, и распределение концентраций в каждой из фаз характеризуется своим коэффициентом D и D .
По-прежнему 2b
D t .
Уравнение баланса имеет вид
|
|
|
|
|
c c |
|
d |
|
|
|
|
|
c |
|
c |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
D |
|
|
. (5.8) |
|||||||||||
|
|
dt |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x c |
|
x c |
|
||||||||||
|
Коэффициент b находят из уравнения |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
c |
c |
|
|
|
cS c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
c0 |
|
|
|
|
|
, (5.9) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
b exp b2 erf b |
b |
exp b2 erfc b |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
где D 
D . Зная один из коэффициентов, можно
147
найти другой или, зная оба, найти скорость роста фазы.
Б. Я. Любов учел, что при малых временах концентрация на поверхности раздела фаз отличается от равновесного
значения c , |
т. е. ввел пересыщение в растущей -фазе, а А. |
|||||||
А. Жуховицкий и др. ввели пересыщение как в -, |
так и в - |
|||||||
фазах. Таким образом, |
c cz |
c |
и |
c cy |
c . |
С |
||
увеличением |
времени |
диффузионного |
|
отжига |
cz |
и |
cy |
|
стремятся к равновесным значениям c |
и c . При этом |
|||||||
пересыщение пропадает, теория Вагнера справедлива. |
|
|
||||||
В случае, когда |
значения |
cz |
и |
cy не |
являются |
|||
равновесными, следует учитывать скорость химической реакции (фазового превращения) ; все авторы считали, что она подчиняется кинетическому уравнению первого порядка:
k cy c , |
(5.10) |
где k — константа скорости.
В работе А. А. Жуховицкого и др. было принято, что, несмотря на нестабильность исчезающей фазы, на границе раздела имеется равновесие в отношении перехода компонента B . Иначе говоря, хотя cz и cy не равны равновесным
значениям, однако их отношение такое же, как в равновесии: cx 
cy c 
c . (5.11)
С учетом этих предположений было получено решение, которое можно представить в виде ряда. Результат Вагнера является первым членом ряда:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cS c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
L |
|
|
|
|
L |
|
|
||||||||||
|
|
D t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(5.12) |
||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||||
|
|
|
1 |
c c |
|
|
|
|
|
|
|
2t |
|
||||||||||
|
c c |
|
|
4 |
|
t c c |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
|
|
|
|
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Здесь Lk2 |
c |
c |
cS |
c |
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Если ограничиться вторым членом разложения, то
148
2 |
cS |
c |
D |
|
t A, |
(5.13) |
|
|
c |
|
|||||
|
c |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
где A D 
k .
Естественно, что учет кинетических затруднений приводит к уменьшению толщины слоя -фазы по сравнению с теорией Вагнера. Величина отклонения от теории Вагнера тем больше, чем меньше константа скорости k и чем больше скорость диффузии D .
149
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Учебное пособие содержит основные сведения о процессах массопереноса в твёрдых кристаллических телах. В книге подробно рассмотрены феноменологические уравнения диффузии, основанные на фундаментальных законах Фика. Подробно описана проблема случайных блужданий атомов и основные механизмы диффузии в периодической кристаллической решётке. Последовательно изложены термодинамические основы диффузии и диффузия в многофазных системах.
В результате изучения изложенного материала студент должен знать основы процессов диффузионного массопереноса в кристаллических твёрдых телах.
Учебное пособие восполняет имеющийся недостаток учебной литературы по диффузии и будет полезно для студентов и аспирантов, специализирующихся в области физического материаловедения.
150