В §2 описываются все приведенные ранее подходы с указанием характерных особенностей в постановках задач и методах решения. В качестве модели, описывающей контактное взаимодействие тел, используются: модель Герца, упругопластические модели Кильчевского и Александрова-Кадомцева, линейно упругая, нелинейно упругая, вязкоупругая модели, а также некоторые иные модели. В качестве уравнений, описывающих динамическое поведение мишени, используются уравнения Бернулли-Эйлера и Тимошенко - для балок, Кирхгофа-Лява и Уфлянда-Миндлина - для пластинок, для оболочек уравнения рассматриваются также с учетом деформации поперечного сдвига и инерции вращения поперечных сечений и без них.
В качестве определяющего в данной работе используется следующий подход: предполагается, что в результате поперечного удара по мишени в ней распространяются продольные и сдвиговые волны, фронты которых являются поверхностями сильного разрыва. Отметим, что в изотропной пластинке поверхности сильного разрыва представляют собой цилиндрические поверхности-полоски, образующие которых параллельны нормали к срединной поверхности, а направляющие, расположенные в срединной плоскости, представляют собой окружности, расширяющиеся с нормальными скоростями (рис.1). Для остальных типов мишеней вид волновых поверхностей определяется геометрией самой мишени и свойствами ее материала. Ударник моделируется как груз некоторой массы и буфер, свойства и геометрия бьющего конца которого определяет контактную силу в месте удара. В общем случае процесс ударного взаимодействия представлен на рис. 1.
Фактически выбор подхода зависит от начальной скорости взаимодействия тел, свойств их материалов, геометрии области контакта. После начала процесса взаимодействия практически во всех подходах перемещение ударника характеризуется известным функциональным уравнением
,(1.1)
где полное перемещение ударника, imp(t), tag(t) - местные смятия материалов ударника и мишени в месте контакта соответственно, P(t) - контактная сила, m - масса ударника, t - время, отсчитываемое с момента соприкосновения ударника и мишени, t1 - переменная интегрирования.
При небольших скоростях удара (меньших или равных 5 м/с) считается, что местное смятие материала пластинки происходит квазистатическим образом, т.е. можно использовать результаты решения контактной задачи для случая статического взаимодействия тел. В случае больших скоростей необходимо учитывать динамическую составляющую контактного процесса.
В зависимости от рассматриваемого типа мишени волны поперечного сдвига и продольного растяжения-сжатия распространяются либо с бесконечно большой скоростью (балка Бернулли-Эйлера, пластинка Кирхгоффа-Лява), либо с конечной скоростью (балка Тимошенко, пластинка Уфлянда-Миндлина).
а) до взаимодействия
б) после взаимодействия
в) вид сверху
Рис. 1 Схема ударного взаимодействия твердого тела с буфером и мишени
В данной работе основными являются подходы, учитывающие влияние волновых явлений на деформирование контактирующих тел, т.е. используются волновые уравнения, описывающие динамическое поведение мишени.
Решение за фронтом волны сильного разрыва строится при помощи лучевого ряда
(1.2)
где Z - искомая функция, Z,(k) = kZ/tk, , знаки «+» и «-» относятся к значениям производной Z,(k) , подсчитанным перед волновой поверхностью и за ней соответственно, G - нормальная скорость волны , Н(t-s/G) - единичная функция Хевисайда, s - длина дуги, отсчитываемая вдоль луча, t - время.
Если время протекания процесса очень мало, то в степенном ряде по времени и поверхностной координате (1.2) можно ограничиться только первым членом. В этом случае задача сводится к решению одного нелинейного дифференциального уравнения относительно величины, характеризующей местное смятие материалов пластинки и тела, или относительно контактной силы. Чтобы уточнить и детализировать решение, полученное этим способом, учитывают последующие члены лучевого ряда. Для этого определяющие уравнения контактирующего тонкого тела дифференцируют k раз по времени, записывают на различных сторонах волновой поверхности и берут их разность. Затем используют условие совместности
(1.3)
где ( = r, ) - пространственные координаты, одна из которых направлена вдоль прямого луча, а другая является одновременно и поверхностной координатой на волновой поверхности, при этом обе координатные линии являются взаимно ортогональными, (,) - компоненты вектора нормали к волновой поверхности, / t - -производная по времени.
Другой модификацией метода асимптотических разложений является представление искомых функций в пространстве изображений в виде степенного ряда по полиномам Лежандра
,(1.4)
где - некоторая функция, связывающая координату точки на мишени с размерами этой мишени, p - параметр пространства изображений.
Можно также использовать представление неизвестных функций в виде разложений в ряды по функциям Бесселя или численные методы совместно с программно-аппаратными вычислительными комплексами.
В §3 приводятся выводы о границах и условиях применимости тех или иных подходов и методов, а также демонстрируются их преимущества при решении практических задач с различной степенью точности.
Вторая глава посвящена методам решения задач ударного взаимодействия ударника и тонкой мишени. Большинство таких задач может быть разделено на две части: построение решений внутри контактной области (контактная задача) и вне ее (задача распространения волн). В случае использования аналитических методов можно получить искомые функции в виде конечных выражений, но при этом практически всегда необходимо использовать дополнительные условия, которые накладывают ограничения на область применения полученных результатов. При использовании численных методов и современных вычислительных комплексов можно уменьшить количество дополнительных условий, но при этом конечные характеристики динамического контакта тел будут представлены либо в виде таблиц, либо в виде графиков, что не позволит проектировщикам при решении практических задач пользоваться конечными формулами, а результаты предыдущих расчетов могут быть использованы только как тестовые данные. Поэтому различные методы и их группы нужно рассматривать в комплексе применительно к конкретной задаче.
В §1 проводится классификация методов решения внутри контактной области и вне ее. Для определения искомых функций часто используются асимптотические разложения в степенные ряды по функциям Бесселя (Филлипов А.П. 1971), полиномам Лежандра (1.4) (Бирюков Д.Г., Кадомцев И.Г. 2002), по пространственной координате и времени (1.2) (Россихин Ю.А., Шитикова М.В., 1992). Для представления неизвестной нагрузки можно использовать двойные ряды Фурье по координате и времени (Malekzadeh K. et.al 2007), после определения входящих в них коэффициентов находится контактная сила и напряжение в различных точках многослойной пластинки. Поскольку в волновых уравнениях мишени присутствуют производные и по времени, и по поверхностным координатам, то для их замены используется преобразование Лапласа и условия совместности (Томас, 1961) соответственно. Результатом решения уравнений, описывающих динамическое поведение, является определение скоростей волн, неизвестных перемещений и напряжений (в зависимости от того, в каком базисе записаны первоначальные уравнения) с точностью до постоянных интегрирования. Они, в свою очередь, находятся при приравнивании решений, полученных внутри и вне контактной области на ее границе; также используются граничные условия. Для определения неизвестных величин в произвольных точках мишени можно использовать метод регуляризации асимптотических разложений (Россихин Ю.А., Шитикова М.В. 1994) или разложение искомых величин в ряды Лорана вблизи данной точки.
§2 посвящен лучевому методу, в нем приведены волновые уравнения, описывающие динамическое поведение упругой изотропной, вязкоупругой изотропной и упругой ортотропной пластинок с учетом инерции вращения и деформации поперечного сдвига. Используя описанную в первой главе процедуру, из уравнений движения получим систему рекуррентных уравнений, которая для упругой изотропной пластинки примет вид:
(2.1)
где (k)=[r,(k+1)], X(k)=[W,(k)], b=KhD -1, r = r0+Gt, - плотность материала пластинки, r - полярный радиус, r0 - радиус буфера, , , Е и - модуль упругости и коэффициент Пуассона материала пластинки соответственно, - модуль сдвига пластинки, - угловая скорость вращения нормали к пластинке в направлении r, W - скорость поперечных перемещений точек срединной плоскости (скорость прогиба), D = Еh3/12- цилиндрическая жесткость, (i = 1,2) - функции, зависящие от скачков искомых величин k-1 - го и более низких порядков, точка над величинами означает производную по времени.
Для вязкоупругой изотропной пластинки система рекуррентных дифференциальных уравнений записывается следующим образом:
(2.2)
где - ядро релаксации, g (t) - функция релаксации для модели Максвелла, - ядро релаксации в начальный момент времени.
Аналогичные соотношения для упругой ортотропной пластинки принимают вид:
(2.3)
где Dr - жесткость изгиба для направления r, Еr, Е и r, - модули упругости и коэффициенты Пуассона для направлений r, , Grz - модуль сдвига в плоскости rz, w(r,) - нормальное перемещение срединной плоскости, (r,) - угол поворота нормали в направлении радиуса r.
Если рассматривать распространение термоупругих волн в мишени от нагретого ударника, то в систему (2.3) добавляются слагаемые, учитывающие температурные свойства мишени, и рекуррентное соотношение, полученное из уравнения теплопроводности гиперболического типа
(2.4)
где , k - коэффициент теплоотдачи между пластиной и средой в месте нагрева, с - удельная теплоемкость, q - время запаздывания в установлении теплового потока.
Если в качестве мишени рассматривать сферическую оболочку, то система рекуррентных определяющих уравнений примет вид
(2.5)
Здесь , R1 - радиус оболочки.
В результате решения систем уравнений (2.1) - (2.5) находятся с точностью до произвольных постоянных интегрирования разрывы величин , и , которые являются коэффициентами лучевого ряда (1.2). Выражения для искомых функций W и Qr можно привести в виде лучевых рядов:
- для упругих изотропной и ортотропной пластинок
,(2.6)
, (2.7)
- для вязкоупругой изотропной пластинки (W определяется формулой (2.6))
,(2.8)
- для термоупругой пластинки скорость изменения температуры определяется следующим степенным рядом
,(2.9)
- для сферической оболочки к выражению (2.6) добавляются
,(2.10)
, (2.11)
, (2.12)
где, величины , и подсчитываются при y=0, , и - растягивающие усилия в оболочке, индекс указывает на порядковый номер волны: =1 - квазипродольная волна, =2 - квазипоперечная, и - для упругой изотропной и вязкоупругой пластинок, и - для ортотропной пластинки; упругие модули, входящие в формулу (2.8), являются нерелаксированными.
Полученные лучевые ряды и скачки искомых величин используются в последующих главах при решении задач об ударном воздействии твердого тела на тонкую мишень.
В §3 решение системы уравнений, описывающих динамическое поведение мишени, предлагается искать в виде разложения в ряды по полиномам Лежандра (1.4), где искомая величина х может представлять собой любое линейное или угловое перемещение, входящее в первоначальную систему; для круглой пластинки , для сферической оболочки , R - радиус пластинки, 0 - угол раскрытия оболочки.
Нагрузка от сосредоточенной силы взаимодействия в месте контакта P(t) также представляется в виде разложения в ряд по полиномам Лежандра
,(2.13)
где r1 - координата точки, в которой происходит динамический контакт.
Выражения (1.4) и (2.13) подставляются в определяющие уравнения, и с учетом свойств ортогональности системы косинусов на отрезке [-, ] получается система уравнений относительно . Для определения коэффициентов рядов (1.4) воспользуемся их представлением вблизи искомой точки в виде рядов Лорана
,(2.14)
здесь , р - параметр Лапласа.
Выражения для вычисляются для конкретного места удара и точки определения неизвестных величин, т.е. r и принимают определенные значения. После обратного преобразования Лапласа перемещения можно записать как функцию времени, двух координат и силы воздействия на пластинку