Из анализа полученных зависимостей следует, что температурная волна опережает упругие ударные волны, процессы распространения тепла в мишени вначале влияют на продольную волну растяжения-сжатия и, только при последующих приближениях, на поперечную волну сдвига. Процесс распространения тепла в мишени значительно влияет на динамические характеристики контактного взаимодействия: при учете распространения термоупругой волны динамический прогиб в месте контакта и контактная сила увеличиваются, но сила увеличивается менее интенсивно.
В §3 рассматривается математическое моделирование ударного воздействия шара на ортотропную пластинку, обладающую криволинейной анизотропией и предварительно-напряженную продольной силой N, изгибающим Mr и крутящим Mz моментами. Исследуется влияние предварительного напряжения на скорости распространения продольных и поперечных волн, на контактную силу и динамический прогиб. Принимаются во внимание пять уравнений движения для трех линейных и двух угловых перемещений мишени, поскольку удар является неосесимметричным.
Для определения скоростей упругих волн с учетом внешних сил определяющие уравнения дифференцируются k раз по времени, записываются в скачках неизвестных величин на волновой поверхности, и для перехода от производных по поверхностным координатам к производным по времени используется условие (1.3); Z принимает значения , , w, u, v; величина принимает значения r, . Используя процедуру, описанную в главе 3, от полученных уравнений при k = -1 приходим к системе относительно перемещений и скоростей волн. Результат решения данной системы представлен на рис. 7 в виде графических зависимостей .
На рис. 7а изображены графические зависимости скоростей упругих волн от внешней продольной силы. Номера 1, 2 соответствуют продольным волнам растяжения-сжатия, распространяющимся в направлениях r и соответственно, номер 3 соответствует волне сдвига продольных сечений в плоскости r , номера 4, 5 соответствуют поперечным волнам сдвига в плоскостях rz, z соответственно. Видно, что сила N практически не влияет на скорости продольных волн 1 и 2, связанных с перемещениями , , и существенно влияет на скорости поперечных волн 3,4,5. Если увеличивать внешнюю сжимающую продольную силу, то скорости поперечных волн уменьшаются до нуля, т.е. волны запираются. Если же увеличивать внешнюю растягивающую силу, то скорости волн растут, т.е. волны разгоняются, причем скорость пятой волны увеличивается до некоторого критического значения, определяемого свойствами материала мишени.
На рис. 7б представлены графические зависимости скоростей упругих волн от внешнего изгибающего момента. Изгибающий момент Mr на скорости волн, связанных с перемещениями u, v, оказывает практически одинаковое влияние. При увеличении абсолютного значения момента поперечные волны запираются, продольные волны практически не зависят от значения Mr.
Для определения контактной силы и динамического прогиба пластинки в месте ударного взаимодействия система определяющих уравнений записывается в пространстве Лапласа. Для ее решения используется схема, описанная в §3 третьей главы и основанная на использовании разложений неизвестных величин в ряды по полиномам Лежандра и в ряды Лорана. После подстановки выражений для прогиба мишени в заданной точке, т.е. при фиксированных значениях координат r, , и местного смятия в уравнение (1.1) получим нелинейное интегро-дифференциальное уравнение относительно контактной силы, которое можно решить, используя итерационную схему, описанную в §4. Результаты решения этого уравнения представлены на рис. 8 в виде графических зависимостей контактной силы и динамического прогиба от времени для различных значений предварительных усилий.
а)
б)
в)
Рис.7 Зависимость скоростей волн от предварительно приложенных усилий
На рис. 8а и на рис. 8б показаны зависимости от времени контактной силы и прогиба соответственно. Кривая 1 построена при отсутствии предварительного напряжения пластинки, кривые 2, 3, 4, 5, 6, 7 соответствуют следующим значениям начальных внешних усилий: , , , , , , неуказанные усилия при построении данных кривых принимались равными единице. Из рис. 8а видно, что наибольшее влияние на контактную силу оказывает внешний крутящий момент (кривая 7), знак которого не влияет на значение силы взаимодействия; растягивающая продольная сила уменьшает контактную силу (кривая 2) менее интенсивно, чем сжимающая продольная сила увеличивает контактную силу (кривая 3). В случае, когда происходит запирание поперечной волны (кривая 4), контактная сила существенно возрастает, а время возникновения ее максимума уменьшается. Из рис. 8б следует, что наибольшее влияние на прогиб оказывает внешняя продольная сила, которая в случае сжатия (кривая 3) существенно увеличивает прогиб, а в случае растяжения (кривая 2) - уменьшает его, но не так интенсивно. В случае запирания поперечной волны прогиб быстро нарастает (кривая 4). Внешний крутящий момент (кривая 7) мало влияет на прогиб мишени, внешний же изгибающий момент оказывает большее воздействие на прогиб, причем, в зависимости от своего знака, он может как уменьшать его, так и увеличивать.
В §4 определяются напряжения на фронтах упругих волн в различных точках ортотропной пластинки. Процесс распространения волновых поверхностей условно можно разделить на четыре этапа:
1) После динамического контакта от области взаимодействия отрываются и начинают распространяться по всем направлениям продольные и поперечные волны (рис. 9), количество которых зависит от динамических уравнений мишени; отражаясь от нижней поверхности пластинки, они взаимодействуют между собой. Наиболее интересно определение напряжений в контактной области, на нижней поверхности пластинки, в местах взаимодействия прямых и отраженных волн, особенно в тех точках, где встречается большое количество фронтов отраженных волн.
а) б)
Рис. 8 Зависимость динамических характеристик от времени для различных значений предварительных напряжений
2) После некоторого количества отражений k фронты волн отдаляются от контактной области и из сферических становятся цилиндрическими (рис. 9); это будет происходить на расстоянии от места удара, т.е. появление в пластинке цилиндрических волн-полосок возможно при соблюдении следующего условия
.(5.3)
Для этого этапа характерно, что напряжения на фронтах цилиндрических волн тем больше, чем они ближе к контактной области.
3) Упругие волны отражаются от границ пластинки и взаимодействуют с прямыми волнами, при этом возможно появление значительных напряжений недалеко от точек крепления.
4) Отраженные от границ пластинки цилиндрические волны доходят до контактной области и взаимодействуют с существующими там сферическими волнами, при этом возможно появление достаточно больших напряжений под областью контакта.
На рис. 9 приняты следующие обозначения: I - ударник, FR - фрагмент пластинки, V - скорость падения ударника, h - толщина пластинки, - местное смятие в зоне контакта. Сплошные круговые линии обозначают фронт продольной волны, а пунктирные - поперечной; стрелками указано направление распространения волн.
Рис. 9 Схема распространения волн в пластинке
Наиболее интересно определение напряжений в контактной области, на нижней поверхности пластинки, которая лежит на жестком основании, в местах взаимодействия прямых и однократно отраженных волн от нижней и боковой поверхности плиты, а также в точках взаимодействия многократно отраженных волн от верхней и нижней границы мишени. Отраженные от нижней поверхности пластинки волны взаимодействуют с прямыми волнами на расстоянии . Отраженные от края мишени цилиндрические волны встречаются с прямыми на расстоянии . Первый индекс у величины r обозначает номер отраженной волны, второй индекс - номер прямой волны, Gi - скорость соответствующей волны.
Для иллюстрации полученных результатов приведем графические зависимости максимальных напряжений от времени в зоне контакта и на нижней поверхности пластинки для всех волн (рис. 10а); максимальных напряжений от времени в точках взаимодействия 1-2, 1-3, 1-4, 2-3, 2-4, 3-4 волн (рис. 10б); максимальных напряжений в точке под областью контакта от расстояния для различных соотношений Grz/Er с учетом взаимодействия отраженных волн от нижней и верхней поверхности пластинки (рис. 10в); максимальных напряжений в точках взаимодействия прямых и отраженных от границ пластинки цилиндрических волн (рис. 10г). Кривые на рис. 10а,б, полученные для зоны контакта, обозначаются ca, для нижней поверхности пластинки - bs, цифры у кривых определяют номера волн, двузначные числа - номера отраженной и прямой волн. На рис. 10в,г цифры у кривых обозначают соответствующее значение отношения Grz/Er. Пунктиром показана кривая зависимости напряжения от расстояния при отсутствии отраженных упругих волн.
Из рис. 10а видно, что максимальное напряжение в рассмотренных вариантах возникает непосредственно в месте контакта. Наибольшие напряжения на фронтах волн в точке на нижней поверхности мишени и время их возникновения зависят от упругой характеристики материала в данном направлении, т.е. чем больше модуль упругости или сдвига, тем больше значение максимального напряжения, меньше время до появления максимума и тем интенсивнее убывает зависимость напряжения после прохождения своего пика.
Анализируя графические зависимости, представленные на рис. 10б, можно сделать вывод, что наибольшее напряжение возникает в точке взаимодействия продольной волны в направлении r и поперечной волны в плоскости rz, т.е. на суммарное напряжение большее влияние оказывает поперечная волна в направлении большего модуля сдвига. Касательные напряжения в плоскости пластинки существенно влияют на напряжения, хотя удар является поперечным. При взаимодействии двух продольных волн наблюдается два экстремума напряжений, и результирующая величина уменьшается медленнее, чем при остальных комбинациях взаимодействующих прямой и отраженной волн.
а)б)
в)г)
Рис. 10 Зависимость максимальных напряжений от времени и пройденного волной расстояния
Из рис. 10в видно, что при учете отражения волн от верхней и нижней поверхности пластинки появляются локальные пологие максимумы и минимумы для расстояний, пройденных упругими волнами и кратных . Появление локальных экстремумов обусловлено разницей в скоростях волн. Когда расстояние между волнами становится кратным h, часть волн компенсируют друг друга, поскольку их фронты направлены навстречу друг другу. Если же расстояние между волнами кратно 2h, то происходит увеличение суммарного напряжения на фронтах волн. Пунктирная кривая на рис.10в позволяет оценить количественно вклад наложения отраженных волн с разницей пробегов h и 2h.
На рис. 10г приведены зависимости наибольших напряжений от расстояния, пройденного волнами вдоль пластинки, с учетом взаимодействия прямых и отраженных от внешнего края волн для различных соотношений Grz/Er. Видны локальные максимумы вблизи внешней границы пластинки в точке взаимодействия фронтов волн. При увеличении значения отношения упругих характеристик в поперечном и продольном направлении напряжения убывают более интенсивно, а экстремумы в местах взаимодействия отраженных волн становятся круче.
В шестой главе рассматривается шарнирно-опертый круговой сектор сферической оболочки, испытывающий нормальное ударное воздействие упругого цилиндрического тела, с учетом распространения продольных волн, которые влияют на деформацию мишени вне области контакта (рис. 11). В качестве метода решения используется лучевой метод, описанный в §2 главы 2, а также процедура сращивания асимптотических решений, полученных в зоне контакта и вне ее (глава 3).
Рис. 11 Схема ударного взаимодействия ударника и сферической оболочки
В §1 строятся отрезки лучевых рядов для неизвестных величин на основании выражений (2.6), (2.10) - (2.12). В §2 происходит сращивание решений вне контактной области на основе лучевых представлений неизвестных величин и решений внутри области контакта на основе уравнения движения ударника (1.1) и контактного пятна
.(6.1)
После определения постоянных интегрирования контактную силу и динамический прогиб записываются в виде:
(6.2)
.(6.3)
где , , .
Используя соотношения (6.2), (6.3), в §3 построены зависимости контактной силы (рис. 12а,б) и динамического прогиба (рис. 12в,г) от времени для стальной (сплошные линии) и алюминиевой (пунктирные линии) оболочек для различных толщин мишени (рис. 12а,в) и радиусов оболочки (рис. 12б,г), значения которых указаны цифрами у кривых. Толщина мишени приводится в миллиметрах, а ее радиус - в метрах.
Из рис. 12а видно, что величина максимальной контактной силы увеличивается с увеличением толщины мишени, при одинаковых значениях максимум контактной силы для пластинки, выполненной из более твердого материала (сталь), больше максимума контактной силы для пластинки из более мягкого материала (алюминий). Кривая зависимости контактной силы от времени несимметрична относительно своего максимума. При линейно упругой контактной силе треть времени контакта графики ведут себя линейно и углы наклона касательной ко всем кривым совпадают. Это объясняется тем, что на первом этапе значительное влияние оказывает первое слагаемое соотношения (6.2). Рис. 12б демонстрирует нелинейное уменьшение максимального значения контактной силы при увеличении радиуса оболочки. Из рис. 12в видно, что при уменьшении толщины мишени максимальное значение прогиба увеличивается, также увеличивается разница между значениями w для стальной и алюминиевой оболочки, т.е. при увеличении толщины свойства материала оказывают меньшее влияние на динамический прогиб. При увеличении радиуса оболочки прогиб нелинейно увеличивается (рис. 12г), стремясь к максимальному значению, соответствующему случаю, когда мишенью является пластинка. анизотропный волновой термоупругий