(2.15)
В §4 описываются некоторые численные методы, используемые в задачах ударного взаимодействия, и процедуры для решения нелинейных интегро-дифференциальных уравнений, полученных из уравнений движения точек мишени при помощи динамических условий совместности. В данной работе используется итерационная схема Тимошенко, реализованная на ЭВМ, которая предполагает, что в пределах одного интервала контактная сила изменяется линейно:
,(2.16)
где - шаг интегрирования.
Результаты, полученные с помощью методов конечных и граничных элементов, используются только для сравнения полученных характеристик контактного взаимодействия.
В третьей главе содержатся результаты решения задач ударного взаимодействия твердого тела с линейно упругим буфером (§1), вязкоупругим буфером (§2, 3), нелинейно упругим буфером (§4) и упругой изотропной и вязкоупругой изотропной пластинкой с помощью многочленных лучевых разложений.
Для определения постоянных интегрирования в выражениях (2.6) - (2.8) необходимо составить систему уравнений, характеризующую поведение ударника и контактной области после начала взаимодействия. Движение ударника после его касания мишени описывается уравнением (1.1), уравнение движения контактной области имеет следующий вид:
(3.1)
Зависимость контактной силы от местного смятия материала мишени принимает следующий вид:
- для линейно упругой модели взаимодействия
P(t)= E1 ( - w),(3.2а)
- для вязкоупругого буфера
(3.2б)
- для нелинейно упругого буфера
P(t)= E1 ( - w)+E2 ( - w)3 ,(3.2в)
где E1 и Е2 - упругие модули пружины, 1 - время релаксации демпфера.
Для определения динамических характеристик удара к выражениям (1.1) и (3.1) необходимо добавить условие непрерывности тангенса угла наклона касательной при переходе через границу области контакта
(3.2)
и начальные условия
.(3.3)
Величина местного смятия не определяется из решения системы уравнений, определяющих динамическое поведение мишени, - для нее необходимо использовать отдельное степенное разложение
,(3.4)
где - пока неизвестные константы.
Подставляя формулы (2.6), (3.4) и (2.7) или (2.8), а также выражение для контактной силы в уравнения (1.1), (3.1), (3.2) и приравнивая в полученных соотношениях коэффициенты при одинаковых степенях t, найдем на каждом шаге три алгебраических уравнения для определения трех неизвестных констант: две константы при каждом t входят в лучевые ряды W и Qr и одна константа при каждом t содержится в выражении (3.4). Зная перечисленные константы с учетом (3.3), можно определить контактную силу, которая записывается с точностью до t5 в следующем безразмерном виде:
- для упругой изотропной пластинки и линейно упругого буфера
(3.5)
- для вязкоупругой изотропной пластинки и линейно упругого буфера
(3.6)
- для упругой изотропной пластинки и вязкоупругого буфера
(3.7)
- для вязкоупругой изотропной пластинки и вязкоупругого буфера
(3.8)
- для упругой изотропной пластинки и нелинейно упругого буфера
(3.9)
- для вязкоупругой изотропной пластинки и нелинейно упругого буфера
(3.10)
где , , , , , , , , , , - безразмерный параметр вязкости пластинки.
На рис. 2 исследуется зависимость безразмерной контактной силы от безразмерного времени и безразмерных параметров, входящих в выражения (3.5) - (3.10). На рис. 2а приводятся зависимости максимальной контактной силы от безразмерного параметра при различных значениях безразмерной скорости удара , указанных цифрами у кривых, при этом сплошной линией показаны значения максимальной контактной силы для стальной пластинки, а пунктиром - для алюминиевой. На рис. 2б показывается зависимость контактной силы от времени для различных значений параметра вязкости пластинки , которые указаны цифрами у кривых.
Остальные параметры принимают следующие значения: =25, = 0.3, =1, =1.110-6, =8.510-3. Рис. 2в и рис. 2г иллюстрируют зависимость контактной силы от времени при разных значениях безразмерных параметров и соответственно. На рис. 2д изображена нелинейная зависимость максимальной контактной силы от скорости удара: кривая 1 подсчитана при , кривая 2 - при , кривая 3 - при , кривая 4 - при (эта кривая соответствует линейно упругому буферу), кривая 5 - при , кривая 6 - при . На рис. 2е изображена зависимость максимальной контактной силы от обобщенного параметра нелинейно упругого буфера для разных параметров вязкости пластинки : кривая 1 подсчитана при , кривая 2 - при , кривая 3 - при , кривая 4 - при , кривая 5 - при .
Как показали исследования, максимум контактной силы увеличивается при увеличении безразмерного параметра , скорости удара и плотности материала пластинки (рис. 2а). Из рис. 2б можно увидеть, что максимальная контактная сила уменьшается с увеличением безразмерного параметра вязкости пластинки . При его неограниченном уменьшении кривая контактной силы бесконечно близко приближается к кривой, построенной для случая упругой пластинки.
а)б)
в)г)
д)е)
Рис. 2 Зависимость контактной силы от различных параметров взаимодействия
При воздействии на пластинку массивного тела () контактная сила увеличивается, при воздействии легкого тела значение контактной силы уменьшается по сравнению со значениями на кривой, соответствующими равным массам контактной области и ударника (рис. 2в). Максимальная безразмерная контактная сила уменьшается с уменьшением безразмерного времени релаксации, при неограниченном увеличении времени кривая контактной силы приближается к кривой, которая соответствует максимальной контактной силе линейно упругого буфера (рис. 2г). При увеличении K (для жестких нелинейных характеристик буфера) максимум контактной силы увеличивается, а при уменьшении K (для мягких нелинейных характеристик буфера) - уменьшается по сравнению с максимумом для линейно упругого буфера (рис. 2д). Из рис. 2е видно, что с уменьшением обобщенного параметра нелинейно упругого буфера контактная сила уменьшается. Как следует из рис. 2е, при увеличении параметра максимальные значения контактной силы уменьшаются для любых K и характеристика нелинейности смягчается.
Для мягких нелинейных характеристик (К < -1.5910-6) максимальная контактная сила уменьшается, для жестких характеристик (К > -1.5910-6) максимальная контактная сила увеличивается по сравнению с контактной силой для линейно упругого буфера, которому соответствует значение К = -1.5910-6.
В главе 4 рассматриваются вязкоупругая и упруго-пластическая модели взаимодействия ударника и пластинки. В §1 описывается постановка задачи, а для представления неизвестных величин используется первый член лучевых рядов (2.6) - (2.8), что позволяет избежать разложения в ряд экспоненциальной функции ядра релаксации. Также в этом случае можно обойтись без граничного условия (3.2).
В §2 рассматривается контакт ударника с вязкоупругим элементом Максвелла и упругой изотропной пластинки. Из определяющих уравнений для мишени при предположении абсолютной твердости контактного диска и учете только нулевых членов ряда (1.2) можно получить не только скорость сдвиговой волны, но и динамическое условие совместности для перерезывающей силы и скорости прогиба:
.(4.1)
Подставляя в уравнения (1.1) и (3.1) выражения (3.2б) и (4.1), получим систему интегро-дифференциальных уравнений относительно и w, которая в пространстве Лапласа примет вид:
(4.2)
Решая данную систему, находим выражения для смятия и прогиба мишени в пространстве изображений. Для перехода к оригиналам необходимо решить характеристическое уравнение
(4.3)
в котором . Данное уравнение может иметь два комплексно сопряженных и один действительный корень или три действительных корня. В зависимости от этого будут меняться конечные выражения для прогиба и местного смятия и, соответственно, для контактной силы.
Для иллюстрации полученных результатов рассмотрим численный пример и исследуем зависимость контактной силы от вязкоупругих свойств ударника. Параметры взаимодействия в примере принимают следующие значения: m=10г, h=13мм, V0=10м/с, Е1=250кН/м. На рис. 3а построены зависимости контактной силы от времени для различных значений времени релаксации вязкоупругого элемента, которые указаны цифрами у кривых. На рис. 3б представлены зависимости контактной силы от времени для следующих частных случаев динамического взаимодействия: 1) ударник является упругим телом; полагая , получим кривую 1 для упругой контактной силы; 2) пренебрегая инерцией контактного пятна (в уравнении (3.1) отсутствует левая часть), получим кривую 2 при =0.001; 3) пренебрегая инерцией контактной области и считая ударник упругим, получим зависимость 3; кривая 4 построена для общего случая вязкоупругого ударника при =0.001; кривая 5 построена при учете 5-ти членов лучевого ряда (1.2).
а) б)
Рис. 3 Зависимость контактной силы от времени
В §3 рассматриваются следующие модели контакта для сферического ударника:
- упругая модель Герца
,(4.4)
- упругопластическая модель Александрова-Кадомцева
(4.5)
- упругопластическая модель Кильчевского:
(4.6)
где , , , , m - наименьшая из пластических констант взаимодействующих тел, , =5.7, , , , , , , , 1 - коэффициент Пуассона ударника, E1 - модуль упругости ударника.
Используя выражения (1.1), (3.1) и (4.1), приходим к нелинейному интегро-дифференциальному уравнению относительно и Р:
.(4.7)
После подстановки выражений (4.4)-(4.6) в формулу (4.7) получаем интегро-дифференциальные уравнения относительно контактной силы, которые решаются численно с помощью ЭВМ и итерационной схемы, описанной в главе 2.
На рис. 4а кривые 1, 2, 3 построены при использовании соотношений (4.4), (4.5) и (4.6) соответственно, а кривая 4 взята у Голдсмита, начальная скорость удара 10 м/с. На рис. 4б кривые 1,2 соответствуют 20 м/с, кривые 3, 4 - 15 м/с, кривые 5,6 - 10 м/с, кривые 1, 3, 5 были посчитаны при помощи соотношений (4.4), а кривые 2, 4, 6 - при помощи соотношений (4.5). Из рис. 4а видно, что модель (4.5) дает наилучшее приближение к результату эксперимента и что при скоростях 10 м/с упругопластические свойства мишени заметно влияют на контактную силу. Из рис. 4б следует, что при увеличении начальной скорости воздействия разница между значениями максимальных контактных сил, полученных при использовании зависимостей (4.4) и (4.5), растет.
а) б)
Рис.4 Зависимость контактной силы от времени
§4 содержит численные исследования полученных аналитических выражений для контактной силы, при этом параметры конструкции принимаются как в некоторых экспериментальных исследованиях, после сравнения делаются выводы о влиянии параметров взаимодействия и модели на точность решения.
В пятой главе рассматривается динамический контакт ударника и ортотропной пластинки, обладающей криволинейной анизотропией. В §1 исследуется влияние анизотропии на динамический прогиб и контактную силу, выражения в безразмерном виде для которых получаются после подстановки (2.6), (2.7), (3.4) и (3.2а) в систему уравнений (1.1), (3.1) и (3.2):
(5.1)
(5.2)
где , , .
На рис.5а приведены зависимости максимального прогиба от соотношения для различных значений : кривая 1 - для =3.410-6, кривая 2 - для =2.310-6, кривая 3 - для =1.110-6; другие параметры в расчетах принимают следующие значения: =25, =1, =8.510-3. На рис. 5б показаны зависимости максимального прогиба от соотношения скоростей скачков сильного разрыва , которое пропорционально отношению для различных значений , указанных цифрами у кривых.
Анализируя рис. 5а,б, можно сделать вывод об уменьшении максимального прогиба при увеличении соотношений и , а также о том, что максимальный прогиб увеличивается при увеличении линейной жесткости буфера .
В §2 исследуется влияние термоупругих свойств ортотропной пластинки на контактную силу и динамический прогиб, определяются параметры температурной волны с помощью многочленных лучевых разложений, как и в §1.
а)б)
Рис. 5 Зависимость динамических характеристик от параметров анизотропии
На рис. 6а и на рис. 6б приведены зависимости контактной силы и динамического прогиба соответственно от времени для различных значений обобщенного температурного коэффициента аТ, которые указаны цифрами у кривых. Кривые при аТ = 0 соответствуют ударному воздействию без учета распространения тепла. Остальные параметры изучаемой конструкции принимают следующие значения: m = 0.3 кг, r0=100 мм, h=200 мм, E1=25 кН/м, ГПа, V0 =10 м/с, , кгм.
а) б)
Рис. 6 Зависимость динамических характеристик от температурного коэффициента
Из рис. 6а,б видно, что увеличение температурного коэффициента, т.е. увеличение температуры ударника, приводит к росту динамического прогиба и контактной силы в месте взаимодействия. Также можно увидеть, что изменение аТ сильнее влияет на динамический прогиб, чем на контактную силу.