Материал: Дослідження системи аксіом евклідової геометрії

Дослідження системи аксіом евклідової геометрії

ПЛАН

ВСТУП

§ 1. Декартова реалізація системи аксіом евклідової геометрії (за О.В. Погорєловим)

.1 Несуперечливість системи аксіом евклідової геометрії

.2 Повнота системи аксіом евклідової геометрії

.3 Незалежність аксіоми існування відрізка заданої довжини

1.4 Незалежність аксіоми паралельних

§ 2. Арифметична реалізація векторної системи аксіом Г. Вейля евклідової геометрії

2.1 Несуперечливість системи аксіом Г. Вейля евклідової геометрії для простору ТЕ3

2.2 Незалежність системи аксіом Г. Вейля

.3 Повнота системи аксіом Вейля

§ 3. Доведення несуперечливості геометрії Лобачевського

.1 Реалізація Бельтрамі - Клейна

3.2 Реалізація Пуанкаре

ВИСНОВКИ

СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ

ВСТУП

Одним з найважливіших питань, що виникають при аксіоматичному побудові науки, є питання про джерела, з яких черпаються її фундаментальні істини - аксіоми й основні поняття. Геометричні аксіоми й основні поняття мають виняткову достовірність. В той час, як в інших областях знань погляди, теорії весь час змінювалися, багато геометричних істин залишалися незмінними. Це ставило геометрію в особливе становище, викликало наполегливу роботу думки з питання про джерела геометричних знань [11,c.112].

Системою аксіом науки називається сукупність тверджень про її основні поняття, прийняті без доказу. Система аксіом даної науки не є однозначною. Наприклад, в системі аксіом евклідової геометрії, сформульованої Гільбертом, аксіому паралельну можна замінити еквівалентним їй п'ятим постулатом Евкліда, аксіому Дедекинда пропозиціями Архімеда і Кантора.

Як уже відзначалось, вибір системи аксіом, на якій будується геометрія, не є однозначним. Щоб вибрану сукупність аксіом можна було покласти в основу побудови геометрії (або іншої науки) необхідно і достатньо, щоб ця сукупність утворювала систему аксіом, тобто була несуперечливою, незалежною і повною [17,c.134].

Мета дослідження: ознайомитися з основними поняттями та класичними теоремами, вивчити та дослідити систему аксіом геометрії.

Завдання: Відповідно до поставленої мети визначимо наступні завдання.

Обґрунтування даної системи аксіом геометрії.

Довести її несуперечливість, повноту, незалежність кожної аксіоми системи від інших аксіом цієї ж системи.

Предмет дослідження: система аксіом геометрії.

Об’єкт дослідження: Основи геометрії як навчальна дисципліна.

§ 1. Декартова реалізація системи аксіом евклідової геометрії (за О.В. Погорєловим)

.1 Несуперечливість системи аксіом евклідової геометрії

Доведення несуперечливості системи аксіом зводиться до побудови ' хоча б однієї її реалізації (інтерпретації), в якій основні поняття і аксіоми набувають конкретного змісту. Якщо існує хоча б одна така сфера конкретних речей, відношення між якими задовольняють дану аксіоматику, то несуперечливість даної системи аксіом буде такою, якою є несуперечливість об'єктів теорії (науки), через які визначаються основні поняття даної системи аксіом. Отже, доведення несуперечливості даної системи аксіом є умовним.

Множина об’єктів в яких дана системо аксіом знаходить реальне втілення,називається моделлю або інтерпретацією досліджуваної, системи аксіом .

Для побудови реалізації системи аксіом евклідової геометрії, запропонованої О.В. Погорєловим, візьмемо об'єкти множини всих дійсних чисел, тобто основним поняттям і аксіомам цієї системи надамо арифметичний зміст. Така інтерпретація називається декартовою або арифметичною [4,c.100].

Надамо конкретного арифметичного змісту поняттям «точка»,

«пряма», «належати».

Означення 1. Точкою назвемо будь-яку пару дійсних чисел х і у, взятих у певному порядку: (х; у). Числа х і у називатимемо координатами точки.

Означення 2. Прямою назвемо сукупність всіх точок, координати яких задовольняють рівняння , де . Це рівняння називатимемо рівнянням прямої. Прямі х = 0 і у= 0 будемо називати осями координат, а точку (0; 0) - початком координат.

Означення 5.3. Будемо говорити, що точка належить прямій, якщо її координати задовольняють рівняння прямої.

Покажемо, що при такому конкретному розумінні основних понять «точка», «пряма», «належати» для них виконуються аксіоми належності.

.        Доведемо істинність аксіоми І1, яка стверджує, що через дві точки можна провести пряму, і до того ж тільки одну. Нехай  і  дані точки. Тоді прямою, яка проходить через ці точки, буде пряма, що задається рівнянням , бо координати даних точок задовольняють це рівняння. Доведемо, що ця пряма єдина. Припустимо, що через  і  проходять дві прямі. Тоді система рівнянь має два розв'язки. Але в такому разі вона має безліч розв'язків і, отже, ці рівняння лінійно залежні тобто відрізняються лише сталим множником. А це означає, що прямі збігаються, тобто через дві точки не можуть проходити дві різні прямі.

2.      Доведемо істинність аксіоми 2, яка стверджує, що на кожній прямій існують принаймні дві точки, і існують три точки які не лежать на прямій.

Нехай  - рівняння прямої. Тоді один із коефіцієнтів a і b відмінний від нуля. Нехай, наприклад,  . Візьмемо довільні числа і знайдемо числа  за формулами

Точки і лежать на даній прямій.

Розглянемо точки (0; 0), (0; 1) і (1; 0). Ці три точки не лежать на одній прямій. Справді, припустимо, що вони лежать на деякій прямій . Підставляючи координати точок у це рівняння послідовно, одержимо с=0;b=0;c=0, що суперечить нашому означенню прямої [1,c.58].

Надамо конкретного арифметичного змісту поняттю «довжина відрізка».

Означення 4. Відстанню між точками (; ), () назвемо число

Означення 5. Довжиною відрізка назвемо відстань між його кінцями.

Тоді виконується аксіома існування відрізка даної довжини. Дійсно, яке б не було дійсне число d > 0. існує відрізок довжини d. Таким відрізком буде, наприклад, відрізок з кінцями в точках (0; 0) і (d; 0), оскільки

Перевіримо виконання аксіоми паралельних, а саме: покажемо, що в декартовій реалізації через точку (х0; y0) яка лежить зовні прямої  можна провести не більше однієї прямої, паралельної їй. Припустимо, що існують дві прямі  i  які проходять через точку (х0; y0) і паралельні даній прямій. Тоді обидві системи рівнянь:  i несумісні. Тому їх визначники дорівнюють нулю: .

Звідси випливає, що  Оскільки ж система рівнянь

має розв'язок (х0; y0),то її рівняння лінійно залежні, тобто відрізняються лише множником. А це означає, що прямі збігаються, що суперечить умові. Аксіома паралельних, таким чином, у декартовій реалізації виконується.

Аналогічно можна показати, що в даній реалізації виконуються всі аксіоми евклідової геометрії, сформульовані О. В. Погорєловим (розділ 4). Перевірку виконання ряду інших аксіом у цій реалізації можна знайти в посібнику [19,c.156].

Ми побудували арифметичну реалізацію системи аксіом евклідової геометрії, надавши основним геометричним поняттям конкретного арифметичного змісту і показавши, що всі аксіоми евклідової геометрії в цій реалізації виконуються. Оскільки аксіоми геометрії у цій реалізації доводилися на основі аксіом арифметики, то питання про несуперечливість системи аксіом евклідової геометрії зводиться до питання про несуперечливість арифметики, тобто евклідова геометрія несуперечлива; якщо несуперечливою є арифметика дійсних чисел. А несуперечливість системи аксіом арифметики підтверджується багатовіковою практикою людства [19,c.157].

1.2 Повнота системи аксіом евклідової геометрії

Питання про повноту системи аксіом тісно пов'язане з питанням про ізоморфізм всіх її реалізацій.

Означення 6. Дві реалізації R і R ' деякої теорії Т називаються ізоморфними, якщо між елементами цих реалізацій (що відповідають основним поняттям теорії Т) можна встановити взаємно однозначну відповідність, яка зберігає відношення, встановлені аксіомами [14,c.94].

Теорема 1. Якщо всі реалізації системи аксіом теорії Т ізоморфні, то ця система аксіом повна.

Доведення. Припустимо супротивне: нехай всі реалізації системи аксіом теорії Т ізоморфні, але система аксіом Т неповна. Це означає, що існує деяке твердження a, яке не може бути виведене з аксіом Т і не знаходиться з ними н суперечності. Тоді можна утворити дві несуперечливі системи аксіом і  приєднуючи до аксіом Т аксіому  або її заперечення .

Нехай  і  - реалізації систем аксіом і . Кожна з них є одночасно реалізацією Т. Оскільки в T має місце , має місце a , то ці реалізації не ізоморфні. Прийшли до суперечності, яка й доводить теорему.

Теорема 2. Система аксіом евклідової геометрії є повною, тобто не можна приєднати до неї жодних нових аксіом, які б не випливали з уже прийнятих аксіом і не суперечили їм.

Доведення. Згідно з теоремою 1 для доведення даної теореми досить установити ізоморфізм всіх реалізацій системи аксіом евклідової геометрії. Оскільки дві реалізації, ізоморфні третій, є ізоморфними між собою, то досить довести ізоморфізм всіх реалізацій декартовій реалізації. Встановимо такий ізоморфізм.

Нехай R - яка-небудь реалізація системи аксіом евклідової геометрії на площині. Побудуємо аналітичну геометрію, яка відповідає цій реалізації. Введемо на площині прямокутну декартову систему координат точно так, як це робиться в аналітичній геометрії. Тоді кожна пряма на площині буде задаватись лінійним рівнянням . Для відстані між точками виводиться формула

Поставимо тепер у відповідність точці (х; у) декартової реалізації точку реалізації R з координатами х, у; прямій  декартової реалізації - пряму в реалізації R, яка задається таким самим рівнянням. Ця взаємно однозначна відповідність між точками і прямими декартової реалізації і точками і прямими реалізації R є ізоморфізмом.

Дійсно, якщо в декартовій реалізації точка А лежить на прямій а і  - відповідні точка і пряма в реалізації R, то  лежить на прямій а'.

Відповідні відрізки декартової реалізації і реалізації R мають однакові довжини, оскільки виражаються однією й тією ж формулою через координати кінців.

Отже, встановлена нами взаємно однозначна відповідність між точками і прямими декартової реалізації і довільної реалізації R -ізоморфізм. Звідси випливає, що всі реалізації системи аксіом евклідової геометрії ізоморфні і, отже, за теоремою 1 система аксіом евклідової геометрії повна [6,c.255].

1.3 Незалежність аксіоми існування відрізка заданої довжини

Щоб довести незалежність деякої аксіоми а від інших аксіом теорії T, досить побудувати таку реалізацію R системи аксіом теорії Т в якій аксіома а не виконується. Якщо таку реалізацію вдається побудувати, то аксіома а - незалежна. Дійсно, якби аксіома а була наслідком інших аксіом, то це було б і в реалізації R, тобто в R було б справедливе твердження a, що суперечить побудові R.