Материал: Дослідження системи аксіом евклідової геометрії

Цим способом ми й доведемо незалежність аксіоми існування відрізка даної довжини від інших аксіом евклідової геометрії. [3,c.420].

Теорема 3. Аксіома існування відрізка заданої довжини незалежна, тобто не може бути одержана як наслідок з інших аксіом евклідової геометрії.

Доведення. Позначимо через G сукупність дійсних чисел, яка містить всі раціональні числа, а також всі числа, які одержуються з раціональних чисел за допомогою скінченного числа дій додавання, віднімання, множення, ділення і добування квадратного кореня. Числами із G не вичерпуються всі дійсні числа.

Побудуємо тепер декартову реалізацію системи аксіом тим самим способом, що й раніше, але будемо користуватись при цьому лише числами із G. Наприклад, точкою назвемо пару чиселіз G, прямою - сукупність точок, які задовольняють рівняння  з коефіцієнтами а, b, с із G і т.д. Перевіряючи виконання аксіом, ми слово в слово повторимо всі проведені нами раніше доведення. При цьому встановимо виконання всіх аксіом, крім аксіоми існування відрізка даної довжини. Ця аксіома в даній реалізації не буде виконуватися. Дійсно, довжина відрізка з кінцями  в даній реалізації визначається за формулою

Через те що числа   G, то й d G. Оскільки ж числа G не вичерпують всіх дійсних чисел, то знайдеться таке дійсне число d, яке в даній реалізації не може бути довжиною жодного відрізка. Наприклад, у даній реалізації не існує відрізка довжиною .

Таким чином, аксіома існування відрізка даної довжини залежить від інших аксіом евклідової геометрії [13,c.311].

1.4 Незалежність аксіоми паралельних

У такий же спосіб доведемо незалежність аксіоми паралельних від інших аксіом евклідової геометрії.

Рис. 1

Теорема 4. Аксіома паралельних евклідової геометрії незалежна, тобто не може бути виведена як наслідок з інших аксіом.

Доведення. Згідно із загальним способом доведення незалежності аксіом нам досить побудувати таку реалізацію системи аксіом евклідової геометрії, в якій би виконувались всі аксіоми, крім аксіоми паралельних. Побудуємо таку реалізацію.

Під точкою будемо розуміти довільну точку евклідової площини всередині одиничного круга  під прямою - довільну хорду цього круга (рис. 1) Відношення належності будемо розуміти так, як і в евклідовій площині. Довжину відрізка АВ з кінцями  визначимо так. Нехай пряма АВ перетинає х2 + у2=1 в точках  Тоді довжиною відрізка АВ назвемо число

якщо аналогічний вираз із заміною х та у, якщо. У цій реалізації виконуються всі аксіоми евклідової геометрії, крім аксіоми паралельних. Дійсно, через дану точку круга можна провести безліч хорд, які не перетинають дану хорду. Побудова цієї реалізації і доводить незалежність аксіоми паралельних від інших аксіом [17,c.63].

§ 2. Арифметична реалізація векторної системи аксіом Г. Вейля евклідової геометрії

.1 Несуперечливість системи аксіом Г. Вейля евклідової геометрії для простору ТЕ3

Основним поняттям системи аксіом Вейля надамо конкретний зміст за допомогою дійсних чисел, тому така реалізація називається арифметичною.

1. Вектором назвемо будь-яку матрицю стовпець вигляду  де  - довільні дійсні числи. При цьому два вектори збігаються тоді і тільки тоді, коли відповідні елементи двох матриць рівні. Збігання векторів позначатимемо знаком рівності.

. Точкою назвемо будь-яку матрицю-рядок вигляду де - довільні дійсні числа. При цьому дві точки  і збігаються тоді і тільки тоді, коли .

3. Сумою векторів i  назвемо вектор

. Добутком числа k на вектор  назвемо вектор

. Скалярним добутком векторів  і , встановленим ненульовим вектором  називається число.

Можна переконатись, що при таких означеннях основних об'єктів і основних відношень всі аксіоми Вейля тривимірного евклідового простору виконуються. Перевірка аксіом першої, другої, третьої і четвертої груп майже тривіальна, якщо взяти за нульовий вектор  матрицю-стовпчик  (аксіома 1.3)б а за три лінійно незалежні вектори (аксіома 4.1) матриці стовпці  Перевіримо реалізацію аксіом 1 і 2 [15,c.303].

Аксіома 1. Нехай А = - довільна точка і  -довільний вектор.

Треба довести, що існує одна і тільки одна точка -  така, що вектор  =. За означенням належності (6) при цьому має виконуватись умова: З цієї умови випливає, щ о існує одна і тільки одна трійка чисел, яка задовольняє ці числові рівності.

Аксіома 2. Нехай маємо три довільні точки , , .

За домовленістю (6) знаходимо вектори :

Тоді

Аксіома 2 доведена.

Отже система аксіом Вейля. а тому і геометрія Евкліда, несуперечлива настільки, наскільки несуперечливою, є арифметика дійсних чисел [9,c.180].

2.2 Незалежність системи аксіом Г. Вейля

Як уже зазначалось, несуперечлива система аксіом називається незалежною (мінімальною), якщо кожна аксіома даної системи не є логічним наслідком інших аксіом цієї системи.

Нехай - дана система аксіом геометрії. Для доведення, наприклад, незалежності аксіом  від аксіом треба побудувати нову систему аксіом де  -заперечення аксіоми , і довести її несуперечливість. Якщо аксіома  є наслідком аксіом то вона буде наслідком із системи , тобто в цій новій аксіоматиці аксіому  можна довести як теорему. Отже, у новій аксіоматиці матимуть місце два суперечливих між собою твердження  i , але тоді ця аксіоматика не буде несуперечливою [17,c.157].

Розглянемо декілька прикладів доведення незалежності окремих аксіом Вейля.

1. Доведення незалежності аксіоми 4.1 від аксіом простору.

Треба довести несуперечливість системи аксіом

(1.1-1.4,2.1-2.4, 3.1-3.5, 4.2. 5.1, 5.2}, (1)

де  - заперечення аксіоми 4.1.

Для цього використаємо арифметичну реалізацію, побудовану для доведення несуперечливості системи аксіом Вейля простору але внесемо до неї деякі зміни: вектором назвемо будь-яку матрицю-стовпчик , де  і  - довільні дійсні числа, скалярним добутком векторів  i  встановленим ненульовим вектором  назвемо число

При таких домовленостях всі аксіоми системи (1) виконуються, зокрема аксіома виконується тому, що в даній реалізації не виконується аксіома 4.1, оскільки будь-які три вектори лінійно залежні.

Аналогічно доводиться незалежність аксіоми 4.2.

. Доведення незалежності аксіоми 1 від аксіом Вейля простору ТЕ3.

Треба довести несуперечливість системи аксіом

{1.1 - 1.4,2.1 - 2.4, 3.1 - 3.5, 4.1 - 4.2, ,5.2} (2)

де - заперечення аксіоми 1.

Використаємо арифметичну реалізацію, побудовану для доведення несуперечливості системи аксіом Вейля простору , але внесемо такі зміни:

.        Точкою назвемо матрицю виду де  довільні дійсні числа. При цьому точки  i  збігаються тоді і тільки тоді, коли ,

.        належність упорядкованих пар точок  i  вектор визначається умовами  У видозміненій у такий спосіб інтерпретації будуть виконуватись всі аксіоми Вейля, крім аксіоми 1. Аксіома 1 не виконується тому, що визначення належності впорядкованої пари точок і вектора числа і не фігурують, вони можуть вибиратись довільно.

.        Доведення незалежності аксіоми 2.

Для доведення належності аксіоми 2 в арифметичній інтерпретації п. 5.3.1 умову належності упорядкованої пари точок  і вектора  сформулюємо так :

Тоді в такій інтерпретації всі аксіоми Вейля виконуються, крім аксіоми 2, у чому легко переконатися.

Аналогічно можна пересвідчитися у незалежності інших аксіом Вейля. [18,c.140].

евклідовий геометрія аксіома лобачевський

2.3 Повнота системи аксіом Вейля

Як уже зазначалося, для доведення повноти системи аксіом треба показати, що будь-які дві її реалізації ізоморфні між собою.

Для доведення повноти системи аксіом Вейля використаємо декартову реалізацію, оскільки в наслідках з аксіом Вейля зазначалось, що в просторі  можна ввести прямокутну декартову систему координат. [19,c.106].

У системі координат  координатами точки М простору назвемо координати вектора . При цьому кожній точці М простору ставиться у відповідність упорядкована трійка чисел, причому ця відповідність буде взаємно однозначною.

Якщо точки А і В мають відповідно координати  і  то вектор матиме своїми координатами числа .

Тепер можна довести, що будь-яка реалізація аксіоматики простору  ізоморфна декартовій (арифметичній) реалізації системи аксіом Вейля евклідової геометрії (п. 5.3.1).

Справді, нехай М - деяка довільна реалізація даної аксіоматики. Введемо в цій реалізації прямокутну декартову систему координат і кожній точці, кожному вектору поставимо у відповідність їх координати. Ці ж самі основні об'єкти (вектори і точки) в арифметичній реалізації визначені за допомогою дійсних чисел. З правил операцій над векторами і правил визначення координат вектора за координатами його кінцевих точок випливає, що основні відношення між точками і векторами в обох реалізаціях мають однаковий зміст, тобто довільна реалізація М аксіоматики Вейля ізоморфна арифметичній реалізації. Оскільки поняття ізоморфізму має властивість транзитивності, то звідси також випливає, що будь-які дві інтерпретації аксіом Вейля евклідової геометрії ізоморфні між собою.