Материал: Дослідження системи аксіом евклідової геометрії

Виконання аксіом неперервності випливає з того, що при введеному в такий спосіб порядку точок на Л-прямій (як і на евклідовому півколі) на ній виконується принцип неперервності Дедекінда, еквівалентний аксіомам Архімеда і Кантора. [15,c.390].

Дещо складнішим видається доведення аксіом конгруентності. Дамо означення Л-відрізків і Л-кутів через об'єкти евклідової площини.

Рис. 5

Рис. 6

Рис. 7

Рис. 8

Л-відрізком АВ назвемо дугу евкдідового півкола з кінцями АіВ. Л-півпряма з початком у точці О зображується дугою ОМ, кінець М якої лежить на прямій т, точка М не належить до Л-точок (рис. 6). Л-кутом з вершиною О будемо називати сукупність двох Л-півпрямих, що виходять з точки О (рис. 7).

Поняття конгруентності відрізків і кутів введемо за допомогою перетворення інверсії відносно кіл, ортогональних з прямою D, при цьому вважатимемо, що поняття інверсії та її властивості відомі. Інверсія відносно таких кіл відображає точки верхньої евклідової півплощини в точки цієї ж півплощини. [8,c.318].

Означення 6. Л-відрізок АВ конгруентний Л-відрізку А'В' якщо існує така скінченна послідовність інверсій, що їх композиція відображає евклідову кругову дугу АВ на кругову дугу А'В'.

При такому означенні конгруентності Л-відрізків аксіома 3.1 справджується. Дійсно, нехай дані два півкола а і b із центрами на прямій m, на півколі а дана дуга АВ, а на півколі b дана точка С (рис. 8).Виберемо інверсію з центром на прямій т так, щоб півколо α відобразилось на півколо b. При цьому точки А і В півкола α перейдуть у деякі точки А' і B' на півколі b. Тоді за властивостями інверсії існує інверсія з центром на прямій т, яка відображає півколо b саме в себе так, що або точка А' переходить у точку С, або точка В' переходить у точку С. У першому випадку точка В' перейде в деяку точку півкола b, а в другому випадку точка А'перейде в деяку точку D" півкола b. Точки D ' і D" розміщені по різні боки від точки С.

Відповідно до означення конгруентності Л-відрізків маємо

 i

Звідси випливає справедливість аксіоми 3.1 в даній реалізації. Аналогічно доводиться виконання аксіом 3.2, 3.3, 3.5 [7,c.175].

Означення7.Л-кути (h; k) і (h'; k') називаються конгруентними, якщо існує така послідовність інверсій з центрами на прямій т, що їх композиція дуги півкіл, які зображують сторони Л-кута ( h; k) відображає на дуги півкіл, що зображують сторони Л-кута (h'; k')

Перевіримо виконання аксіоми 3.4.

Нехай дано Л-кути (h; k) з вершиною А і Л-промінь h' з початком  (рис. 9). За властивостями інверсії з центром на прямій т існує послідовність інверсій, у результаті яких Л-пряма а перейде в Л-пряму α' так, що точка А перейде в точку  а Л-промінь h - у Л-промінь k'. При цьому Л-пряма b перейде в якусь Л-пряму b' що проходить через точку А', і Л-промінь k перейде в Л-промінь k ' Л-прямої b'. За означенням конгруентності кутів Л-кут (h; k) буде конгруентний Л-куту (h'; k') [2,c.400].

Рис. 9

Рис. 10

Якщо взяти за коло інверсії коло а, то Л-промінь k відобразиться в Л-промінь k", розміщений по другий бік від Л-променя h. Тоді за означенням 7 Л-кут (h; k) буде конгруентний Л-куту (h'; k").

Далі можна відобразити Л-промінь h в k і навпаки.Отже, Л-кут (h; k) конгруентний Л-куту (k; h)Повторюючи ще раз цю ж послідовність інверсій, переконаємось, що Л-кут (h; k) конгруентний сам собі.Таким чином, усі вимоги аксіоми 3.4виконуються в даній реалізації, а разом з нею і всі аксіоми конгруентності, і всі аксіоми абсолютної геометрії. Залишається з'ясувати, яка ж аксіома паралельності справджується в даній реалізації.Рис. 10

 Візьмемо у верхній евклідовій півплощині з межею т півколо а з центром на прямій m і точку А, що не належить півколу α.Зрозуміло, що через точку А можна провести безліч півкіл з центрами на прямій m, які перетинають півколо α і які не перетинають його [14,c.130].

Серед множини таких півкіл буде два півкола b і с, які дотикаються півкола α в точках М і N на прямій m (рис. 10).

Оскільки точки М і N не належать до Л-точок, то півкола biс належать множині Л-прямих, які не перетинають Л-прямої α.

Отже, у пучку Л-прямих, що проходять через Латочку А, існує нескінченна множина Л-прямих, які не перетинають Л-прямої а, і нескінченна множина Л-прямих, які перетинають Л-пряму α.

Звідси випливає, що в реалізації Пуанкаре на евклідовій площині справджується аксіома паралельності Лобачевського. Роль граничних Л-прямих, тобто паралельних за Лобачевським Л-прямій а, відіграють евклідові півкола b і с, які в пучку Л-прямих, що проходять через точку А, відділяють одну від іншої множини Л-прямих, що перетинають Л-пряму α і що не перетинають її.

Отже, запропонована А. Пуанкаре реалізація аксіом геометрії в образах планіметрії Евкліда є моделлю планіметрії Лобачевського. Тому планіметрія Лобачевського несуперечлива настільки, наскільки несуперчливою є планіметрія Евкліда.

Звідси також випливає, що аксіома паралельності Евкліда (п'ятий постулат) і аксіома паралельності Лобачевського не є наслідками аксіом абсолютної геометрії, вони незалежні від аксіом абсолютної геометрії.

Примітка. Відома також реалізація Пуанкаре аксіом планіметрії Лобачевського на евклідовому крузі - абсолютному крузі. Ця інтерпретація аналогічна інтерпретації Бельтрамі - Клейна, але роль Л-прямих відіграють дуги евклідових кіл, ортогональних з абсолютом. [14,c.133].

ВИСНОВКИ

У даній курсовій роботі було розглянуто питання про систему дослідження аксіом геометрії. В роботі були сформульовані основні аксіоми, а також показані приклади їх графічного зображення.

Було проведено дослідження системи аксіом Пуанкаре і Г. Вейля, покладених в основу евклідової геометрії, і аксіоматики геометрії М.І. Лобачевського.

Ідея реалізації геометрій, усвідомлення їх реалізацій на множинах різних об'єктів, особливо після завершення аксіоматичної побудови евклідової геометрії, набула широкого розвитку. Наприкінці XIX ст. і на початку XX ст. було створено цілий ряд різноманітних реалізацій аксіомики як евклідової, так і неевклідової геометрії. Декілька реалізацій аксіоматики планіметрії Лобачевського запропонував відомий французький математик і філософ А. Пуанкаре.

Пуанкаре доводить реалізацію на евклідовій площині аксіом паралельності Лобачевського. Роль граничних Л-прямих, тобто паралельних за Лобачевським Л-прямій а, відіграють евклідові півкола b і с, які в пучку Л-прямих, що проходять через точку А, відділяють одну від іншої множини Л-прямих, що перетинають Л-пряму α і що не перетинають її [5,c.138].

Основним поняттям системи аксіом Вейля надамо конкретний зміст за допомогою дійсних чисел, тому така реалізація називається арифметичною.

Говорячи про несуперечливість системи аксіом, то вона називається незалежною (мінімальною), якщо кожна аксіома даної системи не є логічним наслідком інших аксіом цієї системи.

Геометрія Лобачевського будується на основі тих же аксіом, що і евклідова, за винятком лише одній аксіоми про паралельних. Саме, згідно з аксіомою про паралельних евклідової геометрії, через крапку, не лежачу на даній прямій а, проходить лише одна пряма, яка лежить в одній плоскості з прямою а і не пересікає цю пряму; у геометрії Лобачевського приймається, що таких прямих декілька (потім доводиться, що їх нескінченно багато) [15,c.263].

При розгляді даної теми курсової роботи теоретичні відомості підтвердились практичним доказом та математичним обгрантуванням.

СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ

2.      Александров А. Д. Основи геометрії / А.Д. Александров - М.: Наука, 1987.-288 ст.

3.      Александров А.Д. Геометрія для 10-11 класів з поглибленим вивченням математики. / А.Д. Александров, А.Л. Вернер, В.И. Рижик - М.: Просвіта, 1992.- 464 ст.

4.      Атанасян Л. С. Геометрія: Підручник для-7-9 класів средньої школи / Л.С. Атанасян В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Є. Г. Лозняк, І. І. Юдина. - М.: Просвіта, 1990. - 336 ст.

.        Боровик В.Н. Зображення просторових фігур та їх застосування до розв'язування задач на комбінацію тіл / В. Н. Боровик - Чернігів: ЧДПУ, 2002. - 192 ст.

6.      Боровик В.Н. Основи геометрії / В. Н. Боровик, В. Л Яковець. - Ніжин: НДПУ, 2003. - 186 ст.

.        Боровик ВЛ. Математика: Посібник для факультативних занять у 8 класі / ВЛ. Боровик, ЛМ. Вивалънюк, М.М. Мурач і ін. - К.: Рад. школа, 1981. - 208 ст.

.        Гільберт Д. Основи геометрії. / Д. Гільберт - М.: ГИТТЛ, 1947.-207ст.

.        Глаголєв Н. Л. Нарисна геометрія. - 3-є вид. - М.: Гостехіздат, 1953. - 220 ст.

.        Глаголєв Н. Л. Проективна геометрія. / Н. Л. Глаголєв - М.: Вища школа, 1963. - 344 ст.

.        Гордон В. Курс нарисної геометрії. /В. Гордон, М. Семенцев-Огієвський -М.: ГИТТЛ, 1957. - 404 ст.

.        Гуревич Г.Б. Проективная геометрия. / Г.Б. Гуревич - М.: Гостехіздат, 1960. - 320 ст.

13.    Ефілов Н.В. Вища геометрія: / Н. В. Ефілов - М.: Физмагиз, 1961. -528 ст.

.        Каган В.Ф. Основи геометрії / В.Ф. Каган .- М.: ГИТТЛ., 1956. - 344 ст.

15.    Кісєльов А.П. Геометрія. 4.1. Планіметрія. Підручник для 6-8 кл. / А.П. Кісєльов - К.: Рад. шк., 1954. - 184 ст.

.        Кованцов M.І. Проективна геометрія. / M.І. Кованцов - К.: Вища школа, 1969. - 411 ст.

.        Колмогоров А.Н. Геометрія / А.Н. Колмогоров, А.Ф.Семенович , P.C. Черкасов - М.: Просвіта, 1979. -383 ст.

.        Костін В.І. Основи геометрії. / В.І. Костін - М.: Учпедгіз, 1946. - 304 ст.

.        Кутузов БЛ. Геометрыя / Б.Л Кутузов. - М.: Учпедгіз, 1955. - 296 с.

.        Нікулін М.А. Проективна геометрія / М.А. Нікулін. О.Т. Чуб, В.І. Коба - М.: «Радянська школа», 1962, -.357ст.