Материал: Дослідження системи аксіом евклідової геометрії

Отже, система аксіом Вейля евклідової геометрії є повною [4,c.54].

$ 3. Доведення несуперечливості геометрії Лобачевського

Моделлю геометрії Лобачевського називається поверхня або простір, в якому виконуються аксіоми геометрії Лобачевського.

Так як, всі реалізації геометрії Лобачевського ізоморфні, тому твердження доведене в одній моделі геометрії Лобачевського , буде вірно в будь-якій іншій моделі. Тим самим для проведення міркувань можна щоразу вибирати найбільш «зручну» модель. Наприклад, в конформних моделях Пуанкаре, кут між кривими дорівнює евклідовому куту.

У розділі 2 викладено основні факти планіметрії Лобачевського. Хоча значна кількість цих фактів суперечить нашим звичайним уявленням про властивості прямих, трикутників, чотирикутників, але всі вони виводились правильними логічними міркуваннями. Несуперечливість геометрії, системи аксіом, на якій вона побудована, містить гарантію, що при подальшому розвитку геометрії на основі даної аксіоматики не виникнуть суперечливі твердження. [16,c.239].

При створенні нової геометрії Лобачевський користувався відомими фактами геометрії Евкліда, які не є наслідками п'ятого постулату Евкліда, тобто всі твердження, які не залежать від змісту п'ятого постулату, є спільною частиною геометрії Евкліда і Лобачевського. Користуючись аксіоматикою Гільберта, якої не було за життя Лобачевського, можна сказати, що спільною частиною обох геометрій є сукупність всіх тверджень, які можна вивести з аксіом перших чотирьох груп системи аксіом Гільберта. Цю спільну частину називають абсолютною геометрією.

Для доведення несуперечливості геометрії Лобачевського, як і інших геометрій, треба побудувати реалізацію системи аксіом, яка складається з аксіом абсолютної геометрії і аксіоми паралельності Лобачевського.

Перша спроба побудови реалізації фактів площини Лобачевського належить італійському геометру Є. Бельгіїрамі (1868), який показав, що в евклідовому просторі є такі поверхні сталої від'ємної кривини - псевдосфери, внутрішня геометрія яких збігається з геометрією на площині Лобачевського (локально).

Німецький математик Ф. Клейн удосконалив реалізацію Бельтрамі (1870), і в математиці вона відома під назвою реалізація Бельтрамі - Клейна [10,c.157].

3.1 Реалізація Бельтрамі - Клейна

В евклідовій геометрії рівняння прямої в декартових прямокутних координатах виражається лінійно відносно змінних х і у:

 або            (3)

де - довжина перпендикуляра ОР з початку координат на дану пряму, α - кут між віссю абсцис і перпендикуляром ОР, х, у - координати довільної точки М на прямій (рис. 1.93).

У площині Лобачевського пряма зображується відносно декарто-вої прямокутної системи координат трансцендентним рівнянням

 (4)

де П(), П() , П() - функції Лобачевського відрізків  х, у.

Рис. 2

Щоб пряма Лобачевського зображувалась відносно х і у також лінійним рівнянням, Бельтрамі ввів нові  і  такі, що

де k - довільна стала.

Координати  і  називають бельтрамієвими координатами.

Тоді в бельтрамієвих координатах рівняння прямої Лобачевського має лінійну форму відносно  і :

 (6)

Рис. 2

Координати х і у точок прямої (5.3) в декартовых координатах змінюються від -∞ до ∞. Легко переконатись, що в бельтрамієвих координатах  і змінюються у цілком певних межах, які можна взяти від -1 до +1.

Отже, при переході від декартових координат х, у до бельтрамієвих  і  вся площина Евкліда відображається на частину площини Евкліда у вигляді круга, радіус якого можна взяти рівним одиниці. Цей круг назвали абсолютним кругом, а коло, що його обмежує, - абсолютом площини.

Тоді в цій реалізації основні поняття площини Лобачевського можна означити через поняття евклідової площини. Введемо позначення: Л-точка (точка площини Лобачевського), Л-пряма (пряма площини Лобачевського), Л-площина (площина Лобачевського). Дамо означення основних понять геометрії Лобачевського. Л-точками назвемо евклідові точки відкритого абсолютного круга. Точки абсолюта до Л-точок не належать, їх називають невласними точками, а точки, що лежать зовні абсолюта, - ідеальними. [5,c.74].

Л-прямими називають відкриті хорди абсолюта (без їх кінців); Л-площиною - відкритий абсолютний круг.

Відношення «належати», «лежати між» для Л-точок і Л-прямих означаються як відповідні евклідові відношення для точок і хорд, що лежать у середині абсолютного круга. Наприклад, Л-точка А належить Л-прямій ВС, якщо точка А є внутрішньою точкою хорди ВС абсолюта (рис. 3).

Л-фігура Ф конгруентна Л-фігурі Ф', якщо існує колінеарне автоморфне відносно абсолюта і абсолютного круга перетворення площини, при якому образом Л-фігури Ф є Л-фігура Ф' [19,c.94].

При означенні основних понять геометрії Лобачевського через основні поняття геометрії Евкліда легко переконатись у виконанні всіх аксіом геометрії Лобачевського.

Аксіома 1.2 стверджує, що кожні дві різні точки визначають одну і тільки одну пряму. У даній реалізації ця аксіома виконується, оскільки через дві різні внутрішні точки (А і D) абсолютного круга можна провести одну і тільки одну хорду (АD), яка є єдиною Л-прямою АD, що проходить через Л-точки А і D.

За аксіомою 1.3 на кожній прямій існує принаймні дві точки і існують три точки, які н е лежать на одній прямій. В евклідовому розумінні на відкритій хорді абсолюта лежить скільки завгодно внутрішніх точок абсолютного круга і існують три точки всередині абсолютного круга, які не лежать на одній прямій.

У розумінні понять геометрії Лобачевського це означає, що на кожній Л-прямій існують принаймні дві Латочки і існують три Л-точки, які не належать одній Л-прямій.

Оскільки відношення «лежати між» для точок прямої таке ж, як і для точок хорди абсолютного круга, а це відношення має такий самий зміст і в розумінні Лобачевського, то вимоги аксіом порядку виконуються в даній реалізації для Л-точок і Л-прямих. [14,c.136].

У розширеній евклідовій площині завжди можна вибрати таку автоморфну колінеацію, що абсолют (коло) переходить в абсолют, внутрішні точки даного круга (абсолютного круга) переходять у внутрішні точки цього ж круга.

Аксіому 3.1 конгруентності, наприклад, у даній реалізації можна сформулювати так:

Якщо А, В - дві внутрішні точки абсолютного круга на хорді α і А' - внутрішня точка абсолютного круга на тій самій або на іншій хорді α', то на хорді α' з даного боку від точки А" існує і тільки одна така точка В', що відрізок А'В' є образом відрізка АВ у колінеарному перетворенні, автоморфному відносно абсолюта та абсолютного круга.

Вибравши таке колінеарне перетворення, що образом точки В хорди α буде точка В' хорди α' по заданий бік від точки  та врахувавши означення конгруентності в даній реалізації, переконуємося, що аксіома 3.1 виконується.

Аналогічно переконуємося, що інші аксіоми конгруентності також виконуються на абсолютному крузі для Л-точок, Л-відрізків та Л-кутів.

Для перевірки аксіом неперервності в реалізації Бельтрамі - Клейна розглядається принцип Дедекінда, еквівалентний аксіомам Архімеда і Кантора відносно аксіом перших трьох груп. Справедливість принципу Дедекінда у даній реалізації випливає з того, що він для евклідового відкритого відрізка (хорди абсолюта) справджується.

Отже, у реалізації Бельтрамі - Клейна справджується абсолютна геометрія. Залишається перевірити, чи виконується аксіома паралельності Лобачевського. [9,c.200].

Візьмемо на абсолютному крузі довільну хорду ВС і не належну їй довільну точку D (рис. 1.94). У розумінні евклідових понять через точку D можна провести безліч хорд, які перетинають хорду ВС = α (наприклад, хорда АD), і безліч хорд, які не перетинають хорду а (наприклад, хорди) [16,c.181].

У розумінні Лобачевського звідси маємо, що через Л-точку D можна провести скільки завгодно Л-прямих, які перетинають Л-пряму α, і не менше двох Л-прямих, які не перетинають Л-пряму α =ВС. Хорди DВ = i DC= які проходять через точки В і С абсолюта, що не належать до Л-точок, є граничними серед Л-прямих, які проходять через Л-точку D і не перетинають Л-пряму α = ВС. Отже, Л-прямі  відіграють роль паралельних прямій α.

Таким чином, у реалізації Бельтрамі - Клейна виконуються всі аксіоми планіметрії Лобачевського. Тому планіметрія Лобачевсько¬го несуперечлива настільки, наскільки несуперечлива планіметрія Евкліда.
Відзначимо, що в реалізації Бельтрамі - Клейна одночасно з дове¬денням несуперечливості геометрії Лобачевського доведено і незалежність п'ятого постулату Евкліда [12,c.460].

3.2    Реалізація Пуанкаре

Ідея реалізації геометрій, усвідомлення їх реалізацій на множинах різних об'єктів, особливо після завершення аксіоматичної побудови евклідової геометрії, набула широкого розвитку. Наприкінці XIX ст. і на початку XX ст. було створено цілий ряд різноманітних реалізацій аксіомики як евклідової, так і неевклідової геометрії. [11,c.66].

Декілька реалізацій аксіоматики планіметрії Лобачевського запропонував відомий французький математик і філософ А. Пуанкаре (1854-1912). Розглянемо одну з них, об'єктами якої є об'єкти евклідової півплощини.

Рис. 4

Нехай довільна горизонтальна пряма т розбиває площину Евкліда на дві півплощини. Одну з них назвемо верхньою (над прямою m).

Введемо означення основних понять планіметрії Лобачевського. Л-точками назвемо евклідові точки верхньої півплощини. Точки прямої m не належать до Л-точок (рис. 4).

Л-прямими назвемо евклідові півкола, що лежать у верхній півплощині і ортогональні до прямої m (тобто мають центр на прямій m),а також евклідові півпрямі верхньої півплощини, перпендикулярні до прямої m. На рис. 3, наприклад, це Л-пряма α і Л-пряма n.

Відношення належності і порядку для Л-точок і Л-прямих такі ж, як в евклідовому розумінні для точок, півкіл і променів верхньої півплощини.

Переконаємось, що в даній реалізації виконуються аксіоми абсолютної геометрії (за Гільбертом).

Нехай а - півколо у верхній півплощині, точка А належить півколу а. Тоді будемо говорити, що Л-точка А лежить на Л-прямій а. При такій домовленості легко перевірити виконання планіметричних аксіом першої групи - аксіом належності 1.1-1.3.

Справді, аксіома 1.1 виконується, оскільки через дві різні точки верхньої півплощини завжди можна провести півколо а, ортогональне з прямою т.Оскільки через дві точки верхньої півплощини можна провести не більше одного півкола, ортогонального прямій /п, то аксіома 1.2 справедлива. Виконання аксіоми 1.3 випливає з того, що на евклідовому півколі а верхньої півплощини існує скільки завгодно точок, як і скільки завгодно точок, які не лежать на півколі а.

Виконання аксіом порядку 2.1-2.3 випливає з того, що порядок точок на Л-прямій а збігається з порядком точок на евклідовому півколі а, яке зображує «Л-пряму у верхній півплощині (рис. 4).

Перевірка справедливості аксіоми 2.4 (Паша) проілюстрована на рис. 4: Л-пряма α, перетинаючи Л-сторону АВ в Л-точці М, перетинає ще одну Л-сторону ВС в Л-точці N Л-трикутника ABC і не може мати спільних точок з Л-стороною ВС (доведення цього Факту для евклідового прямолінійного трикутника ABC опускаємо).