Документ: Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных. Дементьева А.М., Артыщенко С.В, страницы 16-20

Ax + B

Получили табличный интеграл (см. табличную																															формулу 11'),																		где в роли
переменной				интегрирования										выражение													(x + 2)											и			a2					= 6					(a =				).
переменной				интегрирования										выражение													(x + 2)											и			a2					= 6					(a =			6	).
Окончательно получаем I =											1	1				arctg				x +				2		+ C =						1					arctg						x +					2	+ C .
Окончательно получаем I =											1					arctg										+ C =											arctg												+ C .
											2	6										6					dx			2			6														6
		Пример 1.15. Вычислить интеграл ∫																									dx							.
		Пример 1.15. Вычислить интеграл ∫																					3x2				+ 5x − 2							.
Выделим полный квадрат в квадратном трехчлене, стоящем в знаменателе:
								5		2										5						25			25						2														5		2		49
3x	2	+ 5x − 2				2	+	5	x −	2						2	+ 2			5		x +				25		−	25				−		2														5			−	49			.
3x		+ 5x − 2	= 3 x				+		x −	=		3 x					+ 2					x +						−					−							= 3					x +							−				.
								3		3										6						36			36 3																				6				36
								3		3										6						36			36 3																				6				36
Подставим полученное выражение в исходный интеграл. Тогда
																																												5
								dx											dx										1 ∫							d x +								6
				∫				dx			= ∫								dx									=																6					=
				∫	3x		2				= ∫								2						49			=												5		2					49		=
					3x		+ 5x − 2												5			−			49				3											5					−		49
													3		x +							−											x +												−
																			6						36															6							36
																			6						36															6							36
		=		Получили табличный интеграл (см.(12)), в котором																																																=
				Получили табличный интеграл (см.(12)), в котором
				роль переменной играет сумма (x + 5) и a																																	2		=		49									7
				роль переменной играет сумма (x + 5) и a																																			=		36					a =				6
																																									36									6
																	5		7														1
																	5		7														1
									= 1	3 ln		x +					6	−	6		+ C =						1 ln			x − 3									+ C .
									= 1	3 ln							5		7		+ C =						1 ln			x + 2									+ C .
									3	7			x +				5	+	7								7			x + 2
													x +				6	+	6

II. Рассмотрим интеграл более общего вида I2 = ∫ax2 + bx + c dx .

Произведем тождественное преобразование подынтегральной функции, выделив в числителе производную знаменателя. Так как производная

знаменателя равна (ax2 + bx + c)′ = 2ax + b , то преобразуем подынтегральную функцию, вынося A за интеграл и создавая в числителе выражение (2ax + b).

Для этого сначала разделим и умножим дробь на 2a, а затем добавим к 2ax число b, и, отнимем это же число в числителе дроби:

x

B

2ax +

2aB

I2 =

Ax + B

dx = A

+ A

dx =

A

dx =

∫ax2 + bx + c

∫ax2 + bx

+ c

2a ∫ax2 + bx + c

A

(2ax + b)+

2aB

− b

=

∫

A

dx .

2a

ax

2

+ bx + c

16

Последний интеграл представим в виде суммы двух интегралов. Разделим числитель почленно на знаменатель:

A

(2ax + b)

A

2aB

dx

I2

=

dx +

− b

=

2a ∫ax2 + bx + c

2a

A

+ c

∫ax2 + bx

A

(2ax + b)

Ab

dx

=

∫

dx

+ B

−

∫

.

2a

ax

2

+ bx

+ c

ax

2

+ bx + c

2a

Второй интеграл есть интеграл I1, вычислять который мы умеем.

В первом интеграле сделаем замену переменной t = ax2 + bx + c , dt = (2ax + b)dx . Следовательно,

∫

(2ax + b)

dx = ∫dt

= ln

t

+ C = ln

ax2 + bx + c

+ C .

2

ax + bx + c

t

Окончательно получаем:

A

2

Ab

I2

=

ln

ax

+ bx + c

+ B −

I1 .

2a

Пример 1.16. Вычислить интеграл ∫

x + 3

dx .

x2

− 2x −5

Применим указанный прием. Для этого найдем сначала производную

знаменателя (x2 − 2x − 5)′

= 2x − 2 .

Выделим полученную производную в числителе подынтегральной функции. Для этого умножим числитель и знаменатель дроби на 2, а затем отнимем и прибавим в числителе 2. Имеем

I = ∫

x + 3

dx =

1 ∫

2x + 6

dx =

1 ∫

2x

2− 2 + 2 + 6dx =

x

2

− 2x − 5

x

2

− 2x − 5

x

2

− 2x − 5

=

1

∫

2x − 2

dx + 4∫

dx

.

2

x

2

x

2

− 2x − 5

Далее в первом интеграле сделаем замену t = x2 − 2x − 5, dt = (2x − 2)dx , а во втором интеграле выделим полный квадрат в знаменателе. Получим:

	1		dt				dx					1								1				x −1−
I =		∫		+ 4∫							=				ln		t	+ 4				ln				6	+C =
																										6
	2		t			(x −1)			2	−6		2												x −1+
									2											2 6						6
																				2 6						6
					1 ln										2				x −1−
				=			x2	− 2x −5					+					ln					6		+C .
																							6

					2										6				x −1+			6
					2										6				x −1+			6
Пример 1.17. Вычислить интеграл ∫																3x − 2					dx .
Пример 1.17. Вычислить интеграл ∫														5x2 −3x + 2							dx .

В подынтегральной дроби в знаменателе квадратный трехчлен, а в числителе многочлен первой степени. Находим производную знаменателя:

17

(5x2 −3x + 2)′												=10x −3							и		выделяем														полученное																выражение									в			числителе.
Вынесем из числителя 3 за знак интеграла, умножим и разделим всю дробь
на 10, а затем в числителе отнимем и прибавим 3:
																																		2																	10x −					20
						I = ∫								3x − 2						dx = 3∫													x − 3							dx =						3					10x −					3	−3 +3
																																																	∫													dx =
												5x2 −3x + 2																5x2 −3x + 2																	10				∫				5x2 −3x + 2									dx =
				3					10x −3												3						3 −						20										3							10x −3										11									dx
	=			3	∫				10x −3								dx +				3		∫				3 −						3					dx =					3		∫					10x −3							dx −			11			∫						dx			.
	=		10		∫		5x			2	−3x + 2						dx +			10			∫		5x		2		−			3x		+ 2				dx =				10			∫		5x				2	−3x				+ 2	dx −			10			∫		5x	2		−3x + 2				.
			10				5x				−3x + 2									10					5x				−			3x		+ 2								10					5x					−3x				+ 2				10					5x			−3x + 2
В первом интеграле сделаем замену t = 5x2																																													− 3x + 2,											dt = (10x −3)dx ,													а во
втором интеграле выделим полный квадрат в знаменателе:
																		3			2																	3					9									9						2					3				2				31
																																																																			2
	2														2																2
5x		−3x + 2 = 5 x														−			x +					= 5 x									−	2					x +									−						+					x −										+			.
5x		−3x + 2 = 5 x														−			x +					= 5 x									−	2					x +									−						+		= 5			x −										+			.
																	5				5															10							100							100						5								10						100
																	5				5															10							100							100						5								10						100
Таким образом																																																													3
									3				dt			11								dx														3								11						10						x −			3
																																																										x −
				I	=						∫			−				∫																	=				ln		t			−											arctg					10			+C =
																																																												10
								10					t			50										2											10									50
																							3			2					31																					31							31
																							3								31																					31							31
																			x		−						+
																			x		−						+			100																											100
																						10								100																											100

=103 ln 5x2 −3x + 2 − 51131 arctg 10x31−3 +C . III. Рассмотрим интеграл

dx

∫ax2 +bx + c .

Спомощью выделения полного квадрата в подкоренном выражении этот интеграл сводится в зависимости от знака a, к табличным интегралам (см. формулы 13' и 14) вида

dt

при а > 0 или

dt

при а < 0.

∫

t 2 ± k 2

k 2 −t 2

Пример 1.18. Вычислить интеграл ∫

dx

.

2x2

+8x + 20

В знаменателе подынтегральной функции стоит корень из квадратного трехчлена. Поэтому преобразуем интеграл, выделив полный квадрат в подкоренном выражении:

I = ∫

dx

= ∫

dx

=

1

∫

dx

=

1

∫

d(x + 2)

.

2(x

2

+ 4x +10)

2

(x + 2)

2

2x

+8x + 20

+ 6

(x + 2)

+ 6

18

	Используя табличную формулу 14 (вместо x подставим (x + 2) и																										a =					),
																											a =			6		),
	имеем							1
																					+C .
							I =			ln	x + 2 +			(x + 2)2 + 6

								2
								2									dx
	Пример 1.19. Вычислить интеграл ∫																dx			.

													2		−3x − 4x				2
													2		−3x − 4x
	Выделяем полный квадрат в подкоренном выражении.
						3		1								3		9				9		1			3	2			41
																												2
		2		2								2
2	−3x − 4x		= −4 x		+		x −		= −4 x				+ 2				x +		−				−			x +			−
2	−3x − 4x		= −4 x		+		x −		= −4 x				+ 2				x +		−				−		= − 4	x +			−
						4		2								8		64 64 2									8				64
						4		2								8		64 64 2									8				64

Подставим теперь полученное выражение в исходный интеграл. Из отрицательного числа (-4) квадратный корень извлекается, поэтому, в наших

преобразованиях будем выносить из-под знака корня 4 = 2, а минус внесем в скобки. Получаем

I = ∫	dx				= ∫							dx							=	1	∫				dx						.
																				2
	2 − 3x	− 4x	2										3				41					41						3	2
	2 − 3x	− 4x				−						+	3	2			41					41					+	3
						−	4			x		+			−										− x		+
													8				64					64						8
													8				64					64						8
Последний интеграл является табличным (см. формулу 13') ( a																										2	=	41		,			3
Последний интеграл является табличным (см. формулу 13') ( a																											=	64		,		x +	8
в роли x), поэтому																												64					8
в роли x), поэтому										3
								x		3
		I =		1 arcsin				x	+ 8			+C =				1 arcsin				8x		+		3 +C .
		I =		1 arcsin								+C =				1 arcsin				8x		+		3 +C .
				2						41						2						41
IV. Интеграл										64
IV. Интеграл
								∫				Ax + B						dx

											ax2		+ bx + c
вычисляется с помощью таких же преобразований, как ранее при вычислении I2 .
Пример 1.20. Вычислить интеграл ∫																	x + 3						.

																x2 − 2x − 5

Данный интеграл отличается от интеграла в примере 1.15 только наличием радикала в знаменателе. Проведем те же преобразования, что и в примере 1.15, т.е. сначала выделим в числителе производную подкоренного выражения равную (2x − 2), а затем разобьем данный интеграл на сумму двух интегралов:

19

I = ∫

x + 3

dx = 1 ∫

2x + 6

dx =

1 ∫

2x −

2 + 2 + 6dx =

x

2

x

2

− 2x − 5

2

− 2x − 5

2

x − 2x − 5

= 1 ∫

2x − 2

dx + 4∫

dx

.

x

2

− 5

x

2

− 2x − 5

2

− 2x

Далее в первом интеграле сделаем замену t = x2

− 2x − 5, dt = (2x − 2)dx , а во

втором интеграле выделим полный квадрат в подкоренном выражении. Получим

1

dt

dx

+ C =

I =

∫

+ 4∫

=

+ 4ln

x −1 +

(x −1)2 − 6

t

2

t

(x −1)

− 6

+

+ C .

=

+ 4ln

x −1

(x −1)2 − 6

x2

− 2x − 5

Пример 1.21. Вычислить интеграл ∫

2x + 6

dx .

2 −

3x − 4x

2

Выделим производную подкоренного выражения в числителе:

(2 − 3x − 4x2 )′ = −8x − 3 .

I = ∫

2x + 6

dx = 2∫

x + 3

dx =

2

1

∫−8x − 3 + 3 − 242

dx =

2 − 3x − 4x

2

2 − 3x − 4x

2

−8

2 − 3x − 4x

= −

1 ∫

−8x − 3 − 21

dx = − 1 ∫

−8x − 3

dx + 21

∫

dx

dx .

2

2 − 3x − 4x

2

2 − 3x − 4x

2

4

2 − 3x − 4x

4

Получили сумму двух интегралов. В

первом интеграле

сделаем

замену:

t = 2 − 3x − 4x2 ;

dt = (−8x − 3)dx ,

во

втором

интеграле

выделим

полный

квадрат в знаменателе (см.пример 1.18).

Таким образом, будем иметь

I = −

1

∫

dt

+

21∫

dx

= −

1

+ 21∫

dx

=

t

4

2

t

41

3

2

41

3

2

4

+

8

4

− x

− x +

64

8

64

8

= −1

21arcsin

x

+

3

+ C = −1

+ 21arcsin

8x + 3

+

8

+ C .

2 − 3x − 4x2

2

8

41

2

8

41

8

1.5. Интегрирование по частям

Пусть u(x) и v(x) – две дифференцируемые функции. Как известно, дифференциал произведения uv вычисляется по формуле d(uv)= udv + vdu .

20

Материал: Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных. Дементьева А.М., Артыщенко С.В

Смотрите также: