Документ: Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных. Дементьева А.М., Артыщенко С.В, страницы 146-150

(3.71), можно получить при перемещении точки по пространственной кривой L . Если перемещение по L происходит под действием вектор-силы

F = F(x, y, z), проекции которой на Ox , Oy , Oz соответственно равны

X (x, y, z), Y (x, y, z) и

Z(x, y, z), то совершаемая работа вычисляется

по

формуле

A = ∫X (x, y, z)dx +Y (x, y, z)dy + Z(x, y, z)dz .

(3.87)

L

Задача. Найти работу, совершаемую

z

силой тяжести

при

перемещении

точки, имеющей массу, равную m ,

по

линии

L ,

если начальная

точка

M

M1

имеет аппликату z1, а конечная

M 2

– аппликату z2 , рис. 3.60.

M2

Так

как

сила

тяжести

y

направлена противоположно Oz , то

ее проекции на Ox и Oy равны

Рис. 3.60

нулю,

т.е.

X (x, y, z)= 0

и

x

Y (x, y, z)= 0 .

Проекция

на

Oz

равна

по модулю весу

точки

P = mg ,

но

отрицательна, т.е. Z(x, y, z)= −mg . По формуле (3.87)

A =

∫

0dx + 0dy − mgdz = −mg ∫dz .

M1M2

При любом параметрическом задании линии L : x = x(t),

y = y(t),

z = z(t), где

t1 соответствует точке M1, а t2

– точке M 2 , по формуле (3.85) имеем

A = −mgt∫2 z′(t)dt = −mg z(t)

t2 = −mg(z2 − z1 ),

t

t1

1

т.к.

z(t2 )= z2 ,

z(t1 )= z1 .

Т.е. A = mg(z1 − z2 ) и, следовательно, работа силы

тяжести не зависит от вида кривой L , а зависит лишь от перепада высот h ( z1 − z2 = h ), – получили известную формулу A = mgh .

3.4.4. Формула Грина

Рассмотрим на плоскости xOy кусочно гладкую замкнутую кривую L ,

являющуюся границей правильной области D . Пусть функции P(x, y) и Q(x,y) непрерывны в D и на L и имеют в замыкании области D

непрерывные частные производные ∂∂Py и ∂∂Qx . Тогда справедлива формула

146

	P(x, y)dx + Q(x, y)dy =		∂Q	− ∂P		(3.88)
∫					dxdy .
		∫∫	∂x	∂y
L		D

Эта формула связывает криволинейный интеграл II рода по замкнутому контуру с двойным интегралом по области, ограниченной этим контуром. Формула (3.88) называется формулой Грина. Для ее доказательства достаточно показать, что

	P(x, y)dx =		−	∂P			Q(x, y)dx =		∂Qdxdy ,
∫					dxdy и	∫		∫∫
		∫∫		∂y					∂x
L		D				L		D

а затем

сложить

левые

и

правые

y

M

части этих равенств.

Докажем одно

A

y = f2 (x)

из этих равенств, например

D

B

P(x, y)dx =

∂P

∫

∫∫

−

dxdy .

∂y

L

D

y = f1(x)

Рассмотрим

правую

часть

этого

K

0

a

равенства.

Сделаем

чертеж

(рис.

b

x

3.61).

Так как D –

Рис. 3.61

правильная область, то она зажата между прямыми

x = a , x = b . Кривая

AMB –

график некоторой функции y = f2 (x), кривая

AKB

–

график некоторой

функции

y = f1(x) при

x [a,b].

Перейдем

в

двойном

интеграле

∂P

к

повторному:

∫∫−

dxdy

D

∂y

∂P

b f2 (x)

∂P

∫

∫∫−

∂y

dxdy = − ∫

dy dx .

D

a

f (x) ∂y

1

Во внутреннем интеграле x фиксировано, а y – переменная интегрирования.

Поэтому		f2 (x)∂P(x,		y)		f2 (x)	= P(x, f2	(x))− P(x,	f1(x)).
		f2 (x)∂P(x,		y)		f2 (x)
		f ∫(x) ∂y		dy = P(x, y)		f1(x)
		1
Подставим полученное выражение в повторный интеграл, тогда
	∂P		b					b	b	(x))dx .
∫∫−	∂y	dxdy = −	∫(P(x, f2		(x))− P(x, f1(x)))dx =– ∫P(x, f2				(x))dx + ∫P(x, f1	(x))dx .
D	∂y		a					a	a

Но по формуле (3.81)

– ∫b P(x, f2 (x))dx = ∫P(x, y)dx и		∫b P(x, f1(x))dx = ∫P(x, y)dx ,
a	BMA	a	AKB

поэтому

147

	−	∂P	∫ P(x, y)dx +	∫ P(x, y)dx =	∫P(x, y)dx .
∫∫	−	dxdy =	∫ P(x, y)dx +	∫ P(x, y)dx =	∫P(x, y)dx .
D		∂y	BMA	AKB	BMAKB

Замкнутый контур BMAKB –это контур L , обходимый против часовой

	−	∂P
стрелки, следовательно, ∫∫	−	dxdy = ∫P(x, y)dx , что и требовалось
D		∂v	L

доказать.

Аналогично, используя переход в двойном интеграле к повторному, у которого х – переменная интегрирования во внутреннем интеграле,

доказывается что ∫Q(x, y)dy = ∫∫

∂Q dxdy , т. е. формула Грина доказана.

L

D

∂x

Формулу Грина можно использовать для вычисления криволинейных

интегралов.

y

Пример

3.25.

Вычислить

B

3

∫sin3 xdx + xydy ,

где

L

–

замкнутая

L

ломаная ABCA: A(1,1), B(3,3), C(3,0).

1

A

C

Сделаем чертеж (рис. 3.62).

Если вычислять

криволинейный

0

1

x

3

интеграл, переходя к

определенному, то

Рис. 3.62

придется интеграл по замкнутому контуру представить в виде суммы трех криволинейных интегралов по AB , по BC и по CA . Воспользуемся формулой Грина (3.88). Замкнутый контур – граница ∆ABC (области D ),

P(x, y)= sin3 x , Q(x, y)= xy . Найдем частные производные ∂P и ∂Q : ∂P = 0

∂y ∂x ∂y

и ∂∂Qx = y . Функции sin3 x , xy , 0 и y непрерывны на всей плоскости xOy , и

область D – правильная, поэтому формула Грина (3.88) справедлива. В формуле Грина обход по контуру L совершается против часовой стрелки, а ломаная ABCA обходится по часовой. Поэтому по формуле (3.88)

∫ sin3 xdx + xydy = −∫∫(y − 0)dxdy .

ABCA D

Вычислим двойной интеграл					∫∫ydxdy, переходя к					повторному.
					D
Запишем уравнения прямых AB и					AC ,			воспользовавшись		уравнением
прямой вида
	y − y1			=	x − x1				.
	y	2	− y		x	2	− x
		2	1			2		1

148

Тогда для AB получим ( A(1,1),

B(3,3)):

y −1

=

x −1

или

y = x . Для AC

3 −1

y −1

x −1

получим ( A(1,1), C(3,0)):

=

,

y −1

=

x −1

или

y = −

x

+ 3

. Итак,

0 −1

3 −1

−1

2

2 2

уравнения AB : y = x , AC :

y = −

x

+ 3 .

2

Область D опишется системой неравенств

1≤ x ≤ 3,

x

3

≤ y ≤ x,

−

+

2

поэтому

3

2

x

3

2

3 x

1

x

3

y

2

∫∫ydxdy = ∫

∫ydy dx =

∫

2

x

3 dx =

∫

2

x

−

2

+

2

dx =

D

1

x 3

1

−

+

1

−

2

+2

2

= 1

∫3 1 (3x2 + 6x

− 9)dx =

1 (x3 +

3x2 −

9x)

3 =

1 ((27 −1)+ 3(9 −1)− 9(3 −1))= 4 .

2

1

4

8

1

8

Теперь, с учетом равенства

∫

sin3 xdx + xydy = −∫∫ ydxdy , имеем

ABCA

D

∫sin3 xdx + xydy = −4 .

Замечание.

ABCA

D не является правильной, но может быть

Если область

разбита гладкими линиями на конечное число правильных областей, то формула Грина тоже верна. Поясним это для случая, когда D разбивается на

две правильные области D1 и D2			(рис. 3.63, 3.64)
	y			y	C		А
	y			y

						D1
						D1
		D				D2
		L			B	D2
					B		L
							L
							C1
	0	x		0			x
		Рис. 3.63				Рис. 3.64

Рассмотрим интеграл по замкнутому контуру:

149

∫P(x, y)dx + Q(x, y)dy = ∫P(x, y)dx + Q(x, y)dy + ∫P(x, y)dx + Q(x, y)dy .

L ACB BC1A

Добавим к первому слагаемому криволинейный интеграл по BA, а ко второму слагаемому – криволинейный интеграл по AB. Это не изменит всей суммы, т.к. к ней добавлен ноль.

Теперь

∫P(x, y)dx + Q(x, y)dy = ∫P(x, y)dx + Q(x, y)dy + ∫P(x, y)dx + Q(x, y)dy ,

L				L1	L2
где L1 и L2 –			границы правильных областей D1		и D2 . Если функции P(x, y),
Q(x, y),	∂Q	и	∂P	непрерывны в замыкании области D , то оба слагаемых в
	∂x		∂y

правой части последнего равенства можно преобразовать по формуле Грина:

P(x, y)dx + Q(x, y)dy =

∂Q

−

∂P

∂Q

−

∂P

∫

dxdy +

dxdy .

∫∫

∂x

∫∫

∂x

∂y

L

D

∂y

D

1

2

∂Q

−

∂P

Объединив сумму полученных двойных интегралов в один ∫∫

∂x

dxdy ,

получаем формулу Грина для области D .

D

∂y

3.4.5. Независимость криволинейного интеграла

от пути интегрирования

Пусть функции P(x, y) и Q(x, y) непрерывны в области D . Возьмем в этой области две точки A и B и соединим их линией L ( L D ). Вычислим ∫P(x, y)dx + Q(x, y)dy . Результат, вообще говоря, зависит от линии L .

L

Выясним, какими должны быть функции P(x, y) и Q(x, y), чтобы

криволинейный интеграл не зависел от пути интегрирования (т.е. от линии L ), а зависел лишь от начальной и конечной точек ( A и B ).

Сделаем чертеж, на котором соединим точки A и B двумя произвольными линиями L1 и L2 ( AKB и AMB ), рис. 3.65.

L1

KВD

А L2 М

Рис. 3.65

150

Материал: Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных. Дементьева А.М., Артыщенко С.В

Смотрите также: