Материал: Интегральные преобразования Фурье и Лапласа и их приложения к дифференциальным уравнениям. Теория вероятностей и элементы математической статистики. Бырдин А.П., Заварзин Н.В

А.П. Бырдин н.В. Заварзин а.А. Сидоренко л.П. Цуканова

ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ И ЛАПЛАСА И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ К ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ

Учебное пособие

Воронеж 2008

ГОУВПО “Воронежский

государственный технический университет”

А.П. Бырдин н.В. Заварзин а.А. Сидоренко л.П. Цуканова

ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ И ЛАПЛАСА И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ К ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ

Утверждено Редакционно-издательским советом

университета в качестве учебного пособия

Воронеж 2008

УДК 517.2

Интегральные преобразования Фурье и Лапласа и их приложения их к дифференциальным уравнениям. Теория вероятностей и элементы математической статистики: учеб. пособие / А.П. Бырдин, Н.В. Заварзин, А.А. Сидоренко,

Л.П. Цуканова. Воронеж: ГОУВПО “Воронежский государственный технический университет”, 2008. 202 с.

В учебном пособии излагаются элементы операционного исчисления, теории вероятностей и математической статистики. Теоретический материал иллюстрируется большим количеством примеров.

Издание соответствует требованиям Государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования по направлениям 160200 «Авиастроение» и 140100 «Теплоэнергетика», специальностям 160302 «Ракетные двигатели» и 140104 «Промышленная теплоэнергетика» дисциплине “Высшая математика”.

Предназначено для студентов очной формы обучения.

Учебное пособие подготовлено в электронном виде в текстовом редакторе MS WORD 97.0 и содержится в файле «ТеорВероятМатематика.doc».

Табл. 1. Ил. 21. Библиогр.: 5 назв.

Научный редактор д-р физ.-мат. наук, проф.

В.Д. Репников

Рецензенты: кафедра математического моделирования Воронежский государственный университет (зав. кафедрой д-р физ.-мат. наук, проф. В.А. Костин);

канд. физ.-мат. наук, доц. В.Н. Потапов

• Бырдин А.П., Заварзин Н.В.,

Сидоренко А.А., Цуканова Л.П., 2008

• Оформление. ГОУВПО “Воронежский государственный технический университет”, 2008

Введение

Данное пособие представляет собой обработку курса лекций, которые авторы на протяжении ряда лет читали студентам специальностей “Промышленная теплоэнергетика”, “Ракетные двигатели”, “Радиотехника”, “Машины и технология обработки металлов давлением” Воронежского государственного технического университета. Пособие написано в соответствии с программой курса “Высшая математика” и может быть использовано как студентами специальностей с повышенной математической подготовкой, так и студентами других специальностей.

При написании учебного пособия авторы стремились подчеркнуть прикладные аспекты высшей математики, развивающейся более трех столетий на плодотворной почве естественных и технических наук.

Практически во всех разделах пособия приведены приложения вводимых математических понятий к задачам геометрии, механики, физики.

По каждому разделу приведены примеры решения задач, а также многочисленные задачи для контроля усвоения материала. Ко всем рекомендуемым для самостоятельного решения задачам приведены ответы. По каждому изучаемому разделу приведены также индивидуальные задания для студентов. Поэтому представленное учебное пособие может быть использовано преподавателями для проведения семинарских занятий. Пособие содержит пять глав, включая индивидуальные задания и приложения. В приложении приведен материал, который может быть использован при решении задач по теории вероятностей и математической статистике.

1. Ортогональные системы функций и обобщенные ряды фурье. Интегралы фурье

1.1. Исторические замечания

В аналитической геометрии и в механике для описания свойств линий, поверхностей и механических величин используются векторы – направленные отрезки в трехмерном пространстве. Потребности развития и геометрии, и механики заставляют обращаться к пространствам большей размерности и даже к бесконечномерным пространствам.

Впервые в математике четырехмерное пространство появляется в работе 1827 года “Барицентрическое исчисление” немецкого геометра Августа Фердинанда Мёбиуса (1790-1868 г.). Но саму идею использования времени как четвертого измерения высказал великий французский математик, механик и философ Кан ле Рон Даламбер (1717-1783 г.).

Пространство n измерений впервые отчетливо появились в математике лишь в 1843 г. в работе англичанина Артура Кэли (1821-1895 г.), а год спустя появляется первая монография о многомерной геометрии Германа Грассмана (1809-1877 г.).

Современная математика и физика не мыслима без так называемых функциональных пространств, которые ввел в рассмотрение французский математик Морис Реке Фреше (1878-1973 г.), являвшийся членом Московского математического общества. Но лишь Давид Гильберт (1862-1943 г.) впервые с 1912 года начал рассматривать функции как векторы бесконечномерного линейного пространства, аналогичного по свойствам евклидову пространству.

1.2. Гильбертово пространство. Ряды Фурье в гильбертовом пространстве

По Гильберту понятие функции есть обобщение понятия вектора в n-мерном пространстве. Разобьем отрезок на n отрезков длины , как показано на рисунке, и на каждом из них выберем точку . Тогда функции f(x) можно сопоставить n-мерный вектор

x

Рис. 1

где – базисные векторы n-мерного пространства. Вектор представляет собой грубое приближение к f(x). Но чем больше n и чем меньше , тем ближе соответствие между и f (x). Векторы образуют n-мерное пространство, в котором вводится обычное скалярное произведение

При n   размерность пространства растет, а скалярное произведение принимает вид

(1)

В общем случае скалярное произведение в таких пространствах определяется формулой

(2)

где функцию h(x), называемую весовой функцией или весом, будем считать непрерывной и положительной в интервале .

Введенное по формуле (2) скалярное произведение порождает норму функции

(3)

и аналогичное выражение с h(x) = 1 для скалярного произведения в форме (1).

Система функций

( для любого k) называется ортонормированной на с весом h(x) , если имеет место равенство

(4)

где – символ Кронекера. При h(x) = 1 система функций (k = 1,2,….) называется ортонормированной.

Например, функции Бесселя и ортогональны с весом h(x) = x на , если   - корни уравнения , а система функций где – полиномы Лежандра, является ортонормированной на отрезке .

Оказывается, что и производные полиномов Лежандра порядка k =1, 2,…… также ортогональны на , но уже с весом:

, (n  m).

Гильбертово пространство является обобщением евклидова пространства и включает его как частный случай. В общем случае гильбертово пространство бесконечномерно. Его элементы представляют собой определенные на функции, вообще говоря комплекснозначные, и интегрируемые с квадратом.

В гильбертовом пространстве по определению вводится скалярное произведение векторов, через которое выражается длина векторов и углы между ними.

Линейное пространство H (с умножением на вещественные числа) называется (вещественным) гильбертовым пространством, если:

1. указано правило, сопоставляющее каждой паре векторов f и g пространства H вещественное число, называемое скалярным произведением (f, g);

2. это правило удовлетворяет условиям:

   1. – переместительный закон;

   2. – распределительный закон;

   3. для любого вещественного числа ;

   4. при f  0 и при f =0. Нормой (длины) вектора f называется число

(5)

Углом между ненулевыми элементами f и g вещественного гильбертова пространства называется угол , заключенный между 0 и такой, что

Пример 1. В n-мерном пространстве , элементами которого являются вещественные числовые комплексы скалярное произведение элементов x и y вводится по формуле