Материал: Интегральные преобразования Фурье и Лапласа и их приложения к дифференциальным уравнениям. Теория вероятностей и элементы математической статистики. Бырдин А.П., Заварзин Н.В

Конечномерное вещественное гильбертово пространство называют обычно евклидовым пространством.

Пример 2. Пространство . Это пространство функций f(x) интегрируемых с квадратом на . Скалярное произведение в пространстве вводится по формуле (1), а норма по формуле (3) при h(x) = 1.

В пространстве конечной размерности система векторов называется полной, если каждый вектор x этого пространства может быть представлен в виде

( – числа).

Аналогичным способом определяется полнота системы функций в гильбертовом пространстве: система функций   называется полной в пространстве H, если любая функция из H удовлетворяет условию

(6)

Ряд в формуле (6) называется рядом Фурье, а числа называются коэффициентами Фурье разложения функции f.

Предел в формуле (6) в гильбертовом пространстве понимается в том смысле, что

что означает сходимость в среднем.

Если система функций   является ортогональной, то коэффициенты Фурье находятся по формуле

(7)

В случае ортонормированной системы функций в пространстве (4) формула для коэффициентов Фурье принимают вид

Для полных ортонормированных систем функций в пространстве справедливо равенство Парсеваля

,

из которого следует, что числовой ряд в правой части последнего равенства сходится. Для ортонормированных (но

не полных) систем функций выполняется неравенство Бесселя

.

1.3. Тригонометрические ряды Фурье

В приложениях математики к задачам радиотехники, теплоэнергетики и физики наиболее распространенной полной ортонормированной системой функций является тригонометрическая система, ортогональная при - l  x  l

(8)

Вычислив интегралы, можно убедится в справедливости равенств:

Из формул (7) для тригонометрической системы функций (8) получаем коэффициенты Фурье функций f(x)

(n = 1,2,…). (9)

Ряд вида

(10)

называется тригонометрическим рядом Фурье порожденным функцией , в честь французского математика Фурье Жан Батиста Жозефа (1768 – 1830 г.), главные открытия которого связаны с построением математической теории теплопроводности твердых тел.

В частности, если функция четная, то её ряд Фурье имеет вид:

(11)

Ряд Фурье нечетной функции имеет вид

(12)

Возникает важный вопрос: при каких условиях на функцию ее ряд Фурье представляет эту функцию и в соотношениях (1.10) - (1) можно поставить знак равенства? Для определенного класса функций ответ на этот вопрос дается теоремой.

Теорема. ( О разложении.) Пусть кусочно-гладкая на отрезке функция f(x) периодически с периодом 2l продолжена на всю бесконечную прямую. Тогда тригонометрический ряд Фурье функции (10) сходится в каждой точке x из (- ,) к значению f(x) в каждой точке непрерывности и к значению в точке разрыва, т.е. имеет место равенство

(13)

где , _, вычисляются по формулам (9), f(x±0) – предельные значения функции слева и справа в точке разрыва.

Кусочная гладкость функции на отрезке означает, что отрезок можно разбить на конечное число промежутков, внутри каждого из которых непрерывна и имеет непрерывную производную, причем и имеют конечные пределы на концах любого промежутка.

В комплексной форме тригонометрический ряд Фурье (10) принимает вид

(14)

где – комплексные коэффициенты Фурье, связанные с и формулами

₌ , ₌ , , ,

причем для вещественной функции справедливо .

Если функция задана в промежутке , то для разложения ее в ряд Фурье можно рассмотреть периодическое продолжение разными способами.

1. Можно считать, что , т.е. продолжение функции имеет период равный . Ее ряд Фурье будет содержать и косинусы, и синусы.

2. Можно считать, что , где

,

,

т.е. продолженная функция имеет период и нечетная.

3. Можно считать, что , где

, ,

т.е. продолженная функция имеет период и четная.

Задачи для самостоятельного решения

1. 4, гл.3, §8 №485, №486, №489, №490, №493, №497, №498.

2. 5, гл.15, §2 №4373, №4375, №4386, №4391, №4392.

Литература к п. 1.3. 1, гл.17, §1-7, §10, §12, §15-16, 2, гл.4, §4.1 - 4.6, §4.9-4.11, 3, гл.8, §1-3.

4. Интегральная формула Фурье.

Интеграл Фурье

Если отрезок , на котором функция разлагается в тригонометрический ряд Фурье, неограниченно возрастает ( ), то ряд Фурье превращается в интеграл Фурье. Происходит качественный скачок: заданная на конечном отрезке функция разлагается в ряд гармонических колебаний

, (15)

частоты которых образуют дискретную последовательность; функция же заданная на всей оси или полуоси, разлагается в интеграл, являющийся суммой гармонических колебаний с частотами, непрерывно заполняющими всю полуось .

Пусть функция разлагается в ряд Фурье, т.е. имеет место равенства (15), где в точках непрерывности в левой части равенства стоит . Подставив в (15) выражение для коэффициентов Фурье из (16),

(n = 1,2,…). (16)

Получим после преобразований

5. Условия представимости функции интегралом Фурье

Если функция кусочно-гладкая на каждом конечном отрезке, абсолютно интегрируема на всей оси, то имеет место формула (20). Учитывая формулу

и введя обозначения

(21)

формулу (20) можно записать в виде

= . (22)

Равенство (22) аналогично разложению функции в тригонометрический ряд, а выражения (21) аналогичны формулам (16) для коэффициентов Фурье.

Если функция – четная, то формула

= , A(λ) = ,

называется косинус-преобразование Фурье.

Если функция – нечетная, то

= , B(λ) = ,

называется синус-преобразование Фурье.

1.6. Комплексная форма интеграла Фурье.

Преобразование Фурье

В комплексной форме интеграл Фурье имеет вид

(23)

Если перезаписать выражение (23) следующим образом

и обозначить

, (24)

то формула (23) примет вид

(1.25)

Функция , определенная формулой (25), называется образом Фурье или спектральной характеристикой функции . Переход от к называется преобразованием Фурье.