Материал: Интегральные преобразования Фурье и Лапласа и их приложения к дифференциальным уравнениям. Теория вероятностей и элементы математической статистики. Бырдин А.П., Заварзин Н.В

Задачи к п. 3

1. В ящике имеется 100 яиц, из них 5 некачественных. Наудачу вынимают одно яйцо. Найдите вероятность того, что вынутое яйцо некачественное.

2. Брошена игральная кость. Найдите вероятность того, что выпадет четное число очков.

3. Участники жеребьевки тянут из ящика жетоны с номерами от 1 до 100. Найдите вероятность того, что номер первого наудачу извлеченного жетона не содержит цифры 5.

4. В сосуд емкостью 10 л попала ровно одна болезнетворная бактерия. Какова вероятность зачерпнуть ее при наборе из этого сосуда стакана воды (200 см³)?

5. В партии из 100 деталей отдел технического контроля обнаружил 5 нестандартных деталей. Чему равна относительная частота появления нестандартных деталей?

6. При транспортировке из 1000 дынь испортилось 5. Чему равна относительная частота испорченных дынь?

7. При стрельбе по мишени вероятность сделать отличный выстрел равна 0,3, а вероятность выстрела на оценку «хорошо» равна 0,4. Какова вероятность получить за сделанный выстрел оценку не ниже «хорошо»?

8. Вероятность того, что человек умрет на 71-м году жизни, равна 0,04. Какова вероятность того, что он не умрет на 71-м году?

9. Бросается один раз игральная кость. Определите вероятность выпадения 3 или 5 очков.

10. В урне 30 шаров: 15 белых, 10 красных и 5 синих. Какова вероятность вынуть цветной шар, если вынимается один шар?

11. В денежно-вещевой лотерее на серию в 1000 билетов приходится 120 денежных и 80 вещевых выигрышей. Какова вероятность какого-либо выигрыша на один лотерейный билет?

12. В урне 3 белых и 3 черных шара. Из урны дважды вынимают по одному шару, не возвращая их обратно. Найдите вероятность появления белого шара при втором испытании, если при первом испытании был извлечен черный шар.

13. В колоде 36 карт. Наудачу вынимают из колоды 2 карты. Определите вероятность того, что вторым вынут туз, если первым тоже вынут туз.

14. В урне 2 белых и 3 черных шара. Из урны вынимают подряд два шара. Найдите вероятность того, что оба шара белые.

15. Какова вероятность того, что из колоды в 36 карт будут вынуты подряд два туза?

16. Два стрелка стреляют по цели. Вероятность поражения цели первым стрелком при одном выстреле равна 0,8, вторым стрелком  0,7. Найти вероятность поражения цели двумя пулями в одном залпе.

17. Найдите вероятность одновременного появления герба при одном бросании двух монет.

18. Имеется два ящика, содержащих по 10 деталей. В первом ящике 8, во втором 7 стандартных деталей. Из каждого ящика наудачу вынимают по одной детали. Найдите вероятность того, что все две вынутые детали окажутся стандартными.

19. В семье двое детей. Принимая события, состоящие в рождении мальчика и девочки равновероятными, найдите вероятность того, что в семье: а) все девочки; б) дети одного пола.

20. Пусть всхожесть семян оценивается вероятностью 0,7. Какова вероятность того, что из двух посеянных семян взойдет какое-либо одно?

21. Из колоды в 36 карт наудачу вынимается одна. Какова вероятность того, что будет вынута пика или туз?

22. Брошена игральная кость. Найдите вероятность того, что выпадет четное или кратное трем число очков.

23. Имеется два набора деталей. Вероятность того, что деталь первого набора стандартна, равна 0,8, а второго  0,9. Найдите вероятность того, что взятая наудачу деталь (из наудачу взятого набора)  стандартная.

24. В первой коробке содержится 20 радиоламп, из них 18 стандартных; во второй коробке  10 ламп, из них 9 стандартных. Из второй коробки наудачу взята лампа и переложена в первую. Найдите вероятность того, что лампа, наудачу извлеченная из первой коробки, будет стандартной.

25. Студент М может заболеть гриппом (событие А) только в результате либо переохлаждения (событие В), либо контакта с другим больным (событие С). Требуется найти Р(А), если Р(В) = 0,5, Р(С) = 0,5, Р_В(А) = 0,3, Р_С(А) = 0,1 при условии несовместимости В и С.

26. В коробке находятся 6 новых и 2 израсходованные батарейки для карманного фонарика. Какова вероятность того, что две вынутые из коробки наудачу батарейки окажутся новыми?

27. На трех карточках написаны буквы У, К, Ж. После тщательного перемешивания берут по одной карточке и кладут последовательно рядом. Какова вероятность того, что получится слово «ЖУК»?

28. Слово «керамит» составлено из букв разрезной азбуки. Затем карточки с буквами перемешиваются, и из них извлекаются по очереди четыре карточки. Какова вероятность, что эти четыре карточки в порядке выхода составят слово «река»?

Ответы к п. 3

1. 0,05. 2. 0,5. 3. 0,81. 4. 0,02. 5. 0,05. 6. 0,005. 7. 0,7.

8. 0,96. 9. 1/3. 10. 0,5. 11. 0,2. 12. 0,6. 13. 3/35. 14. 0,1.

15. 1/105. 16. 0,56. 17. 0,25. 18. 0,56. 19. а) 0,25; б) 0,5.

20. 0,91. 21. 1/3. 22. 2/3. 23. 0,85. 24. 0,9. 25. Р(А) = 0,2.

26. 15/28. 27. 1/6. 28. 1/840.

Задачи к п. 4

1. Пусть случайная величина Х  число очков, выпавших при подбрасывании игральной кости. Найдите закон распределения случайной величины X.

2. В денежной лотерее выпущено 100 билетов. Разыгрывается 1 выигрыш в 5000 р. и 10 выигрышей по 100 р. Найдите закон распределения случайного выигрыша Х для владельца одного лотерейного билета.

3. Закон распределения случайной величины X задан таблицей

Найдите математическое ожидание X.

4. Найдите математическое ожидание выигрыша X в задаче 2.

5. Найдите математическое ожидание случайной величины X, зная закон ее распределения:

6. Производятся два выстрела с вероятностями попадания в цель, равными р₁ = 0,4, р₂ = 0,3. Найдите математическое ожидание общего числа попаданий.

7. Найдите математическое ожидание суммы числа очков, которые могут выпасть при одном бросании двух игральных костей.

8. Найдите математическое ожидание произведения числа очков, которые могут выпасть при одном бросании двух игральных костей.

9. Независимые случайные величины X и Y заданы следующими законами распределения:

и

Найдите математическое ожидание случайной величины XY.

10. Найдите дисперсию случайной величины X, которая задана следующим законом распределения:

11. Известны дисперсии двух независимых случайных величин X, Y: D(X) = 4, D(Y) = 3. Найдите дисперсию суммы этих величин.

12. Дисперсия случайной величины X равна 5. Найдите дисперсию следующих величин: а) X  1; б) 2Х; в) 3X + 6.

Найдите математические ожидания и дисперсии случайных величин.

13.

14.

15.

16. К случайной величине прибавили постоянную а. Как при этом изменятся ее а) математическое ожидание; б) дисперсия?

17. Случайную величину умножили на а. Как при этом изменятся а) математическое ожидание; б) дисперсия?

18. Случайная величина X принимает только два значения: 1 и 1. Каждое с вероятностью 0,5. Найдите дисперсию D(X) и среднее квадратическое отклонение (Х).

19. Дисперсия случайной величины D(X)=6,25. Найдите среднее квадратическое отклонение (Х).

20. Пусть закон распределения случайной величины X задан таблицей

Определите математическое ожидание М(Х), дисперсию D(X) и среднее квадратическое отклонение (Х).

21. Дискретная случайная величина X задана законом распределения

Найдите начальные моменты первого и второго порядков.

22. Дискретная случайная величина X задана законом распределения, приведенным в предыдущем примере. Найдите центральный момент второго порядка.

23. Случайная величина X задана функцией распределения

Найдите вероятность того, что в результате испытания X примет значение, заключенное в интервале (0; 1).

24. Случайная величина X задана функцией распределения

Найдите вероятность того, что в результате испытания X примет значение, заключенное в интервале (2; 3).

25. Случайная величина X задана плотностью вероятности

Найдите вероятность попадания случайной величины X на отрезок [2; 3].

26. Плотность вероятности случайной величины X задана формулой Найдите вероятность того, что величина X попадет на интервал (1; 1).

27. Случайная величина задана плотностью вероятности

Найдите коэффициент а.

28. Дана плотность вероятности непрерывной случайной величины X: