Материал: КМ - Maple
Вариант № 2
1. Найти корни уравнения
18
−
7
x
−
x
2
8
−
6
x
+
x
2
+
8
−
6
x
+
x
2
18
−
7
x
−
x
2
=
13
6
.
Ответ:
−
5
,
0
.
2. Найти все корни уравнения
√
x
+
2
x
+ 1
x
+ 2
= 2
из промежутка
[0; 1]
.
Ответ:
1
.
3. Найти числокорней уравнения
x
3
−
(
a
+
b
+
c
)
x
2
+ (
ab
+
bc
+
ca
)
x
−
abc
= 0
.
Ответ:
3
.
4. Найти сумму всех положительных корней уравнения
(
x
−
1)
2
−
(
x
2
−
2
x
)
3
= 1
.
Ответ:
4 +
√
2
.
5. Найти произведение действительных корней уравнения
1
x
2
+
1
(
x
+ 2)
2
=
10
9
.
Ответ:
−
3
.
6. Решить систему уравнений:
x
2
+ 2
y
2
= 17
,
x
2
−
2
xy
=
−
3
.
Ответ:
(3; 2)
,
(
−
3;
−
2)
,
√
3
3
;
5
√
3
3
,
−
√
3
3
;
−
5
√
3
3
.
7. Решить систему уравнений:
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
3
xy
+
15
yz
= 2
,
15
yz
+
5
zx
= 2
,
5
zx
+
3
xy
= 2
.
Ответ:
(
−
1;
−
3;
−
5)
,
(1; 3; 5)
.
8. Найти точки пересечения кривых
x
3
+
y
3
= 19
, x
2
y
+
xy
2
=
−
6
.
Построить
графики.
Ответ:
(3;
−
2)
,
(
−
2; 3)
.
9. Найти точку пересечения прямой
x
−
1
2
=
y
+ 3
3
=
z
−
1
4
и плоскости
2
x
+ 3
y
−
−
5
z
+ 19 = 0
.
Ответ:
(3; 0; 5)
.
10. Найти решение рекуррентного уравнения
f
n
+1
=
f
n
+
n
+ 1
, f
0
= 0
.
Ответ:
f
n
=
n
2
+
n
2
.
71
Вариант № 3
1. Найти корни уравнения
3
9
−
√
x
+ 1 +
3
7 +
√
x
+ 1 = 4
.
Ответ:
0
.
2. Найти все корни уравнения
x
x
+ 1
+
x
+ 1
x
+ 2
+
x
+ 2
x
=
25
6
из промежутка
[0; 2]
.
Ответ:
1
.
3. Найти числоположительных корней полинома
x
5
−
3
x
4
−
4
x
3
−
x
2
+ 3
x
4
+ 4
.
Ответ:
2
.
4. Найти сумму всех корней уравнения
(
x
2
−
3
x
)
2
−
2(
x
−
3)
2
= 2
.
Ответ:
4
.
5. Найти произведение всех корней уравнения
2
√
x
2
+
x
+ 4 =
√
3
x
2
+ 5
x
+ 9
(включая комплексные корни).
Ответ:
7
.
6. Решить систему уравнений:
⎧
⎨
⎩
4
x
+
y
+
4
x
−
y
= 3
,
(
x
+
y
)
2
+ (
x
−
y
)
2
= 20
.
Ответ:
(3; 1)
,
(3;
−
1)
,
−
5
3
;
√
65
3
,
−
5
3
;
−
√
65
3
.
7. Решить систему уравнений
⎧
⎨
⎩
x
−
ay
+
a
2
z
=
a
3
,
x
−
by
+
b
2
z
=
b
3
,
x
−
cy
+
c
2
z
=
c
3
,
где
a
=
b, b
=
c, c
=
a.
Ответ:
(
abc
;
ab
+
bc
+
ca
;
a
+
b
+
c
)
.
8. Найти точки пересечения кривых
x
2
+
y
2
= 34
, x
+
y
+
xy
= 23
.
Построить
графики.
Ответ:
(3; 5)
,
(5; 3)
.
9. Найти точки пересечения прямой
x
2
=
y
−
4
−
3
=
z
+ 2
5
и параболоида
z
=
x
2
+
+
y
2
−
2
.
Ответ:
(2; 1; 3)
,
32
13
,
4
13
,
54
13
.
10. Найти решение рекуррентного уравнения
f
n
+2
=
−
2
f
n
+1
+ 3
f
n
, f
0
= 0
, f
1
= 4
.
Ответ:
f
n
= 1
−
(
−
3)
n
.
72
Вариант № 4
1. Найти корни уравнения
5
15
√
x
2
+
15
x
4
√
x
−
22
15
√
x
7
= 0
.
Ответ:
0
,
1
64
.
2. Найти все корни уравнения
√
x
+ 1 +
√
2
x
2
+ 7
√
x
+ 1
−
√
2
x
2
= 8
из про-
межутка
(
−
1; 1)
.
Ответ:
0
.
3. Найти числокорней полинома
2
x
3
+
x
2
+
x
−
4
,
имеющих отрицательную дей-
ствительную часть.
Ответ:
2
.
4. Найти сумму корней уравнения
x
(
x
−
1)(
x
+ 1) +
x
(
x
+ 1)(
x
+ 2) = 3
x
2
+
x
+
+ 18
x
√
x
−
16
.
Ответ:
5
.
5. Найти произведение всех ненулевых корней уравнения
x
2
−
x
x
2
−
x
+ 1
−
x
2
−
x
+ 2
x
2
−
x
−
2
=
= 1
(включая комплексные корни).
Ответ:
4
.
6. Решить систему уравнений:
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
4
x
+
y
−
1
−
5
2
x
−
y
+ 3
+
5
2
= 0
,
5
x
+
y
−
1
−
10
2
x
−
y
+ 3
+
7
2
= 0
.
Ответ:
(2;
−
3)
.
7. Решить систему уравнений
⎧
⎨
⎩
x
+
y
+
z
= 0
,
2
x
+ 3
y
+
z
= 0
,
(
x
+ 1)
2
+ (
y
+ 2)
2
+ (
z
+ 3)
2
= 14
.
Ответ:
(0; 0; 0)
,
(2;
−
1;
−
1)
.
8. Найти точки пересечения кривых
x
2
+
y
=
x
+
y
2
, x
+
y
2
= 6
.
Построить графики.
Ответ:
(2; 2)
,
(
−
3;
−
3)
,
1
2
+
√
21
2
;
1
2
−
√
21
2
,
1
2
−
√
21
2
;
1
2
+
√
21
2
.
9. Найти точку пересечения плоскостей
2
x
+
y
+
z
= 0
, x
−
2
y
+
z
= 1
, x
−
2
y
−
−
z
=
−
3
.
Ответ:
(
−
1; 0; 2)
.
10. Найти все целочисленные решения уравнения
x
3
+ (
x
+ 1)
3
+ (
x
+ 2)
3
= (
x
+ 3)
3
.
Ответ:
3
.
73
5.5
Лабораторная работа № 5 «Пределы и производ-
ные»
Вариант № 1
1. Вычислить
lim
x
→
+
∞
√
x
2
+
x
+ 1
−
√
x
2
−
x
.
Ответ:
1
.
2. Вычислить
lim
x
→
2+
x
+ 2
4
−
x
2
.
Ответ:
−∞
.
3. Доказать, что функции
f
(
x
) =
√
1 +
x
−
1
и
g
(
x
) = 2
x
при
x
→
0
являются
бесконечно малыми одного порядка малости.
4. Исследовать на непрерывность функцию
f
(
x
) =
⎧
⎨
⎩
sin
x
x
,
если
x
= 0
,
1
,
если
x
= 0
в точке
x
= 0
.
Ответ:
функция непрерывна.
5. Определить, какие из пределов
lim
y
→
0
lim
x
→
0
f
(
x, y
)
,
lim
x
→
0
lim
y
→
0
f
(
x, y
)
,
lim
x
→
0
y
→
0
f
(
x, y
)
суще-
ствуют и вычислить их, если
f
(
x, y
) = (
x
+
y
) sin
1
x
sin
1
y
.
Ответ:
не существует, не существует,
0
.
6. Найти производную функции
f
(
x
) = 4 ln(
√
x
−
4 +
√
x
) +
√
x
2
−
4
x
и упростить
полученное выражение.
Ответ:
√
x
√
x
−
4
.
7. Вычислить
df
dx
π
2
,
если
f
(
x
) =
1
2
sin
x
tg 2
x.
Ответ:
1
.
8. Вычислить
∂f
∂x
(
x, y
)
,
∂f
∂y
(
x, y
)
,
если
f
(
x, y
) = arctg (
xy
2
)
.
Ответ:
y
2
1 +
x
2
y
4
,
2
xy
1 +
x
2
y
4
.
9. Найти производную функции
f
(
x, y
) =
x
2
−
y
2
в точке
M
(1; 1)
в направлении,
составляющем угол
60
◦
c о сью
Ox.
Ответ:
1
−
√
3
.
10. Составить уравнение касательной к параболе
y
=
√
x
в то чке с абсциссо й
x
= 4
.
Построить графики.
Ответ:
x
−
4
y
+ 4 = 0
.
11. Число
18
разбить на такие два слагаемых, чтобы сумма их квадратов была
наименьшей.
Ответ:
9
,
9
.
74
Вариант № 2
1. Вычислить
lim
x
→
0
1 +
x
sin
x
−
cos 2
x
sin
x
2
.
Ответ:
3
.
2. Вычислить
lim
x
→
0
−
(
x
+ 2)
1
x
.
Ответ:
0
.
3. Проверить, являются ли функции
f
(
x
) = cos 3
x
−
cos
x
и
g
(
x
) = 7
x
2
при
x
→
0
бесконечно малыми одного порядка малости.
Ответ:
да.
4. Исследовать на непрерывность функцию
f
(
x
) =
⎧
⎨
⎩
sin
1
x
,
если
x
= 0
,
0
,
если
x
= 0
в точке
x
= 0
.
Ответ:
функция разрывна.
5. Определить, какие из пределов
lim
y
→
0
lim
x
→
0
f
(
x, y
)
,
lim
x
→
0
lim
y
→
0
f
(
x, y
)
,
lim
x
→
0
y
→
0
f
(
x, y
)
суще-
ствуют и вычислить их, если
f
(
x, y
) =
x
2
+
y
2
+
x
−
y
x
+
y
.
Ответ:
−
1
,
1
,
не существует.
6. Найти производную функции
f
(
x
) = tg 2
x
−
ctg 2
x
и упростить полученное
выражение.
Ответ:
16
1
−
cos 8
x
.
7. Вычислить
d
3
f
dx
3
(0)
,
если
f
(
x
) = ln
e
2
x
+
√
e
4
x
+ 1
.
Ответ:
−
√
2
.
8. Проверить выполненено ли равенство
∂
2
f
∂y∂x
(0
,
0) =
∂
2
f
∂x∂y
(0
,
0)
для
f
(
x, y
) =
x
y
2
.
Ответ:
да.
9. Найти полный дифференциал
dz
от сложной функции
z
=
f
x
2
+
y
2
.
Ответ:
f
x
2
+
y
2
xdx
+
ydy
x
2
+
y
2
.
10. Найти уравнение параболы
y
=
x
2
+
bx
+
c,
касающейся прямой
x
=
y
в точке
(1; 1)
.
Построить графики.
Ответ:
y
=
x
2
−
x
+ 1
.
11. Боковая сторона равнобедренной трапеции равна ее меньшему основанию. Опре-
делить, каков должен быть угол при большем основании, чтобы площадь трапе-
ции была наибольшей.
Ответ:
π
3
.
75