Материал: КМ - Maple
Вариант № 4
1. Вычислить
e
2
x
−
2 e
x
e
2
x
+1
dx.
Ответ:
1
2
ln(e
2
x
+1)
−
arctg e
x
+
C.
2. Вычислить
1
0
√
1 +
x
2
dx.
Ответ:
√
2
−
ln(
√
2
−
1)
2
.
3. Вычислить
+
∞
−∞
dx
x
2
+ 6
x
+ 18
.
Ответ:
π
3
.
4. Найти площадь фигуры, заключенной между кривой
y
=
x
3
,
прямой
y
= 8
и
осью
OY.
Ответ:
12
.
5. Вычислить
Ω
x dxdy
x
2
+
y
2
,
где
Ω
— параболический сегмент, ограниченный пара-
болой
y
=
x
2
2
и прямой
y
=
x
.
Ответ:
ln 2
.
6. Найти площадь области
Ω =
*
(
x, y
) : 2
x
≤
x
2
+
y
2
≤
4
x,
0
≤
y
≤
x
+
.
Ответ:
3
4
(
π
+ 2)
.
7. Найти массу квадратной пластины со стороной
a,
если плотность пластины в
каждой точке пропорциональна квадрату расстояния от этой точки до одной из
вершин квадрата и равна
0
в центре квадрата.
Ответ:
4
3
a
2
.
8. Вычислить
Ω
x
2
+
y
2
dxdydz,
где область
Ω
ограничена поверхностями
x
2
+
+
y
2
=
z
2
, z
= 1
.
Ответ:
π
6
.
9. Найти объем тела, ограниченного координатными плоскостями и плоскостью
x
+
y
+
z
= 1
. Вычислить массу, если тело однородно, а плотность равна
.
Ответ:
1
6
,
6
.
10. Найти длину дуги пространственной кривой
x
= e
−
t
cos
t, y
= e
−
t
sin
t, z
= e
−
t
при
0
< t <
+
∞
.
Ответ:
√
3
.
81
5.7
Лабораторная работа № 7 «Дифференциальные
уравнения»
Вариант № 1
1. Найти общее решение уравнения
xy
−
y
= ln
y
.
Ответ:
y
=
Cx
−
ln
C, y
= ln
x
+ 1
.
2. Найти решение дифференциальногоуравнения
y
3
−
y
e
2
x
,
удовлетворяющее
начальному условию
y
(0) = 1
.
Ответ:
y
=
3
4
x
4
3
+ 1
3. За 30 дней распалось 5 % первоначального количества радиоактивного вещества.
Через сколько времени останется 1 % от первоначального количества?
Ответ:
200
дней.
4. В баке находятся
100
л раствора, содержащего
10
кг соли. В бак втекает
5
л во -
ды в минуту, а смесь с той же скоростью переливается в другой 100-литровый
бак, первоначально наполненный чистой водой. Избыток жидкости из него вы-
ливается. Когда количество соли во втором баке будет наибольшим? Чему оно
равно?
Ответ:
20
минут,
3
.
68
кг.
5. Решить систему дифференциальных уравнений
⎧
⎨
⎩
˙
x
= 2
x
−
y
−
z,
˙
y
= 3
x
−
2
y
−
3
z,
˙
z
=
−
x
+
y
+ 2
z.
Ответ:
x
=
C
1
+
C
2
e
t
, y
= 3
C
1
+
C
3
e
t
, z
=
−
C
1
+ (
C
2
−
C
3
) e
t
.
6. На отрезке
x
∈
[0
,
10]
построить график численного решения уравнения
y
+
+
y
= 2
x
sin
y,
удовлетворяющего начальному условию
y
(0) = 1
.
7. Для системы
˙
x
= (4
−
3
y
)
x,
˙
y
= (
−
2 +
x
)
y
построить фазовые траектории, соответствующие начальным условиям
x
(0) = 3
,
y
(0) = 1
и
x
(0) = 2
, y
(0) = 0
.
5
,
если
t
∈
[0
,
60]
.
8. Построить векторное поле, определяемое уравнением
(
x
2
+
y
2
)
y
=
−
4
x,
в о бла-
сти
x
∈
(
−
3
,
3)
, y
∈
(
−
3
,
3)
.
9. Исследовать, устойчиво ли решение
x
=
−
t
2
, y
=
t
системы
˙
x
=
y
2
−
2
ty
−
2
y
−
x,
˙
y
= 2
x
+ 2
t
2
+ e
2
t
−
2
y
.
Ответ:
решение устойчиво.
10. Получить анимацию решения уравнения
u
tt
=
−
1
10
u
IV
xxxx
, удовлетворяющего
начальным условиям
u
(
x,
0) = sin
2
πx, u
t
(
x,
0) = 0
и граничным условиям
u
(
−
1
, t
) = 0
, u
x
(
−
1
, t
) = 0
, u
(1
, t
) = 0
, u
x
(1
, t
) = 0
,
На каждом кадре изобра-
зить решение в момент времени
t
0
, где
t
0
∈
[0
,
4]
.
82
Вариант № 2
1. Найти общее решение уравнения
y
=
xy
−
y
2
.
Ответ:
y
=
Cx
−
C
2
,
4
y
=
x
2
.
2. Найти решение дифференциального уравнения
(
x
+ 2
y
)
y
= 1
,
удовлетворяющее
начальному условию
y
(0) =
−
1
.
Ответ:
y
=
x
2
−
1
.
3. Лодка замедляет свое движение под действием сопротивления воды, которое
пропорционально скорости лодки. Начальная скорость лодки
1
.
5
м/с, через
4
с
скорость ее
1
м/сек. Когда скорость уменьшится до 1 см/с? Какой путь может
пройти лодка до остановки?
Ответ:
50
с,
15
м.
4. Найти кривые на плоскости, у которых площадь трапеции, ограниченной осями
координат, касательной и ординатой точки касания, есть величина постоянная,
равная
3
a
2
.
Ответ:
y
=
2
a
2
x
+
Cx
2
.
5. Преобразовать дифференциальное уравнение
y
IV
+ 2
y
+
y
= 0
к системе диф-
ференциальных уравнений первого порядка и решить полученную систему.
Ответ:
y
= (
C
1
+
C
3
x
) sin
x
+ (
C
2
+
C
4
x
) cos
x, z
= (
−
C
2
+
C
3
−
C
4
x
) sin
x
+
+ (
C
1
+
C
4
+
C
3
x
) cos
x, u
= (
−
C
1
−
2
C
4
−
C
3
x
) sin
x
+ (
−
C
2
+ 2
C
3
−
C
4
x
) cos
x,
v
= (
C
2
−
3
C
3
+
C
4
x
) sin
x
+ (
−
C
1
−
3
C
4
−
C
3
x
) cos
x,
где
z
=
y
, u
=
y
, v
=
y
.
6. На отрезке
t
∈
[0
,
6]
построить график численного решения системы
˙
x
=
−
(
x
+
y
)
y,
˙
z
=
(
x
+
y
)
x,
удовлетворяющего начальным условиям
x
(0) = 1
y
(0) = 0
.
7. Для системы
˙
x
=
−
y
−
x
2
,
˙
y
=
x
−
y
2
построить фазовые траектории, соответствующие начальным условиям
x
(0) =
= 0
.
8
, y
(0) = 1
и
x
(0) =
−
0
.
8
, y
(0) = 0
.
8
,
если
t
∈
[0
,
8]
.
8. Построить векторное поле, определяемое системой
˙
x
=
x
(1
−
y
)
,
˙
y
= 0
.
3
y
(
x
−
1)
.
в области
x
∈
(
−
1
,
2)
, y
∈
(
−
1
,
2)
.
9. Выяснить, при каких значениях параметра
a
нулевое решение уравнения
y
+
+ 2
y
+
ay
+ 2
y
= 0
асимптотически устойчиво.
Ответ:
a >
1
.
10. Получить анимацию решения уравнения переноса
u
t
+ 2
u
x
= 0
, удовлетворяю-
щегоначальному условию
u
(
x,
0) = e
−
4(
x
−
2)
2
и граничному условию
u
(0
, t
) = 0
.
На каждом кадре изобразить решение в момент времени
t
0
, где
t
0
∈
[0
,
1]
.
83
Вариант № 3
1. Найти общее решение уравнения
y
2
+
xy
=
y
2
+
xy
.
Ответ:
y
=
C
e
x
, y
=
C
e
−
x
+
x
−
1
.
2. Найти решение дифференциальногоуравнения
x
2
y
−
cos 2
y
= 1
,
удовлетворяю-
щее условию
y
(+
∞
) = 9
π/
4
.
Ответ:
y
= arctg
x
−
2
x
+ 2
π
3. Количество света, поглощаемое слоем воды малой толщины, пропорционально
количеству падающего на него света и толщине слоя. Слой воды толщиной
35
см
поглощает половину падающего на него света. Какую часть света поглотит слой
толщиной в
2
м?
Ответ:
98 %
.
4. Найти кривые на плоскости, у которых площадь треугольника, ограниченного
касательной, осью абсцисс и отрезком от начала координат до точки касания,
есть величина постоянная, равная
a
2
.
Ответ:
xy
=
a
2
+
Cy
2
.
5. Преобразовать дифференциальное уравнение
y
+
y
= 4 sin
x
к системе диффе-
ренциальных уравнений первого порядка и решить полученную систему.
Ответ:
y
= (
C
1
−
2
x
) cos
x
+
C
2
sin
x, z
= (
C
2
−
2) cos
x
−
(
C
1
−
2
x
) sin
x,
где
z
=
y
.
6. На отрезке
t
∈
[0
,
4
π
]
построить график численного решения системы
˙
x
=
−
(
x
2
+
y
2
)
y,
˙
z
=
(
x
2
+
y
2
)
x,
удовлетворяющего начальным условиям
x
(0) = 0
y
(0) = 2
.
7. Для системы
˙
x
=
−
y,
˙
y
=
x
+ (0
.
1
−
x
2
)
y
построить фазовые траектории, соответствующие начальным условиям
x
(0) = 1
,
y
(0) = 1
и
x
(0) = 0
.
1
, y
(0) = 0
.
1
.
8. Построить векторное поле, определяемое системой
˙
x
=
xy
+ 4
,
˙
y
=
x
2
+
y
2
−
17
.
в области
x
∈
(
−
6
,
6)
, y
∈
(
−
6
,
6)
.
9. Исследовать, устойчиво ли нулевое решение системы
⎧
⎨
⎩
˙
x
= e
x
−
e
−
3
z
,
˙
y
= 4
z
−
3 sin (
x
+
y
)
,
˙
z
= ln (1 +
z
−
3
x
)
.
Ответ:
решение неустойчиво.
10. Получить анимацию решения уравнения теплопроводности
u
t
=
u
xx
, удовлетво-
ряющегоначальному условию
u
(
x,
0) = 0
и граничным условиям
u
(0
, t
) = 0
,
u
x
(1
, t
) = 1
.
На каждом кадре изобразить решение в момент времени
t
0
, где
t
0
∈
[0
,
2]
.
84
Вариант № 4
1. Найти общее решение уравнения
y
−
y
=
x.
Ответ:
y
=
C
1
e
x
+
C
2
e
−
x
−
x.
2. Найти периодическое решение уравнения
¨
x
+ ˙
x
+
x
= sin 2
t.
Ответ:
x
=
−
3
13
sin 2
t
−
2
13
cos 2
t.
3. За какое время вытечет вся вода из бака диаметром
1
.
8
м и высо то й
2
.
45
м
через отверстие в дне диаметром
6
см? Ось цилиндра вертикальна. Считать, что
вода вытекает со скоростью
0
.
6
√
2
gh
м/с, где
g
= 10
м/с
2
, h
— высота уровня
жидкости над отверстием.
Ответ:
17
.
5
минут.
4. Найти траектории, ортогональные к линиям семейства
y
2
=
C
e
x
+
x
+ 1
.
Ответ:
3
x
=
C
|
y
| −
y
2
, y
= 0
.
5. Решить систему дифференциальных уравнений
˙
x
=
x
+ 2
y
+ 16
t
e
t
,
˙
y
= 2
x
−
2
y.
Ответ:
x
= 2
C
1
e
2
t
+
C
2
e
−
3
t
−
(12
t
+ 13) e
t
, y
=
C
1
e
2
t
−
2
C
2
e
−
3
t
−
(8
t
+ 6) e
t
.
6. На отрезке
x
∈
[0
,
30]
построить график численного решения уравнения
y
+
+ 4
y
= sin
x,
удовлетворяющего начальным условиям
y
(0) = 1
, y
(0) = 1
.
7. Для системы
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
˙
x
= 10(
y
−
x
)
,
˙
y
=
x
(28
−
z
)
−
y,
˙
z
=
xy
−
8
3
z
построить фазовые траектории, соответствующие начальным условиям
x
(0) = 3
,
y
(0) = 2
, z
(0) = 15
,
если
t
∈
[0
,
30]
.
8. Построить векторное поле, определяемое уравнением
y
=
sin
y
sin
x
,
в области
x
∈
(
−
4
,
4)
, y
∈
(
−
4
,
4)
.
9. Выяснить, при каких значениях параметра
a
нулевое решение системы
˙
x
= 2
√
x
+
y
−
2 e
x
+
y
,
˙
y
= sin
ax
+ ln (1
−
4
y
)
асимптотически устойчивопопервому приближению.
Ответ:
a >
−
8
.
10. Получить анимацию решения волнового уравнения
u
tt
= 4
u
xx
, удовлетворяю-
щегоначальным условиям
u
(
x,
0) = sin
2
πx, u
t
(
x,
0) = 0
и граничным условиям
u
(0
, t
) = 0
, u
(1
, t
) = 0
.
На каждом кадре изобразить решение в момент време-
ни
t
0
, где
t
0
∈
[0
,
4]
.
85