Материал: Компьютерное моделирование осадки большеразмерного коробчатого фундамента минимальной материалоёмкости на нелинейно-деформируемом грунтовом основании при заданной нагрузке

Предельное напряженное состояние деформируемого твёрдого тела соответствует такому напряженному состоянию, когда малейшее добавочное силовое воздействие нарушает существующее равновесие и приводит деформируемое тело в неустойчивое состояние. В грунтовом массиве причинами неустойчивого состояния будут эрозионные процессы и нарушение равновесия. Предельное напряженное состояние грунтов следует рассматривать как совершенно недопустимое при возведении на них сооружений. Поэтому для инженерной практики весьма важно уметь оценить максимально возможную нагрузку на объекты исследуемой системы, при которой эта система будет находиться в состоянии устойчивого равновесия. Достаточные условия устойчивости деформируемого твёрдого тела определяются признаком Лагранжа-Дирихле: в устойчивом состоянии равновесия потенциальная энергия системы деформируемых твёрдых тел имеет минимум (энергетический критерий).

2.      Подходы к исследованию систем деформируемых твёрдых тел

2.1    Системный подход

Часто выполнение одних задач исследования системы затрудняет решение других, но в целом основным и единственным критерием оценки функционирования подсистем должно быть обеспечение максимума эффективности системы. Следовательно, свойства системы, как сложного объекта, не обнаруживаются в свойствах её отдельных подсистем. Это значит, что традиционный метод изучения целого путём анализа его частей и последующего объединения (суперпозиции) их свойств непригоден для больших и сложных систем. А для физических нелинейных систем принцип прямой суперпозиции и вовсе неприемлем. Решением проблемы становится системный подход, суть которого состоит во взаимосвязанном рассмотрении всех элементов (подсистем) системы. При системном подходе система рассматривается не изолированно, а как подсистема более общей системы (системы более высокого ранга). Основным при системном подходе является определение цели, например, условие предельного равновесия деформируемой среды. Для каждой цели должен быть выбран свой надёжный критерий эффективности. Например, для деформируемых систем это может быть удовлетворение принципа стационарности полной энергии системы. Системный подход характеризуется системой принципов. Принципы системного подхода - это некоторые утверждения общего характера, обобщающие опыт человека по исследованию сложных систем. Основные принципы следующие:

1.   Принцип конечной цели: абсолютный приоритет конечной цели.

2.   Принцип единства: совместное рассмотрение системы как целого и как совокупности частей (элементов).

3.   Принцип связности: рассмотрение любой части совместно с ее связями c окружением.

4.   Принцип модульного построения: полезно выделение модулей в системе и рассмотрение ее как совокупности модулей.

5.   Принцип иерархии: полезно введение иерархии частей (элементов) и (или) их ранжирование.

6.   Принцип функциональности: совместное рассмотрение структуры и функции с приоритетом функции над структурой.

7.   Принцип развития: учет изменяемости системы, ее способности к развитию, расширению, замене частей, накапливанию информации.

8.   Принцип децентрализации: сочетание в принимаемых решениях и управлении централизации и децентрализации.

9.   Принцип неопределенности: учет неопределенностей и случайностей.

Системный подход при исследовании различных систем, явлений, объектов позволяет с единых позиций строить общую методологию исследования указанных систем и процессов независимо от их природы. Эта методология, как и любая другая, содержит определенные этапы.

Этап 1. Определение системы.

1.   Определение системы и области её существования.

2.   Определение исследуемой функции системы.

3.   Определение краевых условий.

4.   Декомпозиция системы вплоть до простых элементов.

5.   Определение свойств элементов системы и модулей.

6.   Нахождение связей между элементами и модулями системы.

Этап 2. Построение математической модели.

.        Формальное описание исследуемой функции.

.        Разработка дискретной модели системы.

.        Разработка алгоритмической модели.

.        Разработка программного обеспечения (машинной модели).

.        Проверка адекватности математической модели системы.

Этап 3. Исследование системы при различных входных воздействиях и совершенствование модели системы.

При исследовании систем механики деформируемого твёрдого тела и механики грунтов идеи системного подхода на определённом уровне находят применение. Проблемы возникают в связи с количеством объектов исследуемых систем, разнородностью их свойств и изменением этих свойств в процессе функционирования системы. К причинам создающим указанную проблему относятся задачи исследования систем нелинейно-деформируемых твёрдых тел и неприменимость к ним принципа суперпозиции.

2.2 Математическое моделирование

Если система определена и возможно описание ее функции с помощью логики математических предложений, то поведение системы исследуют математическими средствами, средствами вычислительной техники. При этом реальной системе должен быть поставлен в соответствие некоторый абстрактный её образ, называемый математической моделью, адекватно отражающий основные закономерности и особенности оригинала. Таким образом, математическая модель - это конечная совокупность логико-математических предложений, адекватно описывающих определённые качества системы-оригинала. Примерами математических моделей могут быть в принципе любые логико-математические предложения. Самое простейшее из них - уравнение прямой y = kx, самое сложное - совокупность дифференциальных уравнений и логических условий. Основной особенностью математических моделей является их вариативность, т.е. возможность одним знаковым описанием кодировать большое количество конкретных вариантов поведения системы, что даёт возможность достаточно объёмного их исследования. Математическая модель концентрирует в себе записанную в форме математических предложений совокупность наших знаний, представлений и гипотез о соответствующем объекте, процессе, явлении или системе. Поскольку эти знания никогда не бывают абсолютными, более того, как правило, всегда не учитываются при математическом моделировании некоторые известные эффекты, то можно утверждать, что математическая модель только с определенной достоверностью описывает поведение реальной системы. Поэтому при построении математических моделей систем необходимо учитывать следующие основные требования: адекватность, универсальность, точность и экономичность.

·   Адекватность. Математическая модель считается адекватной исходной системе, если она отражает заданные её свойства с допустимой точностью. Пусть модель имеет m выходных параметров, тогда погрешность модели ε_мод можно представить как норму вектора

ε = { ε₁, ε₂, …, ε_m }; ε_мод = max I ε_j I, j = 1, m; или ε_мод = , где

- относительная погрешность модели по j-у выходному параметру,

y_j^в, y_j - вычисленное и действительное значение j-го выходного параметра. Должно выполнятся условие ε_мод < ε_пред, где ε_пред - предельная допустимая погрешность. Область в пространстве внешних параметров, для которой выполняется это условие, называется областью адекватности модели.

·   Универсальность. Это характеристика полноты отображения в модели исследуемых свойств реальной системы.

·   Точность. Оценивается точность математической модели степенью совпадения значений параметров исходной системы и значений тех же параметров, вычисленных с помощью оцениваемой математической модели.

·   Экономичность. Эта характеристика стоимости решения модели по разработанному алгоритму на компьютере.

Основное назначение математического моделирования - сделать возможными некоторые выводы о поведении реальной системы в пространстве и времени. Наблюдения за реальной системой (натурный эксперимент) в лучшем случае могут дать материал лишь для проверки той или иной гипотезы, той или иной модели, поскольку они представляют собой источник информации ограниченного объема о прошлом этой системы. Модель допускает значительно более широкие исследования, результаты которых дают информацию для прогнозирования поведения системы. Чтобы обеспечить эти и другие возможности математической модели, приходится всегда решать проблему адекватности модели и системы, т.е. ставится вопрос исследования согласованности результатов с реальной ситуацией. Создавая математическую модель, исследователь познает систему, т.е. выделяет ее как объект изучения из окружающей среды и строит ее формальное описание в соответствии с поставленными целями и имеющимися возможностями. В дальнейшем через поведение математической модели анализируется поведение реальной системы при различных входных воздействиях.

2.3 Построение математических моделей систем деформируемых твердых тел

Математические модели строят на основе законов и закономерностей, выявленных фундаментальными науками. Следует сразу отметить, что построение математической модели системы процесс не формализованный и носит поисковый характер, т.е. это путь проб и ошибок в поиске основной идеи. В конечном счете, может быть построено несколько моделей одного и того же процесса или явления, но выбирают только одну, максимально отвечающую требованиям практики. Построение принципиально новой математической модели системы может быть оценено как открытие.

Для построения математических моделей используют различные методы, которые можно объединить в две группы: формальные и неформальные методы. Формальные методы применяют для построения математических моделей систем при известных математических моделях элементов. Неформальные методы применяются для синтеза теоретических и эмпирических математических моделей. Теоретические математические модели создаются в результате исследования процессов и их закономерностей, присущих рассматриваемому классу систем. Эмпирические математические модели создаются в результате изучения внешних проявлений свойств системы. Для большинства систем, в частности для всех систем механики грунтов, теории упругости и механики деформируемого твёрдого тела, используются типовые элементы. Поэтому разработка математических моделей элементов производится сравнительно редко. Однажды созданные математические модели элементов используются при разработке математических моделей систем из этих элементов. Примером таких математических моделей элементов на микроуровне являются конечные элементы для анализа напряжённо-деформированного состояния деформируемых тел.

Математическая модель системы получается как синтез математических моделей её элементов. Правила синтеза обусловлены структурой и свойством исходной системы и её элементов.

При построении сложных систем лучше всего вводить декомпозицию и деление на модули, при необходимости нужно строить иерархию модулей, рассматривать потоки информации между модулями и моделями и т.п. Полученная совокупность моделей повторит структуру и иерархию самой системы. Как видим, здесь принцип тот же, что и при построении математических моделей простых систем, только понятие «элемент» заменяется понятием «модуль» и, соответственно, понятие «математическая модель элемента» заменяется понятием «математическая модель модуля». Отметим, что основной спецификой моделирования систем является учёт связей между отдельными моделями. Изложенный материал позволяет дать более строгое определение математической модели системы или объекта.

2.4 Структура математической модели систем механики грунтов

Учитывая произвольность постановки задачи решать ее лучше методом математического моделирования на основе метода конечных элементов или метода суперэлементов и методов численного решения нелинейных краевых задач. Это сразу накладывает свои требования на структуру ядра математической модели. Будем строить его на основе одного из энергетических принципов, например, на основе принципа минимума полной энергии системы. Математическая модель системы оснований и фундаментов в соответствии с приведенной структурной схемой в этом случае будет иметь следующее содержание:

.        Геометрическая модель геологического разреза основания.

.        Механико-математическая модель элементов структуры грунтового основания

.        Система краевых условий, задаётся в соответствии с классификацией поставленной задачи как краевой задачи математической физики. В частности, для геометрической модели системы оснований и фундаментов на граничных поверхностях, кроме верхней плоскости, задаются перемещения, которые определяются в соответствии с принципом Сен-Венана или на основе некоторых других критериев. На части верхней плоскости задается система внешних сил, обусловленных нагрузкой от здания или сооружения.

.        Условия равновесия системы (ядро математической модели):

, где ,