Материал: Компьютерное моделирование осадки большеразмерного коробчатого фундамента минимальной материалоёмкости на нелинейно-деформируемом грунтовом основании при заданной нагрузке

П - полная энергия деформируемой системы,

{P} - вектор внешних сил,

{σ}, {ε}, {U} - векторы напряжений, деформаций и перемещений,

V - объём области существования исследуемой системы.

Вследствие применения процедур метода конечных элементов ядро математической модели преобразовывается к виду

,

где [К] - матрица жесткости системы.

.        Математическая модель искомого решения .

Применение нелинейных форм искомого решения привело к значительному усложнению вычислительных алгоритмов, но значимого повышения точности решений при этом получено не было.

В данной работе будут использоваться так называемые симплекс элементы, т.е. элементы, которым соответствуют полиномы, содержащие константу и линейные члены:

j=a₀+a₁x+a₂y или j=a₀+a₁x+a₂y+a₃z.

Очевидно, число коэффициентов в этих полиномах больше на единицу размерности координатного пространства, или коэффициентов столько, сколько вершин в конечном элементе. Деформация и напряжение в любом конечном элементе выражаются через перемещения по известным формулам. В узлах элементов вводятся концентрированные силы, статически эквивалентные напряжениям на границе соответствующего элемента и внешним силам, приложенным к нему. Условие равновесия этих сил в любом узле приводит к системе алгебраических уравнений для основных неизвестных параметров.

Ввиду того, что матрица жесткости системы имеет ленточную структуру и симметрична относительно главной диагонали, в памяти ЭВМ достаточно сформировать и хранить элементы верхней или нижней полу ленты. После построения матрицы жесткости [K] всей конструкции, составляется система линейных уравнений

[K]{d}= {P} (3.1)

где  - вектор узловых сил,

- вектор узловых перемещений.

В своём первоначальном виде система (3.1) решения не имеет, т.к. матрица жёсткости [K] сингулярная - её главный определитель равен нулю. Учёт граничных условий приводит к изменению матрицы жёсткости [K] и векторов {P} и {d}. Матрица [K] уже не будет сингулярной и система (3.1) будет иметь решение.

3.2    Метод энергетической линеаризации

Метод энергетической линеаризации ориентирован для расчёта напряжённо-деформированного состояния изотропных нелинейно - деформируемых твёрдых тел в стадии активного нагружения.

Твёрдому телу объёма V c границей Г и законом деформирования поставим в соответствие геометрически тождественное гипотетическое линейно-упругое тело с законом деформирования

 (3.2)

В конечном итоге мы получим:

 (3.3)

Значительной особенностью метода энергетической линеаризации является возможность использования принципа независимости действия сил при решении нелинейных задач. Это возможно вследствие того, что этот метод устанавливает функциональную связь решений, полученных при условии линейного и нелинейного деформирования элементов исследуемой системы.

3.3    Методика численного моделирования нелинейных систем деформируемых твёрдых тел

Исследование математических моделей сложных и больших пространственных нелинейных систем деформируемых твёрдых тел в силу произвольности задаваемых нагрузок, структуры системы и нелинейной деформируемости материала элементов системы возможно лишь численно с использованием современных компьютеров методами конечных элементов и (или) суперэлементов. Алгоритм исследования математической модели системы методом конечных элементов можно представить в виде ряда определённых этапов. Содержание отдельных этапов зависит от содержания исследуемой системы.

Этап 1. Построение расчетной области.

Расчетная область правильной геометрической формы строится в объеме деформируемой области. Её размеры могут определяться двумя способами. Первый способ основан на принципе Сен-Венана и решении Р. Миндлина задачи о действии сосредоточенной силы, приложенной вблизи границы полупространства. По этому способу граничные условия расчётной области определяются путем вычислительного эксперимента. Второй способ основан на использовании данных экспериментальных исследований. Методом вычислительного эксперимента были оценены оба подхода по определению размеров расчетной области, различие в соответствии не более 7%. При построении расчетной области учитывается наличие плоскостей симметрии.

Этап 2. Дискретизация расчетной области.

Дискретизация пространственной расчетной области производится параллелепипедами, каждый из которых разделяется на шесть равновеликих тетраэдров. При дискретизации учитываются особенности структуры основания, что приводит к нерегулярной решетке, определяемой векторами шагов дискретизации и количеством узлов по координатным осям. Разбиение на конечные элементы согласно количеству узлов и векторов шагов дискретизации производится автоматически. При дискретизации каждый конечный элемент должен иметь однородную структуру со своими характеристиками.

Этап 3. Построение матрицы жёсткости системы

Матрица жёсткости системы строится в соответствии с построенной схемой дискретизации по аналитическому алгоритму.

Этап 4. Задание граничных условий.

Граничные условия расчетной области определяются системой внешних сил и принятым способом определения размеров расчетной области. На всех граничных плоскостях, кроме верхней, граничные условия лучше задавать в перемещениях. Они могут быть нулевыми, если размеры расчетной области принимались на основании данных физического эксперимента и отличными от нуля в определенном пределе, если размеры расчетной области принимались в соответствии с принципом Сен-Венана и решением Р.Миндлина. Последнее предпочтительнее, так как размеры расчетной области будут несколько меньше, что в итоге повысит точность численного моделирования. На верхней граничной плоскости задается система внешних сил.

Этап 5. Учёт граничных условий.

В соответствии с граничными условиями проводится корректировка матрицы жесткости. Используется вектор граничных условий из системы линейных алгебраических уравнений исключаются известные перемещения на границах.

Этап 6. Решение систем линейных алгебраических уравнений с симметричной ленточной матрицей, компактно записанной в памяти компьютера.

Наиболее эффективными методами решения систем линейных алгебраических уравнений с симметричной ленточной матрицей, компактно записанной в памяти компьютера, является метод квадратного корня и сопряжённых градиентов.

4.      Методология и технология компьютерного объектно-ориентированного моделирования плитного коробчатого фундамента

4.1    Методика компьютерного объектно-ориентированного моделирования

Компьютерное объектно-ориентированное моделирование физических систем в своей основе содержит понятие объекта системы, его свойств и связей; выполняется в соответствии с принципами системного подхода, используя методы математического и геометрического моделирования, методы визуального объектно-ориентированного программирования и методы вычислительного эксперимента. При компьютерном объектно-ориентированном моделировании реальной физической системе ставится в соответствие её виртуальная физическая модель, которая строится на экране монитора и отображает структуру исходной системы, при этом происходит решение ряда позиционных и метрических задач. Виртуальная физическая модель системы представляет собой компьютерное представление реальной системы, описывающее её геометрические и физические свойства. Так как для рассматриваемого класса задач реальные компоненты исследуемой системы состоят из конструктивных элементов, то логично будет и в качестве элементарных составляющих виртуальной физической модели принять некоторые виртуальные конструктивные элементы. Физическое содержание этих элементов определяется физическим содержанием реальной исследуемой физической системы. Рассмотрим это на примере системы «Здание - фундамент - грунтовое основание». Как правило, грунтовое основание в плане всего здания неоднородное, но его всегда можно представить совокупностью конечных элементов однородных по своей структуре и свойствам, которые в компьютерном представлении будем называть конструктивными виртуальными элементами грунта. В целом вся проектируемая система: здание, фундамент и грунтовое основание, может быть представлена из ограниченного числа конструктивных типовых элементов, поэтому целесообразно создать их библиотеку (палитру).

Каждый виртуальный конструктивный элемент в памяти компьютера представляет собой объект, обладающий рядом свойств и методов, которые можно разделить на следующие группы:

.        определение геометрических свойств реального конструктивного элемента: размеры, внутренние и внешние границы;

.        определение физических свойств реального конструктивного элемента: закон деформирования, модуль упругости, коэффициент Пуассона и т.п.;

.        осуществление визуализации конструктивного виртуального элемента;

.        формирование математической модели;

.        методы исследования математической модели и формирования виртуальной модели состояния системы;

.        информационные: уникальный номер, наименование, марку и т.п.

На этапе формирования виртуальной физической модели системы рационально параллельно провести её дискретизацию на конечные элементы.

После построения виртуальной модели конструкции и грунтового основания необходимо задать граничные условия. На этом формирование виртуальной физической модели завершается.

Таким образом, виртуальная физическая модель состоит из виртуальных объектов, наследующих выделенные свойства, связи, назначение и привязку соответствующих объектов реальной системы. Поэтому исследование реальной системы является начальным этапом разработки проекта работ по созданию системы компьютерного визуального объектно-ориентированного моделирования систем и объектов. Исследование физической системы производится в соответствии с принципами системного подхода и содержит требование исследования системы во «времени» и в «пространстве». Описание существования физической системы во «времени» приводит к понятию «жизненного цикла», а описание в «пространстве» - к понятию «внешней среды», с которой взаимодействует физическая система. Под жизненным циклом сложной физической системы понимают структуру процесса её разработки, производства и эксплуатации, охватывающее время от возникновения идеи создания системы до снятия её с эксплуатации. Аналогично для виртуальной физической системы и в целом для системы компьютерного визуального объектно-ориентированного моделирования физических систем и процессов. Жизненный цикл системы компьютерного визуального объектно-ориентированного моделирования включает следующие стадии:

. Формирование требований к системе и разработка технического задания;

. Проектирование;

. Изготовление, верификация, опытная эксплуатация и

совершенствование системы;

. Целевое применение разработанного продукта.

4.2    Общая характеристика и инструкция по работе с программным комплексом «Энергия-2D»

Программный комплекс «Энергия-2D» предназначен для моделирования линейных и нелинейных двумерных систем механики грунтов. Это приложение имеет гибкий и удобный интерфейс для реализации решения.

Инструкция по работе с программным комплексом

.Запускаем проект. У нас на экране появляется окно. В левом правом углу на меню можно прочитать разработчиков проекта и инструкции по работе с ним. Так же есть две кнопки

Первая Close при нажатии которой программный комплекс закрывается, и вторая Next при нажатии которой комплекс запускается.

2.Нажимаем кнопку next у нас появляется тело программы.

3.Нам нужно ввести данные для этого можно нажать кнопку ввод и ввести данные в ручную, либо если есть текстовый файл с записанными в него данными то нажимает кнопку Чтение из файл и указываем файл в котором записаны наши данные.

При вводе данных вручную нам необходимо задать размер расчетной области:

а: размер области по оси ОХ.

b:размер области по оси ОУ.

kx:количество шагов разбиений по оси ОХ.

ky: количество шагов разбиений по оси ОУ.

Сумма шагов по оси ОХ должна ровняться а, а по оси ОУ b.

Ввести количество закрепленных узлов т.е узлов в которых известно что их перемещение равны нулю.

Ввести количество точек под нагрузкой их номера и величины нагрузки в кг по каждой точке.

4.После того как мы ввели данные нам нужно нажать на кнопку Ok. Появится расчетная область с разбиение на конечные элементы в соответствии с размерами шагов.

На экране имеется палитра цветов с указанием названий материалов. Так же имеется кнопка «изменить» при нажатии которой появляется окно характеристик грунтов, при желании их можно изменить.

Задание характеристик конечного числа элементов проводится следующим образом:

Выбирается грунт который нужно и на расчетной области нажатием кнопки мыши мы закрашиваем нужные нам элементы.

5. Когда все сделано, нажимаем на кнопку вычислить. У нас появляется окно результатов с линейными и нелинейными перемещениями по узлам расчетной области.

6. При нажатии на кнопку графики у нас появляется окно графика. Двойным щелчком мы указывает диапазон узлов отображающихся на графике.