Материал: Кратные интегралы. Векторный анализ. Учебное пособие по решению задач и выполнению типовых расчетов. Катрахова А.А., Купцов В.С

Чтобы получить количество жидкости, протекающее через всю поверхность Σ, нужно просуммировать предыдущее выражение по всем элементам dσ, т. е. взять интеграл

П = [Pcos( n , x) +

Рис. 4.4

+ Qcos( n ,y) +

+ Rcos( n , z)] dσ. (4.3)

Этот интеграл представляет поверхностный интеграл первого рода. Выражение (4.3) зависит не только от вектор – функции (Р, Q, R), заданной на поверхности Σ, но и от направления нормали в каждой точке этой поверхности.

Перейдем теперь к общему определению. Пусть Σ – гладкая двусторонняя поверхность. Фиксируем какую-либо опреде-

Аn = P cos ( n , х) + Q cos ( n , y)+ R cos ( n , z),

где cos( n , x), cos( n , у) и cos( n , z) – косинусы углов между направлением нормали к поверхности и направлениями координатных осей, т. е. координаты единичного вектора нормали n. Интеграл

71

называется поверхностным интегралом второго рода от вектор –

функции A =(P, Q, R) по поверхности Σ (по выбранной стороне поверхности Σ) и будем обозначать

P dydz + Q dzdx + R dxdy.

При переходе к другой стороне поверхности координаты единичного вектора нормали, следовательно и сам интеграл, меняют свой знак на противоположный. Для односторонней поверхности понятие поверхностного интеграла второго рода не вводится.

Для того чтобы понятие поверхностного интеграла приобрело общность, приходится рассматривать интегралы и по таким поверхностям, которые имеют самопересечения (с аналогичной ситуацией мы уже встречались в теории криволинейных интегралов).

Замечания:

1. Если dσ – бесконечно малый элемент площади поверх-

ности, то выражения cos( n ,x) dσ, cos( n ,у) dσ, cos( n ,z) dσ представляют собой проекции элемента dσ на плоскости Y0Z, Z0X и Х0У, поэтому мы обозначаем их dydz, dzdx и dxdy соответственно;

2.Поверхностный интеграл второго рода был определен, опираясь на понятие поверхностного интеграла первого рода. Интеграл второго рода можно определить и непосредственно, с помощью соответствующих интегральных сумм следующим образом: для сокращения записи рассматривать только одну компоненту вектора (Р, Q, R), скажем R.

3.Отличие поверхностного интеграла второго рода от интеграла первого рода состоит в том, что в интеграле второго рода элемент площади dσ рассматривается не как скалярная вели-

72

чина, а как вектор d , направленный по нормали к поверхно-

сти и имеющий координаты dσ cos( n ,x), dσ cos( n ,у), dσ cos

( n ,z).

В соответствии с этим поверхностный интеграл второго

рода от векторной функции A = (Р, Q, R) часто записывают в виде

Значение такого интеграла представляет собой уже не скаляр, а вектор. Его вычисление сводится к покомпонент-

ному интегрированию вектора [ A , n ]. Так как здесь подын-

тегральное выражение зависит от нормали n к поверхно-

сти Σ, то интеграл (4.6) будет поверхностным интегралом второго рода (но только «векторный», в отличие от «скалярного» интеграла (4.5)).

Сведение поверхностного интеграла второго рода к двойному интегралу

Из определения поверхностного интеграла второго рода вытекает следующий результат Пусть гладкая (или кусочногладкая) поверхность Σ задана уравнением z = z(x, у) (причем берется верхняя сторона этой поверхности) и R (х, у, z) – некоторая ограниченная функция на поверхности Σ . Тогда

R (х, у, z) dxdy = R (х, у, z (х, у)) dxdy, (4.7)

D

73

где D – проекция поверхности Σ на плоскость Х0У; входящий в это равенство поверхностный интеграл существует, если существует стоящий справа двойной интеграл. Таким образом, для

того, чтобы поверхностный интеграл R(x,у,z) dσ, взятый по

верхней стороне поверхности Σ (ее уравнение z = z(x, y)) преобразовать в двойной, следует в подынтегральную функцию вместо z подставить функцию z(x, у), а интегрирование по поверхности Σ заменить интегрированием по ее проекции D на плоскость Х0У. Если же интеграл берется по нижней стороне поверхности Σ, то

где в первом случае под поверхностью Σ понимается поверхность, заданная уравнением х = х(у, z), а во втором – поверхность, заданная уравнением у = у (z, х).

Знак плюс берется в том случае, когда нормаль к поверхности образует с осью х (соответственно с осью у) острый угол, а знак минус, когда этот угол тупой. D1 и D2 – проекции поверхности Σ на плоскости У0Z и Z0Х соответственно. Формулой типа (4.7) можно воспользоваться для сведения поверхностного интеграла к двойному интегралу и в том случае, когда ориентированная поверхность Σ состоит из нескольких кусков, каждый из которых определяется уравнением вида z = z (х, у). В этом случае рассматриваемый интеграл следует

74

представить как сумму интегралов, отвечающих этим кускам, и затем к каждому из этих слагаемых применить формулу (4.7).

Задача 4.3. Вычислить поверхностный интеграл

J = (x2 + y2)3dxdy , где Σ – верхняя часть круга x2 + y2 = 1.

Решение. Поверхность, по которой берется интеграл совпадает со своей проекцией на плоскость XOY D (D: x2 + y2≤ 1) и имеет c ней положительную ориентацию. Применяя полярную систему координат ( x = r cos υ , y = r sin υ, 0≤ r ≤1, 0≤ υ≤

Задача 4.4. Вычислить поверхностный интеграл

J = x2z2dxdy , где Σ – нижняя сторона нижней половины сфе-

Здесь было учтено то, что нижняя сторона поверхности Σ

имеет ориентацию противоположную ориентации XOY и, что z2 = 1 – x2 – y2, D: x2 + y2≤ 1, и x = r cos υ , y = r sin υ, 0≤ r ≤1, 0≤

υ≤ 2π.

4.3. Формула Остроградского

Запишем формулу, связывающую тройной интеграл по пространственной области с поверхностным интегралом, взя-

75