Материал: Кратные интегралы. Векторный анализ. Учебное пособие по решению задач и выполнению типовых расчетов. Катрахова А.А., Купцов В.С

где L – контур, ограничивающий искомую площадь, а интегрирование по этому контуру ведется в положительном направлении, т.е. чтобы область D оставалась слева.

Для вычисления площади с помощью криволинейного ин-

Решение. Воспользуемся формулой (3.18). Найдем: dx = - a sin t dt, dy= b cos t dt.

Подынтегральное выражение по этой формуле равно: x dy – y dx = (a bcos2 t + a bsin2 t)dt = a b dt.

Получим:

Ответ: S a b (кв.ед.).

Задача 3.21. Определить площадь, ограниченную одной аркой циклоиды (рис. 3.2).

Решение.

61

лении, указанном стрелками. На отрезке ОА у = 0 и dу = 0. Поэтому на этом отрезке подынтегральное выражение примет вид: x dy – y dx = 0.

Задачи для самостоятельного решения

Задача 3.22. Определить площадь, ограниченную астрои-

Задача 3.23. Найти площадь, ограниченную кардиоидой:

4.ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

4.1.Поверхностные интегралы первого рода

Вычисление поверхностного интеграла от скалярной функции

Пусть в точках кусочно-гладкой поверхности Σ с кусочногладкой границей C определена некоторая ограниченная функция f(M). (Поверхность Σ может быть, в частности, замкнутой). Поверхностный интеграл от функции

Σf (M) по поверхности Σ и обознача-

Точку M поверхности Σ можно задать декартовыми координатами x, у, z. Поэтому функцию f (М), определенную на Σ, мы будем обозначать также f(x,у,z), а соответствующий поверхностный интеграл

- f(x, у, z)ds. Приведем поверх-

ностный интеграл к двойному интегралу.

Рассмотрим сначала простейший случай, когда поверхность задана уравнением в декартовых координатах.

Пусть Σ – гладкая поверхность, заданная уравнением z = z(x, y), (x, y) є D, где D – замкнутая ограниченная область, a

63

f(x, y, z)-некоторая ограниченная функция, определенная на поверхности Σ. Тогда справедливо равенство

При этом поверхностный интеграл, стоящий слева, существует, если существует двойной интеграл, стоящий в правой части равенства.

Замечание. Пусть поверхность Σ состоит из нескольких частей, каждая из которых может быть представлена уравнением вида x= x(y, z), y= y(z, х) или z= z(x, y). Для сведения поверхностного интеграла, взятого по такой поверхности к двойному интегралу можно, воспользоваться тем, что поверхностный интеграл по поверхности Σ равен сумме интегралов, взятых по составляющим эту поверхность частям.

Легко проверить, что эти формулы остаются в силе, когда поверхность не гладкая, а кусочно-гладкая.

преобразовать в двойной и вычислить с помощью полярной системы координат (x = r cos υ , y = r sin υ, 0≤ r ≤1, 0≤ υ≤ π/2)

64

где – D проекция поверхности Σ на плоскость XOY

(D: x2 + y2 ≤ 1).

Применения поверхностных интегралов механике

Поверхностные интегралы первого рода часто встречаются в физических задачах. С такими интегралами приходится иметь дело при изучении распределения масс по поверхности, например при нахождении координат центра масс, моментов инерции материальных поверхностей. Вывод этих формул ничем не отличается от вывода формул, которые описывают распределение массы в плоской области или вдоль кривой.

Пусть по поверхности Σ (гладкой или кусочно-гладкой) распределена некоторая масса с поверхностной плотностью ρ(х, у, z), представляющей собой непрерывную функцию на Σ. Такую поверхность Σ будем кратко называть материальной по-

2) Координаты центра масс материальной поверхности оп-