Материал: Кратные интегралы. Векторный анализ. Учебное пособие по решению задач и выполнению типовых расчетов. Катрахова А.А., Купцов В.С

Для однородной поверхности ρ= const .

3) Моменты инерции поверхности Σ относительно осей

Jx= (z2 + y2) ρ(x, y, z) ds.

Задача 4.2. Вычислить координаты центра тяжести плоскости x + y + z =1; x , y , z 0,1 (плотность постоянна и равна

1).

Решение. Так как z = 1 – x – y, то z /x = -1, z /y = -1.

Поверхностные интегралы от векторных функций. Общее понятие поверхностного интеграла первого рода

Выше были рассмотрены поверхностные интегралы от скалярных функций. Это понятие можно перенести на вектор-

ные функции. Пусть F (M) = P i + Q j + R k - некоторая вектор-

ная функция, заданная на поверхности Σ. Определим интеграл от этой функции по поверхности Σ, положив

Мы назовем его поверхностным интегралом первого рода

от векторной функции F . Значение такого интеграла представ-

ляет собой вектор. Вопросы условия существования поверхностного интеграла первого рода от векторной функции, о сведении его к двойному, о его свойствах сводятся к соответствующим вопросам для интегралов от скалярных функций Р, Q и R

(компонент вектора F ).

В понятии поверхностного интеграла было существенно то, что каждый «интегральный элемент» f (M) ds зависел от величины элемента площади ds и значения функции f(M) (скалярной или векторной) в данной точке. Существуют задачи, в которых ориентация элемента ds играет существенную роль. К ним относится задача о расчете количества жидкости, протекающей через поверхность за единицу времени, а также и ряд других. Эти задачи приводит к другому понятию поверхностного интеграла, так называемому поверхностному интегралу второго рода. Поверхностные интегралы первого и второго рода связаны между собой простыми формулами.

4.2. Поверхностные интегралы второго рода

Для того чтобы определить поверхностный интеграл второго рода, нужно ввести понятие стороны поверхности, аналогичное понятию ориентации кривой.

Пусть Σ – гладкая поверхность. Возьмем на Σ некоторую внутреннюю точку М0, проведем через нее нормаль к поверхности Σ и выберем на этой нормали одно из двух возможных направлений. Это можно сделать, зафиксировав определенный

единичный вектор n , нормальный к поверхности Σ в точке М0. Проведем теперь на поверхности Σ через точку М0 какой-либо замкнутый контур С, не имеющий общих точек с границей по-

верхности, и будем двигать единичный вектор n из точки M0

67

вдоль С так, чтобы этот вектор все время оставался нормальным к Σ и чтобы его направление менялось при этом движении

непрерывно. Поскольку вектор n все время остается нормальным к Σ, то имеются две возможности: при возвращении в точ-

ку M0 вектор n возвращается в первоначальное положение; в

результате обхода по контуру С вектор n меняет свое направление на противоположное.

Гладкая поверхность Σ называется двусторонней, если обход по любому замкнутому контуру, лежащему на поверхности Σ и не имеющему общих точек с ее границей, не меняет направления нормали к поверхности. Если же на поверхности существует замкнутый контур, по которому направление нормали меняется на противоположное (при движении ее по контуру), то поверхность называется односторонней. Если поверхность Σ двусторонняя, то в каждой ее точке М можно выбрать единич-

ный вектор нормали n (М) так, чтобы вектор n (М) зависел от

точки М непрерывно ( n (М) будет называться «непрерывным полем нормалей» на поверхности Σ). На односторонней поверхности нельзя построить ни одного непрерывного поля нормалей. Выбор на поверхности Σ определенного непрерывного поля нормалей будет называться выбором стороны этой поверхности.

Замечания:

1.Двустороннюю поверхность называют ориентируемой, а выбор определенной ее стороны – ориентацией поверхности. Односторонние поверхности называют не ориентируемыми.

2.В отличие от таких свойств, как гладкость поверхности могут иметь или не иметь места в отдельных точках (локальные свойства), свойство ориентируемой поверхности (или не ориентируемой) – это свойство, характеризующее всю поверхность в целом (глобальное свойство).

68

Пусть Σ – ориентированная поверхность, ограниченная одним или несколькими контурами. Определим ориентацию каждого контура L, входящего в состав границы поверхности Σ, (согласованную с ориентацией поверхности Σ) по следующему правилу. Направление обхода контура L считается положительным (согласованным с ориентацией Σ), если наблюдатель, расположен на поверхности так, что направление вектора нормали совпадает с направлением от ног к голове, обходит контур L, оставляя поверхность Σ все время слева от себя. Противоположное направление считается отрицательным. Если L произвольный замкнутый контур ограничивающий какую-либо часть ориентированной поверхности Σ, то направлением обхода этого контура, согласованным с ориентацией поверхности Σ, мы считаем опять-таки то, при котором ограниченная этим контуром часть поверхности Σ (рис. 4.2) остается слева. Если в качестве поверхности Σ взята ориентированная плоскость, то определение согласованности ориентации контура и поверхности сводится к правилу, по которому контур считается ориентированным положительно, если его обход совершается против часовой стрелки, и ориентированным отрицательно в противоположном случае.

3. Правило согласования ориентации поверхности Σ и ограничивающего ее контура L можно сформулировать таким об-

разом: пусть n - единичный вектор нормали к поверхности Σ в некоторой точке М, принадлежащей L, и пусть - вектор, нор-

мальный к L и к n и направленный в ту сторону, с которой расположена поверхность Σ. Тогда положительное направление об-

хода контура L указывается вектором [ , n ]

69

(рис. 4.3).

Определение поверхностного интеграла второго рода

Рассмотрим задачу о вычислении потока жидкости через некоторую поверхность.

Пусть пространство заполнено движущейся жидкостью,

скорость которой в точке (х, у, z) задается вектором V (х, у, z) c

компонентами Р = Р(х, у, z),Q = Q(x, у, z), R = R(x, у, z).

Вычислим количество жидкости П, протекающей за единицу времени через некоторую ориентированную поверхность Σ.

Рассмотрим бесконечно малый элемент dσ поверхности Σ. Количество жидкости, протекающее через dσ за единицу вре-

мени, равно dП = Vn, где Vn – проекция скорости V на направ-

ление нормали n к dσ. Записав dП как скалярное произведение вектора V на единичный вектор нормали п к элементу dσ, имеем

dП =[Р cos ( n , х)+ Q cos ( n , у) + R cos ( n , z)] dσ.

70