Материал: Кратные интегралы. Векторный анализ. Учебное пособие по решению задач и выполнению типовых расчетов. Катрахова А.А., Купцов В.С

что целесообразно ввести полярные координаты, учитывая, сто

26

Указание. Спроектировать вычисляемую поверхность на плоскость XOУ (рис. 1.18). Вы-

Задача 1.22. Вычислить площадь поверхности шара радиуса а

Ответ: S = 4 а2 кв. ед.

2.ТРОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

2.1.Вычисление тройного интеграла в декартовых прямоугольных координатах

В прямоугольных координатах элемент объема dV вычисляется по формуле: dV = dxdydz.

Тройной интеграл от функции f(x, y, z) трех независимых переменных, в области V (риc. 2.1) имеет вид:

VV

ивычисляется по формуле:

28

Под областью V, на которую распространен тройной интеграл, понимается пространственная область, ограниченная снизу и сверху поверхностями, определяемыми уравнениями z= 1(x,y)

и z= 2(x,y) ( 1(x,y) 2(x,y)), а с боков ци-

линдрической поверхностью с образующими, параллельными от OZ.

Переменные, Х и У изменяются в плоской области Dхоу, которая является проекцией на плоскость ХОУ, пространственной области V.

Область Dхоу ограниченна непрерывными кривыми, определяемыми уравнениями

Рис. 2.1

Таким образом, вычисление тройного интеграла сводится к трем последовательным интегралам по формуле (2.1). При, вычислении внутреннего интеграла

2 x, y

f x, y,z dz переменные Х и У следует рассматривать как по-

1 x, y

стоянные. В результате получится функция двух независимых переменных Х и У.

Таким образом, мы сведем вычисление тройного интеграла к двойному интегралу, с вычислением которого мы уже знакомы.

Отметим, что порядок интегрирования может быть изменен, но при этом пределы интегрирования во внешнем интеграле всегда величины постоянные.

29

Задача 2.1. Вычислить интеграл: I xdxdydz,

V

где V – тетраэдр, ограниченный координатными плоскостями и плоскостью 2х + 2у + z – 6 = 0.

Решение. Тетраэдр, ограниченный снизу плоскостью z = 0, сверху плоскостью z = 6 – 2х – 2у. Поэтому в области интегрирования V переменная z изменяется от z = 0, до z = 6

– 2х – 2у (рис. 2.2).

Проекцией области V на плоскость ХОУ является треугольник ОАВ.

Уравнение прямой АВ получим,

0 0

Вычислим внутренний интеграл в двойном интеграле:

30