Материал: Кратные интегралы. Векторный анализ. Учебное пособие по решению задач и выполнению типовых расчетов. Катрахова А.А., Купцов В.С

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

dxdydz .

Решая его получим z1 = 1, z2 = 2. Точка, в которой z = 2 – это вершина параболоида, поэтому линия пересечения поверхностей находится на высоте z = 1 над плоскостью ХОУ. Уравнение этой линии получим, подставляя z = 1 в уравнение любой из этих поверхностей.

Оно имеет вид	x2	y 2 1	.
	z	1

Это окружность, она проектируется на плоскость ХОУ в окружность x2 + y2 = 1, а все тело проектируется в круг DХОУ, ограниченный этой окружностью.

По формуле (2.6) объем тела равен V

Внутреннее интегрирование проведем по переменной z. Определим пределы изменения переменной в области интегрирования: из уравнения сферы получим на нижней по-


лусфере z		1	1 x2	y 2 , а из уравнения параболоида	z
= 2 – (x2 + y2). Таким образом, в области интегрирования

1 1 x2		y2	z	2 x2 y2 .
	Поскольку под знаком интеграла имеется выражение				x2

+ y2, а область интегрирования круг, удобно перейти к поляр-

ным координатам,					в которых					x2 + y2 = r2,				а элемент площади
dxdy = rdrd .
	Так как в круге DХОУ								0	z	1,	0		2		, то
	2		1		2 r 2				2		1
	2		1		2 r 2				2		1	r 2					r 2
	V	d		rdr		dz			d		2	r 2	1		1		r 2	rdr
	0		0	1	1		r	2	0		0
				1	1		r
2	1									2	1
2	1	r 2			r 2					2	1		r 3				22
d	1	r 2		1	r 2			rdr			d	r	r 3	r	1		22	dr
0	0									0	0
										36

			r 2	r 4			1 r 2		3
2			r 2	r 4	1		1 r 2		2	1 7		2	7	2	7	.
	d											d
	d	2		4	2			3		0	12	d	12	0	6
0		2		4	2			3		0	12	0	12	0	6
						7	2
		Ответ:		V		7	куб. ед.
		Ответ:		V	6		куб. ед.
					6

Задача 2.6. Определить объем шара радиуса R.

Решение. Проведем вычисления в сферической системе координат. Поместим центр шара в начало координат. В прямоугольной системе координат уравнение поверхности шара (сфе-

ры) имеет вид:

x2 + y2 + r2 = R2.

Переходя к сферическим координатам получим уравнение поверхности шара 2 = R2 или = R. Вычислим объем той части шара, которая находится в первом октанте по формуле:

	V																		R
				2 sin								2			2				R	2d .
								d d d					d sin d
	8							d d d					d sin d
	8	V										0	0						0
										R		2 d		R	3
Внутренний интеграл														R		.
Внутренний интеграл																.
										0			3
							3										3
			V			R	3	2	d	2	sin d				R		3
Поэтому			V			R									R			.
Поэтому			8			3		0		0					6			.
			8			3		0		0					6
Окончательно объем шара радиуса R равен:
V	4	R3	куб. ед.
V	3	R3	куб. ед.
	3
Ответ:		V			4	R3		куб. ед.
Ответ:		V	3			R3		куб. ед.
			3

Задачи для самостоятельного решения


Задача 2.7. Найти объем те-
ла, ограниченного		поверхностями
4z = x2 + у2	и x2 + у2 + z2 = 12.
Указание.
Тело	проектируется на
плоскость ХОУ в круг, рис. 2.7
ограниченный		окружностью,
уравнение которой можно полу-			Рис. 2.7

чить, выразив из второго уравнения х2 + у2 = 12 – z2 и подставив это выражение в первое уравнение.

			8		5 ) куб. ед.
Ответ: V			8	( 6 3
Ответ: V	3			( 6 3
	3
Задача 2.8. Найти объем тела,							ограниченного сферами х2
+ у2 + z2 = 16 и х2 + у2 + z2 – 8z = 0.
Указание.
				Круг (рис. 2.8), в который проектируется
	тело на плоскость ХОУ ограничен линией х2 +
	у2 = 12.
				При вычислении двойного интеграла по
	области DХОУ					перейти к полярным координа-
	там:

Рис. 2.8				0	2	; 0	r	2	3 . Получим:

										16 r 2
						2	2	3		16 r 2
					V		d		rdr		dz .
						0		0
						0		0	4		16 r	2
									4		16 r
Ответ: V		80		куб. ед.
Ответ: V	3			куб. ед.
	3

Задача 2.9.

Вычислить объем части шара							х2 + у2 + z2 = 4R2, которая
лежит внутри цилиндра х2 + у2 = R2.
Указание. Перейти к цилиндрическим координатам в
уравнениях поверхностей. Тогда:

				2	R		4 R 2 r 2
		V	2	d		rdr	dz .
				0	0		0
	4	R3
Ответ: V	4		( 8	3	3 ) куб. ед.
Ответ: V	3		( 8	3	3 ) куб. ед.
	3

Задача 2.10. Вычислить объем, ограниченный поверхно-

стями х2 + у2 = R2, х2 + у2 = z, z = 0.

Указание. Перейти к цилиндрическим координатам.

	R3
Ответ: V		куб. ед.
	2

б) Вычисление массы тела

Если дано некоторое тело с объемной плотностью

(х, у, z), представляющий собой непрерывную функцию, то масса m этого тела, равна тройному интегралу от функции плотности (х, у, z), распространенному на объем V, занимаемый этим телом:

m	( x, y,z )dxdydz.	(2.9)
	V

Задача 2.11. Вычислить массу тела, ограниченного сферой х2 + у2 + z2 = 4 и параболоидом х2 + у2 = 3z, если плотность в каждой точке тела равна аппликате точки (т.е. = z) (см. рис.

2.7).

Решение.

В этой задаче удобно перейти к цилиндрическим координатам, так как в уравнении параболоида содержится сумма х2 + у2, а в цилиндрических координатах х2 + у2 = r2.

Запишем уравнения поверхностей, ограничивающих тело, в цилиндрических координатах.

Уравнение сферы примет вид:

	r2 + z2 = 4; r2 = 4 – z2.
Уравнение параболоида: r2 = 3z.
Из этих уравнений следует, что на параболоиде: z=r2/3, а

на сфере z	4 r2 .

Спроектируем это тело на плоскость ХОУ. Проекцией будет круг. Найдем радиус этого круга. Для этого определим, при

каком значении z

пересекаются поверхности,

т.е. определим z

из системы:

r 2

4 z

r 2

;

Получим z2 + 3z – 4 = 0;

z1 = 1; z2 = – 4.

Смыслу задачи удовлетворяет только z = 1.

Подставим это значение в любое из уравнений системы,

получим r2 = 3, r

3 .

Итак, радиус круга, в который проектировалось тело равен

3 ; переменные r, , z в теле изменяются в пределах:

r 2

4 r 2 .

0 r

3 , 0

2 ,

Масса тела вычисляется по формуле (2.9), в которой эле-

мент объема

dxdуxd

rdrd dz .

Таким образом,

r 2

drd

rdr

zdz

Ответ:

Источник: https://studfile.net/preview/16565876/

Смотрите также:

_3 тема - Диффузия
00601
01. Концепция БД
02_ЛР
02. РСЧС_ВСМК_Таблица
05. Частная патология ССС - Инфаркт миокарда
0501 Конунников ЛР10-3
0501_Конунников_ЛР№2
06-20-DatabasesGenomEvolution
07