Материал: Кратные интегралы. Векторный анализ. Учебное пособие по решению задач и выполнению типовых расчетов. Катрахова А.А., Купцов В.С

Скачать файл

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

ydl

R sint R dt

sint dt

cost

2R2

;

Ответ: хс = 0, yc

Задачи для самостоятельного решения

Задача 3.3. Найти координаты центра тяжести одной арки

циклоиды:

x = a(t – sin t),

y = a(1 – cos t), 0

2 .

(Считать плотность равной единице).

Указание. Воспользоваться формулами (3.6).

Учитывая симметрию, заключаем, что абсцисса центра

тяжести хс =

а.

2a sin

dt ;

2 dt

8a.

2 2

ydl

a 1

cos t 2a sin

2 sin

sin

2 2

sin

3 t

Ответ: хс =

а;

a .

Задача 3.4. Найти массу участка кривой

у = ln x

от точки

с абсциссой

до точки с абсциссой

2 , если

плотность в каждой точке равна квадрату ее абсциссы.

					1 x		2		2		2
	dl						2	dx ;	2		2			x2 dx .
Указание.									m			x	1

						x
						x				3
										3
Ответ: m		19		.
Ответ: m	3			.
	3
Задача 3.5.														x = a cos3t,
Определить центр тяжести дуги астроиды														x = a cos3t,		y
= a sin3t, лежащий в первой четверти										0			t		. Плотность
= a sin3t, лежащий в первой четверти										0			t	2	. Плотность
														2
считать равной единице.
Ответ: x		y			2	a .
c			c		5
					5

3.2. Криволинейный интеграл второго рода и его вычисление

Пусть во всех точках дуги АВ плоской кривой определены и непрерывны функции двух независимых переменных Р(х, у) и Q(x, y), тогда можно рассмотреть криволинейные интегралы по координатам:

P( x, y )dx и	Q( x, y )dy .
AB	AB

Сумму этих двух интегралов обозначают символами

P( x, y )dx Q( x, y )dy

и называют общим криволинейным интегралом второго рода (по координатам х и у).

Если АВ непрерывная гладкая кривая в пространстве, а функция Р(х, у, z), Q(x, y, z) и R(x, y, z) непрерывные функции трех независимых переменных, заданные по этой кривой, тогда

сумма трех интегралов	P( x, y, z ) dx ,	Q( x, y,z )dy и
	AB	AB
	47

R( x, y,z )dz называется общим криволинейным интегралом

второго рода (по координатам) и обозначается
P( x, y,z )dx Q( x, y,z )dy R( x, y,z )dz .	(3.11)
AB

Если Р(х, у, z), Q(x, y, z) и R(x, y, z) – проекции силы F

на координатные оси, то общий криволинейный интеграл второго рода (3.11) выражает работу этой силы при перемещении материальной точки М по кривой АВ из положения А в положение В.

Вэтом состоит физический смысл криволинейного интеграла второго рода.

Вотличие от криволинейного интеграла первого рода криволинейный интеграл второго рода меняет свой знак на противоположный при изменении направления обхода кривой АВ, то есть

P( x, y,z )dx	P( x, y,z )dx .
AB	BA

Вычисление криволинейного интеграла второго рода сводится к вычислению определенного интеграла.

Если гладкая пространственная кривая АВ задание параметрическими уравнениями x = x(t), y = y(t), z = z(t) причем изменению t от до соответствует движение точки по кривой от А к В (не обязательно, чтобы было меньше ).

Тогда

P( x, y,z )dx	Q( x, y,z )dy R( x, y,z )dz
AB
P( x( t ), y( t ), z( t ))	x ( t ) Q( x( t ), y( t ),z( t ))	y ( t )
R( x( t ), y( t ), z( t )) z ( t ) dt.		(3.12)

Если кривая АВ – расположена, например, в плоскости ХОУ, то формуле (3.12) примет вид:

P( x, y )dx		Q( x, y )dy P	x( t ), y( t )	x ( t )
AB
		Q x( t ), y( t )	y ( t ) dt .	(3.13)
Если же плоская гладкая кривая задана уравнением у
= у(х), где а	х	b, у(х) – непрерывно дифференцируемая

функция, то криволинейный интеграл второго рода вычисляется по формуле:

P( x, y )dx

Q( x, y )dy

P x, y( x )

Q x, y( x )

y ( x ) dx

(3.14)

x2dx

Задача 3.6. Вычислить

xy dy ,

где АВ – первая

четверть окружности

х2 + у2 = R2, пробегаемая против часовой

стрелки.

Решение. Из уравнения окружности выразим у через х.

Получим y

x2 , так как в первой четверти у 0,

xdx

то y

x2 ;

Учитывая, что интегрирование ведется против часовой

стрелки х изменяется от R до 0.

По формуле (3.14) получим:

x2dx

x ydy

x2dx

R3 2

x 2

R 2

R2 6 R 5R

R2 6

Ответ:

5R .

Задача

3.7.

Вычислить

криволинейный

интеграл,

2хуdx у2dу

z2dz;

где АВ один виток линии х = cos t,

АВ

y = sin t, z = 2t от точки А(1, 0, 0) до В(1, 0, 4 ).

Решение. Очевидно, что вдоль дуги

АВ параметр t из-

меняется от 0

до 2

. По формуле (3.12), получим

2хуdx у2dу

z 2dz

sin2 t cost

4t 2 dt

2cost

sint

АВ

2 ( sin2 t cos t

8t 2 )dt

sin3 t

8t 3

3 .

Ответ:

3 .

Задачи для самостоятельного решения

Задача 3.8. а) Вычислить

y2 dx , где АВ – дуга па-

раболы у = х2

от точки х = 0 до точки х = 2;

б) Вычислить

y2 dy , где АВ та же дуга.

Ответ: а)

;

б)

Задача 3.9. Вычислить

y dx

y dy , где АВ

1) отрезок прямой, соединяющий точки А(2, 3) и В(3, 5);

2) дуга параболы у = х2 (0

2);

Источник: https://studfile.net/preview/16565876/

Смотрите также:

_3 тема - Диффузия
00601
01. Концепция БД
02_ЛР
02. РСЧС_ВСМК_Таблица
05. Частная патология ССС - Инфаркт миокарда
0501 Конунников ЛР10-3
0501_Конунников_ЛР№2
06-20-DatabasesGenomEvolution
07