Материал: Кратные интегралы. Векторный анализ. Учебное пособие по решению задач и выполнению типовых расчетов. Катрахова А.А., Купцов В.С

Задачи для самостоятельного решения

Задача 2.12. Вычислить массу тела, ограниченного сферой х2 + у2 +z2 = 1, если в каждой точке тела плотность равна квадрату ее расстояния от начала координат.

Указание. Квадрат расстояния точки от начала координат равен сумме: х2 + у2 +z2, координат этой точки, поэтому

Задача 2.13. Вычислить массу пирамиды, ограниченной плоскостями х + у + z = 1, х = 0, у = 0, z = 0, если плотность ее в текущей точке тела М(х, у, z) равна = х у z.

Ответ: m 7201 .

Задача 2.14. Найти массу однородного тела (плотность в

каждой его точке = const), ограниченного поверхностями а) z = 2 – x – y, а2 + у2 = 1, х = 0, у = 0, z = 0.

б) z x2 y 2 ; х2 + у2 = 2х, z = 0.

41

3.1. Криволинейный интеграл первого рода, его вычисление, физический смысл и механические приложения

Пусть на плоскости ХОУ задана кривая АВ, в каждой точке которой определена непрерывная функция f(х, у) двух независимых переменных х и у.

Рассмотрим криволинейный интеграл I рода (по длине дуги) от этой функции по кривой АВ. Он обозначается f ( x, y )dl ,

кривая АВ называется кривой интегрирования, А – начальной, а В – конечной точками интегрирования. Из определения криволинейного интеграла первого рода следует, что он не зависит от направления кривой АВ, т.е.:

Если АВ – пространственная кривая, то криволинейным интегралом первого рода, распространенным на эту кривую называется интеграл вида:

f ( x, y,z )dl ,

AB

где функция f(х, у, z) – функция трех независимых переменных, которая определена и непрерывна в каждой точке кривой АВ.

Масса m материальной кривой, имеющей плотность (х, у, z) равна криволинейному интегралу первого рода от функции

AB

В этом состоит физический (механический) смысл криволинейного интеграла первого рода.

42

Если масса распределена непрерывно вдоль дуги плоской кривой АВ с плотностью функции = (х, у) в каждой точке кривой, то статические моменты Мх и Му дуги относительно координатных осей ОХ и ОУ соответственно определяются по формулам:

Рассмотрим теперь случай пространственной гладкой кривой АВ. Пусть ее параметрические уравнения имеют вид:

х = х(t); у = у(t); z = z(t); причем существуют непрерывные про-

Криволинейный интеграл от функции f(х, у) по дуге, заданной уравнением в полярных координатах r = r( ), где , вычисляется с помощью формулы:

AB

Задача 3.1. Вычислить x2 ydl , где АВ часть окружности

AB

х2 + у2 = R2, лежащая в I четверти.

44

Решение. Выразим из уравнения окружности явно орди-

Задача 3.2.

Найти центр тяжести полуокружности х2 + у2 = R2, лежащей в верхней полуплоскости, а также ее момент инерции относительно оси ОХ (плотность считать равной единице).

Решение. Центр тяжести дуги кривой определяется по формуле (3.6). Из соображений симметрии следует, что он на-

так как это длина полуокружности.

Для вычисления числителя дроби воспользуемся параметрическими уравнениями окружности:

x = R cos t; y = R sin t.

45