Материал: Кратные интегралы. Векторный анализ. Учебное пособие по решению задач и выполнению типовых расчетов. Катрахова А.А., Купцов В.С

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

3)	дуга параболы									у = х2,		соединяющая точки				С(0, 0)	и
D(4, 2).
Ответ: 1)		23		;	2)					38	; 3)	22		.
Ответ: 1)				;	2)						; 3)			.
	2									3		3
Задача 3.10. Вычислить:
	I			2 y 6 xy3 dx 2x 9x2 y2 dy ;
			L
где L одна из линий, соединяющих точки О(0, 0) и А(2, 2).
1)	отрезок ОА;
2)	парабола			y			1		x2 ;
2)	парабола			y	2				x2 ;
					2
3)	парабола		x			1		y 2 ;
3)	парабола		x		2			y 2 ;
					2
4)	кубическая парабола y												1		x3
4)	кубическая парабола y											4			x3
												4
5)	ломанная ОСА,									где С(2, 0).
Решение.
1)	Уравнение прямой на которой лежит отрезок															ОА	у

= х,	поэтому dy = dx. Заменим в подынтегральном выражении
у на	х, а dy на dx, получим:

	2
I	2x 6 x x3 dx 2x 9x2 x2 dx 88 .
	0
2) Из уравнения кривой y		1	x2	следует, что dy = x dx.
2) Из уравнения кривой y		2	x2	следует, что dy = x dx.
		2

Заменяя в подынтегральном выражении у на 21 x2 , а dy на

хdx, получим, что

2										3															2
2			1	x2					1		x2						9 x2						1		x2
I	2		1				6 x		1				dx		2x								1				xdx
I	2						6 x						dx		2x												xdx
0		2						2													2
2	2	3x7 dx
3x	2	3x7 dx						88
0
	3) Так как уравнение линии x																		1			y 2 , то dx = ydy. Заменим
	3) Так как уравнение линии x																					y 2 , то dx = ydy. Заменим
																		2
в подынтегральном выражении х,																	на				1			y2 , а		dx		на	ydy, полу-
в подынтегральном выражении х,																	на				2			y2 , а		dx		на	ydy, полу-
																					2
чим, учитывая, что у изменяется от 0																			до 2.
		2								1								1								1		2
		2										x2	y3							y2							y2		y2 dy
	I				2 y			6							ydy		2								9
	I	0			2 y			6		2					ydy		2	2							9	2
		0								2								2								2
2	3 y2				21	y6						y3		3	y7	2					3
					21			dy						3			8				3				128			88 .
								dy									8								128			88 .
0		4											4			0					4

4)Убедиться самостоятельно, что I = - 88.

5)Вычислим этот интеграл по ломанной ОСА, состоящий

из отрезка ОС оси ОХ и отрезка СА прямой Х = 2.

В этом случае на отрезке ОС: у = 0, dy = 0. На отрезке СА:

х = 2, dх = 0, а у изменяется от 0 до 2,								так как
							.
						OCA OC CA
	2		2		2		3	2
	2
I		2 2 9 2		y		dy 4 y 12y			88 .
I		2 2 9 2		y		dy 4 y 12y		0	88 .
	0							0

Итак, по какой бы из указанных кривых, соединяющих точки (0, 0) и (2, 2), мы не вычисляли этот интеграл, оказывается, что он равен одному и тому же числу. Иначе говоря, величина этого интеграла не зависит от пути интегрирования.

Ниже будет указано условие, которому должно удовлетворять подынтегральное выражение Р(х,у)dx + Q(x,y)dy в криво-

линейном интеграле второго рода, чтобы интеграл не зависел от пути интегрирования, соединяющего эти точки.

3.3. Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования

Если функции Р(х,у) и Q(x,y) определены и непрерывны

вместе со своими частными производными	P	и	Q	в замк-
	y		x

нутой ограниченной односвязью области D,	то для того, чтобы
в криволинейный интеграл

P x, y dx Q x, y dy

не зависел от формы пути интегрирования, необходимо и достаточно, чтобы во всех точках этой области выполнялось условие

	P	=	Q	.	(3.15)

	y		x
Но условие (3.15) является необходимым и достаточным для
того, чтобы выражение Р(х,у)dx + Q(x,y)dy,					являлось полным

дифференциалом некоторой функции. Поэтому можно утверждать, что для того, чтобы криволинейный интеграл не зависел от пути интегрирования АВ, а зависел только от его концов и достаточно, чтобы подынтегральное выражение Рdx + Qdy, было полным дифференциалом некоторой функции.

Но, если выполняются условия (3.15) и выражение Рdx + Qdy, является полным дифференциалом некоторой функции, то криволинейный интеграл P (х,у)dx + Q(x,y)dy, взятый по любому

замкнутому контуру L целиком лежащему в односвязной ограниченной замкнутой области D равен 0.

Если путь, по которому вычисляется криволинейный интеграл, безразличен, то употребляется обозначение:

x1 , y1

P x, y dx Q x, y dy

(3.16),

x0 , y0

где (х0, у0) и (х1, у1) – координаты начала и конца пути интегрирования.

Задача 3.11. Выяснить, будет ли криволинейный интеграл зависеть от формы пути интегрирования:

I 6 xy 4 y2 5 y dx 3x2 8xy 5x dy .

Решение. Здесь Р(х, у) = 6ху + 4у2 + 5у,

а функция Q(x,y) = 3x2 + 8xy + 5x. Интеграл не будет зависеть от пути интегрирования, если выполнено условия (3.15).

6 x 8 y 5

;

6 x 8 y 5

Следовательно,

и криволинейный интеграл за-

висит от формы пути интегрирования.

Задача 3.12. Убедится, что интеграл

6 xy2

4x3 dx 6 x2 y 3 y2 dy

не зависит от формы пути интегрирования, и после этого вычислить его по отрезку прямой, соединяющей точки (2, 3) и (3, 4).

Решение. Р(х, у) = 6ху2 +					4х3 ,	Q(x,y) = 6x2y + 3у2.
	P	12xy ;	Q	12xy ,	т.е.	P	Q	.
	y		x			y	x

Интеграл не будет зависеть от пути интегрирования.

Уравнение прямой, соединяющий точки с координатами

(2, 3) и (3, 4) имеет вид: у = х + 1; dy = dx.

Получим:

3,4

6 xy2

4x3 dx 6 x2 y 3 y2

2,3

4 x3

6 x2 x

1 2

6 x x 1 2

3 x

426 .

Ответ:

426.

Задача 3.13. Будет ли криволинейный интеграл,

3 y 2

2 y

dy ,

L x2

взятый по замкнутому контуру L равен 0 ?

Решение: При выполнении условия

(где Р(х, у) =

3 y2

, Q(х, у) =

2 y

Криволинейный интеграл, взятый по любому замкнутому контуру, будет равен нулю. Поэтому, чтобы ответить на вопрос, вычислим:

6 y

т.е.

x x4

Так как функции выражение Р(х,у) и Q(x,y) и их частные

производные

имеют разрыв при х = 0, следует ука-

зать, что заданный интеграл, взятый по любому замкнутому контуру, будет равен нулю, но этот контур не должен проходить через точку с абсциссой х = 0.

Источник: https://studfile.net/preview/16565876/

Смотрите также:

_3 тема - Диффузия
00601
01. Концепция БД
02_ЛР
02. РСЧС_ВСМК_Таблица
05. Частная патология ССС - Инфаркт миокарда
0501 Конунников ЛР10-3
0501_Конунников_ЛР№2
06-20-DatabasesGenomEvolution
07