Материал: Криволинейные и поверхностные интегралы. методические указания для организации самостоятельной работы по курсу «Высшая математика». Пантелеев И.Н

Вариант 13

1. Вычислить криволинейный интеграл первого рода

ò(x 2 y + xy 2 ) dl по дуге L окружности

L

òò(x + y)ds по пространственной области S = {(x, y, z)},

S

ìx 2 + y 2 = 4,ü

определяемой условиями í ý .

îz = 0, z = 4 þ

6. Вычислить поверхностный интеграл второго рода

òò x 2 dydz + y 2 dxdz + z 2 dxdy, где S – внешняя сторона

S

поверхности верхней полусферы x 2 + y 2 + z 2 = a 2 .

26

x = cos3 t, y = sin 3 t , лежащей во второй четверти p £ t £ p , 2

плотность считать равной 2.

3. Вычислить криволинейный интеграл второго рода

ò- x cos ydx + y sin xdy , где L - отрезок прямой от точки А(0,0)

L

до точки В (p,2p ) .

4. Вычислить площадь, ограниченную эллипсом x = 3 cos t, y = sin t, 0 £ t £ 2p .

5. Вычислить поверхностный интеграл первого рода

òò(x + y + z)ds по пространственной области S = {(x, y, z)},

S

определяемой условиями ìíx 2 + y 2 = 1,üý .

îz = 0, z = 1 þ

6. Вычислить поверхностный интеграл второго рода

òò x3 dydz + y 3dxdz + z 3dxdy, где S – внешняя сторона

S

поверхности x 2 + y 2 + z 2 = a 2 .

27

Вариант 15

1. Вычислить криволинейный интеграл первого рода

ò(3x 2 + 4 y) dl , если L –дуга окружности

L

x = 6 cos t, y = 6sin t p £ t £ 3p .

44

2.Вычислить статический момент относительно координатных осей прямоугольного отрезка СД соединяющего точки (1,2) и (2,3). Плотность в каждой точке отрезка равно произведению координат этой точки.

3.Вычислить криволинейный интеграл второго рода

òx2dx + (x + z)dy + xy dz , где L – дуга кривой

L

x = sin t, y = sin 2 t, z = sin 3 t при 0 £ t £ p . 2

4. Вычислить работу, производимую силой

F = (x 2 + y) i + (x + y 2 ) j при перемещении материальной точки из А(1,2) в В(2,1) по прямой, соединяющей эти точки. 5. Вычислить поверхностный интеграл первого рода

òò( y2 -1)ds по пространственной области S = {(x, y, z)},

S

определяемой условиями ìíx 2 + y 2 = 2,üý .

îz = 0, z = 1 þ

6. Вычислить поверхностный интеграл второго рода

òò(x - y)dxdy + (z - x)dxdz + ( y - z)dydz, где S – внешняя

S

сторона конической поверхности x 2 + y 2 = z 2 , (0 £ z £ h) .

28

x = 3 , если в каждой точке кривой плотность равна квадрату

ее абсциссы.

3. Вычислить криволинейный интеграл второго рода

4. Найти работу, производимую силой F = x6 i + xy j вдоль

кубической параболы y = x3 от точки А(0,0) до точки В(2,8). 5. Вычислить поверхностный интеграл первого рода

òò(2 - x2 - y2 )ds по пространственной области S = {(x, y, z)},

6.Вычислить поверхностный интеграл второго рода

òòx dydz + y dxdz + z dxdy, где S – положительная сторона

S

куба, составленного плоскостями x = 0, y = 0, z = 0, x = 1, y = 1, z = 1.

29

Вариант 17

1. Вычислить криволинейный интеграл первого рода

ò(2x 2 + 3y) dl , если L –дуга кривой

L

x = 6 cos2 t, y = 6sin 2 t p £ t £ p .

62

2.Найти массу участка кривой y = 3lnx от точки с абсциссой

x1 = 2 до точки с абсциссой x2 = 5 , если плотность в каждой точке равна квадрату ее абсциссы.

3. Вычислить криволинейный интеграл второго рода

ò y dx - x dy , где L – дуга астроиды x = a cos3 t, y = a sin 3 t от

L

точки А(а,0) до точки В(0,а).

4. Применяя формулу Грина, вычислить криволинейный

пробегаемой так, что ее внутренность остается слева. 5. Вычислить поверхностный интеграл первого рода

òò(x2 + z)ds по пространственной области S = {(x, y, z)},

6.Вычислить поверхностный интеграл второго рода

òòx 2 y 2 z dxdy, где S – положительная сторона нижней

S

половины сферы x 2 + y 2 + z 2 = R 2 .

30