Материал: Лабораторные (заочн)

Скачать

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

4.5. Пример выполнения задания

1. Задание для численного интегрирования:

ln(x) – подынтегральная функция;

a=1, b=3–пределы интегрирования;

методы интегрирования для выполнения п.2 – средних прямоугольников, трапеций, Симпсона;

методы интегрирования для выполнения п.3 – средних прямоугольников, трапеций, Симпсона;

начальный шаг интегрирования h0=1.

2.«Ручной расчет» интеграла с шагом h0 =1 и h0 /2 (Ih0 и Ih0/2 ) и оценка его погрешности по правилу Рунге, при использовании MathCad только как калькулятора

В качестве примера рассмотрим вычисление интеграла 3

ln xdx с шагом h0=1 и

h0

0.5

1

 

2

 

методами средних прямоугольников, трапеций и Симпсона.

Правило Рунге применяют для вычисления погрешности путём двойного просчёта интеграла с шагами h/2 и h, при этом погрешность вычисляется по формуле R Ih/22P 1Ih .

Полагают, что интеграл вычислен с точностью

Е, если

 

R

 

E , тогда

I Ih/2

R, где I –

 

 

уточненное значение интеграла, p – порядок метода.

 

 

 

 

 

 

 

Вычислим интеграл 3

ln xdx с шагом h0=1 и h0

0.5 по формуле

 

 

 

 

 

1

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

средних

прямоугольников

b

n 1

 

 

 

 

 

погрешность

f(x)dx

h f(a h i h)и оценим

 

 

 

 

a

i 0

2

 

 

 

интегрирования методом двойного просчёта:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (x) ln(x) h 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 1 1.25 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

f(x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 0

1.250.223144

1.50.405465

1.750.559616

2 0.693147

2.250.81093

2.50.916291

2.751.011601

 

3

 

 

1.098612

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I1 h (f (1.5) f (2.5))

1.321756

 

 

I2

h (f(1.25) f(1.75)

f(2.25)

f(2.75))

1.302645

 

2

 

 

 

 

 

 

 

I2 I1

 

3

 

 

R

3

 

6.3702

10

 

 

Isr I2 R

1.296275

 

 

 

 

 

 

 

Тема1.4.Численноеинтегрирование (Лабораторный практикум)

Страница 3

трапеций

 

b

 

 

(y0

n 1

yi f(xi)и оценим погрешность

 

f(x)dx h

yn 2 yi ),где

 

 

 

 

 

a

2

 

i 1

 

 

интегрирования методом двойного просчета:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (x) ln(x)

h 1

 

 

 

 

 

 

 

 

x 1 1.5 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

f(x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

0

 

 

 

 

 

1.50.405465

2 0.693147

2.50.916291

3 1.098612

I1

h

(f(1)

f(3)

2f

(2)) 1.242453

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

I2

h

[f(1)

f(3)

2 (f(1.5)

f(2) f(2.5))]

1.282105

4

 

 

 

 

 

 

 

 

R

I2 I1

 

0.01322

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

Itrap I2 R 1.295322

Симпсона

b f(x)dx h[y0 y2m 4(y1 y3 ... y2m 1) 2(y2 y4 ... y2m 2)]

a

3

 

 

где

yi f(xi),

n 2 m четное

число

и оценим погрешность интегрирования методом двойного просчета:

f (x) ln(x)

h

1

x

1 1.5 3

 

 

x

f(x)

 

1 0

1.50.405465

2 0.693147

2.50.916291

 

 

3

 

 

1.098612

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I1

 

h

(f(1)

f(3)

4 f(2))

1.2904

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I2

 

h

[f(1)

f(3)

4 (f(1.5)

f(2.5)) 2 f(2)]

1.295322

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I2 I1

 

 

4

 

 

 

R

 

 

15

 

3.28089 10

 

 

 

Isimp I2

R 1.29565

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тема1.4.Численноеинтегрирование (Лабораторный практикум)

Страница 4

3. «Ручной расчет» интеграла с использованием MathCad с шагом h0 и h0 /2 и оценка его погрешности по правилу Рунге

поформулесреднихпрямоугольников:

f(x) lnx( )

 

a 1

b 3

 

 

 

 

 

 

h 1

n

(b a)

i 0 n 1

xi

a h

i h

yi f xi

Ip1 h yi

Ip1 1.3218

 

 

h

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

i

 

h h

 

(b a)

 

 

a h

 

 

 

n

i 0 n 1

xi

i h

yi f xi

Ip2 h yi

Ip2 1.3026

 

 

h

 

2

Ip1 Ip2

 

 

 

2

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R

 

 

 

 

 

R 6.3702 10

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

поформулетрапеций:

f (x) ln(x) h 1 a 1 b 3

n

I1

b a

 

2

i 0 n

xi a i h

yi f xi

 

 

h

 

h

n 1

 

 

 

 

 

 

yi

yi 1

1.242453

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

i 0

 

 

 

 

h

h

0.5

n

b a

4

i

0 n

xi

a

i h

yi f xi

2

h

I2

R

n 1

i 0h

I2 I1

3

yi yi 1 1.282105

0.01322

поформулеСимпсона:

f (x) ln(x) h 1 a 1 b 3

 

n

b a

2

 

i 0 n

xi a i h

yi f xi

 

 

 

 

 

h

 

 

 

 

 

I1

h

y

 

y

 

4y

1.2904

 

 

 

 

 

3

 

0

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

h

 

h

0.5

n

b a

 

4 i

0 n

xi a i h

yi f xi

 

 

2

 

h

 

 

m

1 3 n 1

 

k 2 4 n

2

 

 

 

 

 

 

I2

h

y0 yn

4

ym

2 yk

1.295322

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

I2 I1

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

R

 

 

 

 

 

 

 

3.28089 10

 

 

 

 

 

 

 

 

 

15

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тема1.4.Численноеинтегрирование (Лабораторный практикум)

Страница 5

4. Результаты решения задачи с помощью математического пакета Mathcad

Для вычисления определенного интеграла с использованием пакета используется шаблон, который вызывается кнопкой с изображением определенного интеграла с дополнительной панели Операции математического анализа панели Математика:

3

f(x) ln(x) f(x) dx 1.2958

1

4.6.Контрольные вопросы по теме Численное интегрирование

1.Что такое шаг интегрирования?

2.По какой формуле вычисляется шаг изменения х на отрезке [a;b]?

3.Каким образом связана задача численного интегрирования и интерполяция?

4.Какое влияние оказывает уменьшение числа разбиений на отрезке [a;b] на погрешность интегрирования?

5.Каким образом вычисляется определенный интеграл в случае, если подынтегральная функция задана таблицей с переменным шагом?

6.Какой из изученных вами методов численного интегрирования обладает высшей степенью точности?

7.Зависит ли точность численного интегрирования от величины шага интегрирования?

8.Для чего предназначен метод двойного просчета?

9.Какие методы относятся к методам численного интегрирования?

10.Что представляет собой формула для вычисления элементарного интеграла по формуле трапеций?

11.Что представляет собой формула для вычисления элементарного интеграла по формуле Симпсона?

12.Интерполяционным многочленом какой степени заменяется подынтегральная функция в методе прямоугольников?

13.Интерполяционным многочленом какой степени заменяется подынтегральная функция в методе трапеций?

14.Как называется метод численного интегрирования, в котором подынтегральная функция заменяется полиномом нулевой степени?

15.В каком методе для вычисления интеграла необходимо выбирать количество интервалов разбиения кратное двум?

16.Какой метод численного интегрирования даст наиболее точный результат, если подынтегральная функция имеет вид y = 5x3?

17.В каком методе численного интегрирования подынтегральная функция заменяется квадратичным полиномом?

18.Какой метод численного интегрирования даст точный результат, если подынтегральная функция имеет вид f(x) = x2?

19.Какой метод интегрирования наилучшим образом подходит для вычисления интеграла линейной функции?

20.Обеспечивают ли методы трапеций и метод средних прямоугольников точность одного порядка?

21.Какой из известных вам методов интегрирования обладает наименьшей точностью?

22.Какому числу кратно количество интервалов разбиения в методе Симпсона?

23.Позволяет ли метод прямоугольников получить точное значение интеграла, если подынтегральная функция – полином 0-й степени?

Тема1.4.Численноеинтегрирование (Лабораторный практикум)

Страница 6

Тема 5. Лабораторная работа Методы решения

обыкновенных дифференциальных уравнений»

5.1.Вопросы, подлежащие изучению

1.Постановка задачи численного решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Задача Коши.

1.Методы Рунге-Кутты различных порядков, общие свойства.

2.Погрешности методов.

3.Выбор шага интегрирования.

4.Графическая иллюстрация методов Рунге-Кутты.

5.2.Задание

1.Выбрать индивидуальное задание в табл. 5-1 для решения обыкновенных дифференциальных уравнений:

дифференциальное уравнение y' f(x,y);

интервал [a;b] , где ищется решение дифференциального уравнения;

начальные условия x0, y0;

шаг интегрирования h.

2.Найти аналитическое решение y(x) заданного дифференциального уравнения, полагая его точным.

3.Вычислить значения полученного решенияy(x) на отрезке [a;b] с шагом h.

4.Найти численное решение дифференциального уравнения методом Эйлера –

функцию ye(x) в первых 4-х точках отрезка [a;b] с шагом h «расчетом вручную» (можно использовать математический пакет только как калькулятор). Оценить погрешности полученного решения по методу двойного просчета (правилу Рунге).

5.Найти численное решение дифференциального уравнения методом Эйлера –

функцию y1(x) во всех точках отрезка [a;b] с шагом h, используя математический пакет.

6.Найти численное решение дифференциального уравнения методом Рунге-Кутты 2

порядка – функцию y2(x) в точках отрезка [a;b] с шагом h, используя математический пакет.

7.Найти численное решение дифференциального уравнения методом Рунге-Кутты 4

порядка – функцию y4(x) в точках отрезка [a;b] с шагом h, используя математический пакет.

8.Вычислить значения погрешностей численного решения дифференциального уравнения для каждого метода.

9.Графически проиллюстрировать полученныерешения.

Тема1.5.Методы решенияОДУ (Лабораторный практикум)

Страница 1
Источник: https://studfile.net/preview/16439560/

Смотрите также:

02_ЛР
1. Понятие регулярности полетов ла факторы, влияющие на регулярность вылета
1131
1230
134126
1444
1532
1564
1804
1829