Документ: Лабораторные (заочн), страницы 31-35

5.3. Варианты задания

Таблица 5-1

№	Уравнение
вар	y' = x y2
1
2	y' = y2 (x2+ x + 1)
3	y' = x3 y2
4	y' = y / cos2(x)
5	y' = y cos(x)
6	y' = y2cos(x)
7	y' = x2 y + y
8	y' = (x – 1)2 y2
9	y' = x3 y
10	y' = y2 sin(x)
11	y' = y sin(x)
12	y' = x y
13	y' = y2 / x
14	y' = x2 y
15	y' = y2 (2 – x)
16	y' = 3 x2 y2
17	y' = y2 (ex + 4x)
18	y' = y (x – 1)
19	y' = x (1 + y2)
20	y' = x / (2y)
21	y' = y / (3 x2)
22	y' = 4 x e-3y
23	y' = 2 x y
24	y' = 2 x (y1/2)
25	y' = y2 ex
26	y' = x (1 – y2)1/2
27	y' = (1 + x) y
28	y' = x2 (1 – y2)1/2
29	y' = (x2 + x) y2
30	y' = y2 / cos2(x)
31	y' = y2sin x
32	y' = cos(x) y
33	y' = 2x y
34	y' = (x-1)2 y2
35	y' =	y2 cos(x)
36	y' = 0.5 y2
37	y' = y2 x
38	y' =	xy
39	y' = y2 ex
40	y' = e-y

x0

y0

h

0	-2	0.4
0	-2	0.2
0	-2	0.2
0	1	0.1
0	1	0.5
0	-1	0.4
0	1	0.2
0	-1	0.5
0	1	0.2
0	0.5	0.2
0	1	0.4
0	1	0.2
1	1	0.2
0	1	0.2
0	-1	0.4
0	-4	0.2
0	-1	0.4
0	1	0.4
0	0	0.2
0	1	0.4
1	1	0.2
1	0	0.2
0	1	0.2
0	1	0.4
0	-2	0.4
0	0	0.4
0	1	0.2
0	0	0.4
0	-1	0.4
0	-1	0.3
0	1	0.1
0	1	0.1
0	1	0.1
0	1	0.1
0	-1	0.1
1	1	0.1
0	-2	0.1
3	3	0.1
1	-1	0.1
1	0	0.1

a
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
3
1
1

b

4
2
2
1
5
4
2
5
2
2
4
2
2
2
4
2
4
4
1.6
4
3
3
2
4
4
1.6
2
1.6
4
1.5
1
1
1
1
1
2
1
4
2
2

Тема1.5.Методы решенияОДУ (Лабораторный практикум)

Страница 2

5.4. Содержание отчета

1.Индивидуальное задание.

2.Решение ОДУ аналитическим методом.

3.Значения полученного аналитического решения y(x) на отрезке [a;b] с шагом h,

4.«Ручной расчет» численного решения ОДУ методом Эйлера – функция ye(x) в первых 4-х точках заданного отрезка [a;b] с шагом h и оценка погрешностей полученного решения по методу двойного просчета (правилу Рунге).

5.Значения численного решения ОДУ, вычисленные методом Эйлера – функция y1(x) во всех точках заданногоотрезка [a;b] с шагом h, используя математический пакет.

6.Значения численного решения ОДУ, вычисленные методом Рунге-Кутты 2 порядка –

функция y2(x) во всех точках заданного отрезка [a;b] с шагом h, используя математический пакет.

7.Значения численного решения ОДУ, вычисленные методом Рунге-Кутты 4 порядка –

функция y4(x) во всех точках заданного отрезка [a;b] с шагом h, используя математический пакет.

8.Вычисленные значения погрешностей численного решения дифференциального уравнения для каждого метода.

9.Графическая иллюстрация полученных решений.

5.5.Пример выполнения задания

1.Задание для численного решения обыкновенных дифференциальных уравнений:

дифференциальное уравнение y' 2yx ;

интервал [1;6];

начальные условия x0=1, y0=1;

шаг интегрирования h=0.5.

2.Точное аналитическое решение заданного дифференциального уравнения

Найдем точное аналитическое решение заданного дифференциального уравнения y(x)

методом разделения переменных. dydx 2yx

Запишем уравнение в виде ydy 2xdx и проинтегрируем обе части равенства с учетом начальных условий.

ydy	y2	;	2xdx x2
	2

2y2 x2 c

Из начальных условий найдем константу c: 12 1 с, следовательно с 12

y 2x2 2c 2x2 1

Таким	образом, аналитическое (точное) решение дифференциального	уравнения
y(x)
	2x2 1	Страница 3
Тема1.5.Методы решенияОДУ (Лабораторный практикум)

3. Значения точного решения ОДУ – y(x)

Вычислим значения полученного решения y(xi), где i 0,1,...,n, n bha на отрезке [1;6] с шагом изменения аргумента h=0.5:

y(x) 2x2 1

x 1 1.5 6

x

y(x)

11

1.51.87083

22.64575

2.53.39116

34.12311

3.54.84768

45.56776

4.56.2849

57

5.57.71362

68.42615

4.«Ручной расчет» численного решения ОДУ методом Эйлера и оценка погрешностей полученного решения по методу двойного просчета.

Выполним «ручной расчет» численного решения ОДУ методом Эйлера. Найдем значения

численного решения ОДУ методом Эйлера (функцию ye(x)) в первых 4-х точках заданного отрезка [1;6] с шагом h=0.5, т.е. на отрезке [1;3].

Для этого ОДУ записывают в виде y’=f(x,y).

Рекуррентная формула для определения очередного значения функции по методу Эйлера имеет вид: yi+1=yi+h f(xi,yi), где i 0,1,...,n, n bha .

Таким образом, в нашем случае формула расчета имеет вид: yei 1 yei h f (xi, yei ), где i=0,1,2,3,4. Очередное значение аргумента функции рассчитывается по формуле xi 1 xi h. Решение:

Задано ОДУ y' 2yx , сначальными условиями x0=1, y0=1 и шагоминтегрирования h=0.5.

Т.е.	f (x, y) 2x . Расчет 4-х точек решения ОДУ методом Эйлера:
		y
ye	ye	h f (x	0	, ye ) 1 0.5		2 1	2,		x x		0	h 1 0.5 1.5
ye	ye	h f (x		, ye ) 1 0.5			2,		x x			h 1 0.5 1.5
1	0			0		1			1
						1
ye	ye	h f (x , ye ) 2 0.5			2 1.5			2.75,		x		2	x		h 1.5 0.5 2
ye	ye	h f (x , ye ) 2 0.5						2.75,		x			x		h 1.5 0.5 2
2	1	1		1		2								1
						2
ye	ye	h f (x	2	, ye ) 2.75 0.5			2 2		3.477			,	x	3	x	2	h 2 0.5 2.5
ye	ye	h f (x		, ye ) 2.75 0.5					3.477			,	x		x		h 2 0.5 2.5
3	2			2			2.75
							2.75

Тема1.5.Методы решенияОДУ (Лабораторный практикум)

Страница 4

ye	ye	h f (x	, ye ) 3.477 0.5	2 2.5	4.196	, x	4	x	3	h 2.5 0.5 3

4	3	3	3	3.477

Таким образом, численное решение ОДУ методом Эйлера есть табличная функция ye(x):

x ye(x)

1 1

1.52

2 2.75

2.5 3.477

3 4.196

Формула для оценки погрешности решения ОДУ методами Рунге-Кутты имеет следующий вид:

R	yi(h)	yi(h/2)
	yi(h)	yi(h/2)

	2p 1
	2p 1

где p – порядок метода Рунге-Кутты. При этом в каждой точке хi по формуле, соответствующей методу, производится расчет yi с шагом h (yi(h)) и с шагом h/2 (yi(h/2)).

Расчет по приведенной формуле называется методом двойного просчета или правилом

Рунге.

Выполним оценку погрешностей полученного методом Эйлера решения ОДУ по этому правилу. Для этого необходимо решить ОДУ с шагом h/2=0.25.

y' 2yx , сначальными условиями x0=1, y0=1 и шагом интегрирования h=0.25

ye1 1 0.25		2 1				1.5			x1=1.25

		1							x2=1.5

ye2 1.5 0.25			2 1.25				1.917

				1.5

ye3 1.917	0.25				2 1.5			2.308	x3=1.75

					1.917

ye4 2.308	0.25				2 1.75			2.687	x4=2

					2.308
ye5 2.687	0.25					2 2		3.059	x5=2.25

				2.687
ye6 3.059	0.25				2 2.25			3.427	x6=2.5

					3.059
ye7 3.427	0.25				2 2.5			3.792	x7=2.75

					3.427

ye8 3.792	0.25				2 2.75			4.155	x8=3

					3.792

Тема1.5.Методы решенияОДУ (Лабораторный практикум)

Страница 5

Оценим погрешность решения ОДУ методом Эйлера (или методом Рунге-Кутты 1 порядка,

где p=1) по формуле:R

втаблицу:

x

1

1.25

1.5

1.75

2

2.25

2.5

2.75

3

yi(h) yi(h/2)

21 1

ye(x)(h)

1

2

2.75

3.477

4.196

yi(h) yi(h/2) для каждой точки и сведем вычисления

ye(x)(h/2)	R
1
1.5
1.917	0.083
2.308
2.687	0.063
3.059
3.427	0.05
3.792
4.155	0.041

5.Численное решение ОДУ методом Эйлера с использованием Mathcad

Найдем значения численного решения ОДУ методом Эйлера (функцию y1(x)) во всех

точках заданного отрезка [1;6] с шагом h=0.5, используя математический пакет Mathcad:

Решение методом Эйлера (Рунге-Кутты 1 порядка) - ф-ция y1:

f(x y)	2 x	h 0.5	n 10	i 0 n	1
	y

					x			1
Начальные условия:					0			1
				y1				1
						0
Формулы для расчета:
xi 1				xi h
				h f x y1
y1		y1	i	h f x y1
	i 1		i	i			i

Вывод всей таблицы-решения:
i	0 n
xi		y1i

1 1

1.52

2 2.75

2.53.47727

3 4.19623

3.54.91115

4 5.62382

4.56.33508

5 7.04541

5.5 7.75509

6 8.4643

				Страница 6
Тема1.5.Методы решенияОДУ (Лабораторный практикум)				Страница 6

Материал: Лабораторные (заочн)

Смотрите также:

0	-2	0.4
0	-2	0.2
0	-2	0.2
0	1	0.1
0	1	0.5
0	-1	0.4
0	1	0.2
0	-1	0.5
0	1	0.2
0	0.5	0.2
0	1	0.4
0	1	0.2
1	1	0.2
0	1	0.2
0	-1	0.4
0	-4	0.2
0	-1	0.4
0	1	0.4
0	0	0.2
0	1	0.4
1	1	0.2
1	0	0.2
0	1	0.2
0	1	0.4
0	-2	0.4
0	0	0.4
0	1	0.2
0	0	0.4
0	-1	0.4
0	-1	0.3
0	1	0.1
0	1	0.1
0	1	0.1
0	1	0.1
0	-1	0.1
1	1	0.1
0	-2	0.1
3	3	0.1
1	-1	0.1
1	0	0.1

0	-2	0.4
0	-2	0.2
0	-2	0.2
0	1	0.1
0	1	0.5
0	-1	0.4
0	1	0.2
0	-1	0.5
0	1	0.2
0	0.5	0.2
0	1	0.4
0	1	0.2
1	1	0.2
0	1	0.2
0	-1	0.4
0	-4	0.2
0	-1	0.4
0	1	0.4
0	0	0.2
0	1	0.4
1	1	0.2
1	0	0.2
0	1	0.2
0	1	0.4
0	-2	0.4
0	0	0.4
0	1	0.2
0	0	0.4
0	-1	0.4
0	-1	0.3
0	1	0.1
0	1	0.1
0	1	0.1
0	1	0.1
0	-1	0.1
1	1	0.1
0	-2	0.1
3	3	0.1
1	-1	0.1
1	0	0.1

0	-2	0.4
0	-2	0.2
0	-2	0.2
0	1	0.1
0	1	0.5
0	-1	0.4
0	1	0.2
0	-1	0.5
0	1	0.2
0	0.5	0.2
0	1	0.4
0	1	0.2
1	1	0.2
0	1	0.2
0	-1	0.4
0	-4	0.2
0	-1	0.4
0	1	0.4
0	0	0.2
0	1	0.4
1	1	0.2
1	0	0.2
0	1	0.2
0	1	0.4
0	-2	0.4
0	0	0.4
0	1	0.2
0	0	0.4
0	-1	0.4
0	-1	0.3
0	1	0.1
0	1	0.1
0	1	0.1
0	1	0.1
0	-1	0.1
1	1	0.1
0	-2	0.1
3	3	0.1
1	-1	0.1
1	0	0.1