Материал: Мерзликин Г.Я. Основы теории ядерных реакторов. Курс для эксплуатационного персонала АЭС

означает, что величина энергии сшивки (как раз располагающаяся на "хвосте" максвелловского спектра) с ростом температуры увеличивается. А раз так, то с ростом температуры должна уменьшаться величина возраста тепловых нейтронов - в соответствии с формулой (5.3.10а).

Приведенные рассуждения укладываются в простую и достаточно наглядную схему качественного влияния температуры на величину возраста τт:

Схема опосредствованного влияния температуры среды на величину возраста тепловых нейтронов.

Итак, величина возраста тепловых нейтронов в общем случае находится во власти двух конкурирующих факторов. Какой из них является превалирующим?

-В твёрдых материалах (топливная композиция, графит, циркониевый сплав, нержавеющая сталь) величина возраста тепловых нейтронов с увеличением температуры слабо уменьшается (уменьшение плотности твердых материалов крайне незначительно; влияние температуры на величину возраста тепловых нейтронов прослеживается только по верхней цепочке, через увеличение Ес);

-в жидкостях, парах, газах определяющим является эффект температурного изменения плотности, поэтому с ростом температуры возраст тепловых нейтронов в них однозначно возрастает. Это касается воды, водяного пара, азота и гелия - фигурантов ак-

тивных зон отечественных тепловых реакторов АЭС.

В частности, в воде активной зоны ВВЭР при разогреве реактора от 20 до 300оС величина возраста тепловых нейтронов растёт приблизительно от 30 до 80 см2.

-средний возраст тепловых нейтронов в среде активной зоны ВВЭР, где вода занимает более половины объёма активной зоны, с ростом средней температуры активной зоны также однозначно растёт, что должно быть отнесено на счёт превалирующего влияния воды на величину возраста перед прочими материалами активной зоны.

б) Что же касается влияния давления на величину возраста тепловых нейтронов, то это влияние несущественно для твердых материалов и малосущественно для таких почти несжимаемых жидкостей, как вода, а наиболее существенно - для газов и паров.

Если быть принципиальным, то надо отметить, что с ростом давления (p) плотность воды (γ) слабо возрастает, а потому возрастают и величины её молекулярной концентрации (N) и сечений Σs и Σtr, а, следовательно, величина возраста тепловых нейтронов с ростом давления немного уменьшается.

Впрочем, барометрическое изменение плотности воды незначительно, а, значит, незначительно и барометрическое изменение возраста тепловых нейтронов.

5.4.Уравнение возраста Ферми и его решение

5.4.1.Плотность замедления нейтронов. В каждом кубическом сантиметре объёма активной зоны реактора движутся большие количества нейтронов самых различных энергий. И мысленный "моментальный снимок" движущихся в единичном объёме среды по разным направлениям и с различными скоростями нейтронов способен вызвать ощущение хаоса, лишенного каких-либо закономерностей.

Но, поскольку движением нейтронов управляет Её Величество Среда, управляет в силу присущих ей природных (= физических, точнее, замедляющих) свойств, какая-то закономерность пространственно-энергетического распределения замедляющихся нейтронов в зависимости от замедляющих свойств среды должна быть. Одну из таких за-

кономерностей (скорее всего, наиболее важную) описывает уравнение возраста Ферми. Но прежде чем знакомиться с самим этим уравнением, рассмотрим одну из харак-

теристик, фигурирующих в нём - с плотностью замедления нейтронов.

Плотность замедления q(E) нейтронов при данной энергии Е называется число нейтронов, ежесекундно пересекающих в процессе замедления в единичном объёме среды данный уровень энергии Е.

В соответствии с определением размерность q(E) - нейтр/см3с. Чем должна определяться величина q(E) в реакторе?

-Во-первых, q(E) - величина локальная, поскольку трудно ожидать, чтобы в разных микрообъёмах активной зоны реакция деления шла с одинаковой скоростью, а, значит, и нейтроны деления рождались бы с одинаковой скоростью. Известный нам процесс утечки нейтронов, идущий, главным образом, из периферийных слоев активной зоны, конечно же, должен уменьшать плотность нейтронов любой энергии в периферийных объёмах активной зоны, и, значит, плотность нейтронов любой энергии в центральной области активной зоны должна быть выше, а на её периферии - ниже. Неравномерность распределения плотности нейтронов в объёме активной зоны должна порождать неравномерность скоростей генерации нейтронов деления, а последняя должна неизбежно порождать неравномерность распределения величины плотности замедления нейтронов в объёме активной зоны.

Иначе говоря, величина плотности замедления q(E) является функцией координат точек активной зоны, то есть q = f(E,r), имея в виду под r(x,y,z) краткое обозначение ра- диус-вектора точки активной зоны с указанными координатами.

-Во-вторых, плотность замедления должна зависеть от замедляющих свойств среды активной зоны, а, значит, - от какой-то из характеристик замедляющих свойств этой среды. Возраст нейтронов с энергией Е оказался наиболее подходящей из всех известных нам характеристик замедляющих свойств: в среде конкретного состава возраст

τоднозначно связан с энергией нейтронов Е, и каждому определённому значению энергии Е замедляющихся нейтронов в среде соответствует своё определенное значе-

ние возраста τ(E) = ln(Eo/E)/3ξΣsΣtr.

Вот почему зависимость плотности замедления от координат, замедляющих свойств среды и энергии нейтронов можно записать более ёмко: q(r, E) = f (r, τ).

Ради лучшего понимания сущности величины плотности замедления полезно задуматься о двух "крайних" частностях этой величины.

Первая: плотность замедления в начале процесса замедления, то есть при Е = Ео = 2 МэВ, при средней энергии, с которой рождаются нейтроны в реакторе, и с которой они начинают замедляться. Если обозначить величину плотности замедления при Ео через qf, то эта величина в реакторе с полным основанием может быть названа скоростью генерации нейтронов деления, так как ясно: сколько нейтронов деления рождается ежесекундно в единичном объёме активной зоны - столько же их без задержки начинает процесс замедления в этом объёме, немедленно пересекая уровень энергии Ео.

Итак, qf = q(Eo) - это скорость генерации нейтронов деления.

Вторая частность: плотность замедления в конце процесса замедления нейтронов в активной зоне, т.е. при энергии Е = Ес. Эта величина может быть названа скоростью генерации тепловых нейтронов: сколько нейтронов пересекают ежесекундно в единичной объёме активной зоны уровень энергии Ес, - столько же их ежесекундно в этом единичном объёме становятся тепловыми нейтронами.

Итак, qт = q(Ec) - это скорость генерации тепловых нейтронов.

В общем же случае, в интервале энергий замедления Ес < E < Eo величина плотности замедления q = q(r,τ), разумеется, отлична от qf и от qт.

5.4.2. Уравнение возраста Ферми. При рассмотрении нейтронного цикла отмечалось, что подавляющее большинство веществ очень слабо поглощают эпитепловые нейтроны, и исключение из правила составляют резонансные захватчики замедляющихся нейтронов, среди которых выделяется 238U - обязательный компонент топлива активных зон большинства тепловых реакторов. Поэтому особенностью процесса реального замедления нейтронов в активных зонах сравнительно с замедлением в идеальных, не поглощающих замедляющиеся нейтроны, средах является непрерывное уменьшение количества замедляющихся нейтронов за счёт их резонансного захвата в процессе замедления.

Поэтому плотность замедления нейтронов любой энергии Е диапазона замедления в реальной активной зоне обязательно должна быть меньше, чем плотность замедления в той же активной зоне, лишённой резонансных захватчиков.

Это в большей степени существенно для гомогенного реактора, в котором все компоненты активной зоны (включая и резонансных захватчиков) равномерно распределены в активной зоне. Гетерогенного реактора это касается несколько меньше, так как подавляющее большинство нейтронов проходят процесс замедления в замедлителе - среде, почти не поглощающей эпитепловые нейтроны и расположенной отдельно от топливной композиции, в объёме которой содержится резонансный захватчик.

Относительно слабое поглощение эпитепловых нейтронов большинством материалов активной зоны в теории тепловых реакторов породило так называемое одногрупповое возрастное приближение, основная суть которого состоит в следующем:

-поглощение эпитепловых нейтронов считается не влияющим на процесс их замедления, то есть замедление в реальной активной зоне подчинено тем же закономерностям, что и в идеальной непоглощающей среде;

-снижение величины реальной плотности замедления в конце процесса замедле-

ния (qт) по сравнению с величиной плотности замедления в той же, но не поглощающей эпитепловые нейтроны среде (qт*) можно учесть с помощью известного нам коэффици-

ента ϕ - вероятности избежания резонансного захвата в активной зоне реактора:

Именно для непоглощающих эпитепловые нейтроны сред справедливо уравнение возраста Ферми:

Левая часть уравнения - производная функции плотности замедления по величине возраста нейтронов, а так как возраст нейтронов в конкретной среде однозначно связан с уровнем энергии замедляющихся нейтронов, то эта величина несет в себе неявный смысл скорости изменения плотности замедления по энергиям нейтронов.

Правая часть - оператор Лапласа от функции плотности замедления, то есть сумма вторых частных производных плотности замедления по координатам активной зоны.

В целом решение уравнения возраста для активной зоны конкретных геометрии и состава даёт функцию пространственного (то есть по координатам) и энергетического (то есть по возрастам, а значит - и по энергиям) распределения замедляющихся нейтронов в активной зоне в зависимости от замедляющих свойств среды активной зоны (которые, как мы видели ранее, скрыты в величине возраста). Возраст нейтронов τ фигурирует в уравнении Ферми в качестве сложной переменной.

5.4.3. Решение уравнения возраста. Уравнение возраста является дифференциальным уравнением второго порядка в частных производных, поэтому для получения конкретного его решения для условий активной зоны реактора необходимо указать пару начальных условий. В качестве последних можно использовать две упомянутых

одна из которых - Т(t) - является функцией только возраста t, а другая R(r) - функцией только координат r.

Если (5.4.3) - решение уравнения (5.4.2), то, будучи подставленным в (5.4.2), оно должно обращать последнее в тождество. Выполним эту подстановку, для чего найдём

так как функция R переменной t не содержит, а это значит, что при частном дифференцировании к ней можно относиться как к постоянной величине. Аналогично рас-

Задумавшись о том, когда может быть так, что две разные функции различных аргументов всегда тождественно равны друг другу при различных значениях этих аргументов, мы должны однозначно ответить так, как ответил Э.Ферми: это может быть только в том случае, если обе эти функции - есть постоянная величина.

Более того, связывая функцию (1/Т)dT/dt с физическим смыслом зависимости плотности замедления q* от возраста t, можно сказать, что эта постоянная величина (обозначим её - B2) должна иметь обязательно отрицательный знак, так как функция плотности замедления q*(t) не может быть возрастающей функцией с увеличением возраста нейтронов (иначе это противоречило бы физическому смыслу: число нейтронов в процессе их замедления может либо оставаться постоянным (в непоглощающей среде), либо убывать (за счёт поглощения и утечки), но никак не возрастать).

Поскольку B2 - присущая конкретному реактору величина, её принято называть

параметром реактора.

С учётом принятого обозначения упомянутой постоянной величины тождество (5.4.6) можно переписать в виде двух отдельных равенств:

Уравнение (5.4.7) представляет собой энергетическую часть уравнения возраста, в то время как уравнение (5.4.8) - пространственная его часть.

Общее решение дифференциального уравнения (5.4.7) имеет вид:

T = To exp(-B2t),

где То - некоторое значение функции Т при t = 0.

Cледовательно, плотность замедления q* в соответствии с (5.4.3) будет равна:

Но величину qf* - скорости генерации нейтронов деления - можно получить и из общих рассуждений, исходя из среднего значения плотности потока тепловых нейтронов в активной зоне реактора.

Если Σa - среднее по объёму активной зоны макросечение поглощения тепловых нейтронов, а Ф - средняя по её объёму плотность потока тепловых нейтронов, то:

- ΣaФ - это средняя по объёму активной зоны скорость поглощения тепловых нейтронов в ней, а

-ΣaФθ - это средняя по объёму активной зоны скорость поглощения тепловых нейтронов делящимися под действием тепловых нейтронов ядрами, а

-ΣaФθη - средняя по объёму активной зоны скорость генерации нейтронов деления, полученных в делениях ядер топлива под действием тепловых нейтронов, а

-ΣaФθηε - средняя скорость генерации всех нейтронов деления, полученных в делениях топлива нейтронами всех энергий; это и есть искомая нами величина

qf* = ΣaФθηε = ΣaФk∞ /ϕ.

Таким образом, общее решение (5.4.9) с учётом найденной величины функции R (5.4.11) будет иметь вид:

Выражение (5.4.12) - есть общее решение уравнения возраста Ферми, дающее величину плотности замедления q* при любом произвольном значении возраста τ. Из второго начального условия для плотности замедления тепловых нейтронов это выражение приобретает частный вид средней по объёму активной зоны скорости генерации тепловых нейтронов:

Напомним, что до сих пор речь велась о плотности замедления в идеальной не поглощающей замедляющиеся нейтроны среде. Подставляя найденную величину qт* в формулу (5.4.1), имеем:

qт = qт*ϕ = k∞ ΣaФ exp(- B2τт) (5.4.14)

- выражение для скорости генерации тепловых нейтронов в реальной активной зоне с резонансными поглотителями замедляющихся нейтронов.

5.5. Вероятность избежания утечки замедляющихся нейтронов

Вероятность избежания утечки замедляющихся нейтронов pз - это доля нейтронов, избежавших утечки при замедлении, от общего числа нейтронов поколения, начавших процесс замедления в активной зоне. Но величину этой вероятности можно переосмыслить и по-другому:

*) Имеются в виду активные зоны одинакового состава.

Выражение для скорости генерации тепловых нейтронов в реальной активной зоне qт получено в предыдущем пункте. Подходя к величине qт∞ с теми же мерками в рассуждениях, что и к qт, несложно получить: