Материал: Методические указания для организации самостоятельной работы по дисциплине «Алгебра и геометрия». Майорова С.П., Завгородний М.Г

3. НЕПРИВОДИМЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ НАД ПОЛЕМ. КАНОНИЧЕСКОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНА

Основные теоретические сведения

В противном случае многочлен называется приводимым над полем P . Многочлены нулевой степени и нулевой многочлен не относят ни к приводимым, ни к неприводимым многочленам.

Другими словами, многочлен неприводим над полем, если он не может быть разложен в произведение двух многочленов меньшей степени.

Понятие неприводимого многочлена существенно привязано к полю, над которым этот многочлен рассматривает-

f (x) (x 3)(x 3) .

Отметим, что многочлен первой степени, т.е. многочлен вида ax b , a 0 , является неприводимым над любым полем.

Роль неприводимых многочленов раскрывается следующей теоремой.

Теорема. Любой многочлен f (x) P[x] степени n 1

разлагается в произведение неприводимых над полем P многочленов, и такое разложение единственно с точностью до перестановки сомножителей и множителей нулевой степени.

14

каноническим разложением над полем P .

Заметим, что каноническое разложение многочлена на неприводимые множители существенно зависит от того поля, над которым этот многочлен рассматривается. Так,

гается в произведение неприводимых множителей. Однако разложения эти различны, а именно:

Вопросы для самоконтроля

1)Какой многочлен называется неприводимым?

2)Докажите, что многочлен третьей степени, не имеющий корней в данном поле, неприводим.

3)Приведите пример приводимого многочлена четвертой степени в кольце [x] , не имеющего действительных

корней.

4)Что такое каноническое разложение многочлена?

5)Докажите, что многочлен второй или третьей степени приводим над полем P тогда и только тогда, когда он имеет корни в поле P . Покажите, что уже для многочленов четвертой степени этот факт неверен.

15

6)Как найти НОД нескольких многочленов, если известно каноническое разложение каждого из них?

7)Как найти НОД нескольких многочленов, если известно разложение одного из них на неприводимые множители?

Примеры решения задач

ните, будут ли эти многочлены приводимы над полями

,, ? В случае положительного ответа запишите со-

отетствующее каноническое разложение многочлена.

x9 x8 5x7 x6 11x5 13x4 7x3 15x2 4 .

3)Пусть A - множество корней многочлена f и B - множество корней многочлена g . Справедливы ли следующие

утверждения:

а) Если A B , то наибольший общий делитель мно-

гочленов f и g равен 1.

б) Если наибольший общий делитель многочленов f и g равен 1, то A B ?

16

4.НЕПРИВОДИМЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ НАД ПОЛЕМ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ

Основные теоретические сведения

Рассмотрим сначала многочлены с комплексными коэффициентами. Описание неприводимых многочленов над

мы все многочлены первой степени, и только они. Следствие. Каноническое разложение многочлена

где c1, c2 ,..., cs - различные комплексные корни многочлена;

k1 k2 ... ks n .

Рассмотрим теперь [x] - кольцо многочленов над по-

лем действительных чисел. С помощью последней теоремы можно описать все неприводимые многочлены над полем .

Напомним, что дискриминантом многочлена ax2 bx c [x] ,

a 0 , называется число D b2 4ac , и многочлен не имеет корней в поле тогда и только тогда, когда D 0 .

Теорема. Над полем действительных чисел непри-

водимыми являются все многочлены первой степени и многочлены второй степени с отрицательными дискриминантами, и только они.

17

Следствие 2. Любой многочлен нечетной степени над полем имеет действительные корни.

Укажем некоторые свойства корней многочленов с действительными коэффициентами.

Теорема. Если комплексное число z a bi является корнем многочлена f (x) с действительными коэффициен-

тами, то сопряженное с ним число z a bi также будет корнем этого многочлена.

Вопросы для самоконтроля

1)Какие многочлены неприводимы над полем комплексных чисел?

2)Какой вид имеет каноническое разложение многочлена n -й степени над полем комплексных чисел?

3)Какие многочлены неприводимы над полем действительных чисел?

4)Какой вид имеет каноническое разложение многочлена n -й степени над полем действительных чисел?

5)Докажите, что в кольце [x] нет неприводимых многочленов нечетной степени.

6)Приведите пример многочлена четвертой степени над полем действительных чисел, не имеющего корней в этом поле.

7)Покажите, что кольцо [x] многочленов с действительными коэффициентами не является полем.

Примеры решения задач

Задача 1. Найти многочлен наименьшей степени с действительными коэффициентами, который имеет следующие

сопряженное число 2 i также является корнем этого многочлена. Поэтому f (x) g(x) , где

18