Материал: Методические указания для организации самостоятельной работы по дисциплине «Алгебра и геометрия». Майорова С.П., Завгородний М.Г

корни. В силу следствия из теоремы о рациональных корнях многочлена такие корни содержатся среди делителей свободного члена. В нашем случае делителями свободного члена a0 18 являются следующие числа: 1, 2 , 3 , 6 , 9 , 18 .

Заметим, что все коэффициенты многочлена f (x) положительны, поэтому он может иметь только отрицательные корни. Итак, возможные корни f (x) - это числа 1, 2 , 3 , 6 ,9 , 18 . Проверим каждое из этих чисел по схеме Горнера:

Число 3 является корнем многочлена f (x) . Остальные

корни f (x) являются корнями многочлена q(x) x3 4x 6 . Применив к q(x) признак Эйзенштейна при p 2 , получим, что q(x) - неприводим. Поэтому q(x) рациональных корней

Решение. Старший коэффициент данного многочлена отличен от единицы. Поэтому многочлен может иметь как целые, так и дробные корни. Для их отыскания воспользуемся теоремой о рациональных корнях многочлена. Корни дан-

ного многочлена f (x) будем искать в виде mq , где m - дели-

тели свободного члена a0 2 и q - делители старшего ко-

24

эффициента an 6 , причем можно рассматривать только положительные значения q :

m d ( 2) { 1, 2}; q d (2) {1, 2, 3, 6} .

Затем составим всевозможные дроби вида mq . Далее каждое

из этих чисел надо проверить по схеме Горнера. Для отсеивания чисел, которые не могут быть корнями, используем тот

факт, что если дробь m является корнем многочлена f (x) , q

то - целое число. Проверим это условие, учитывая, что f (1) 20 . Результаты запишем в таблицу: вверху – строка возможных числителей дробей mq , слева – столбец возмож-

25

q(x) 6x4 x3 4x2 x 2 . Проверим, не является ли 1 двукратным корнем, для чего полученное от деления частное q(x) снова разделим на ( x 1):

Здесь остаток равен 6 0 ; следовательно, число 1 является

Из таблицы видно, что q(2) 120 0 . Следовательно, число 2

Здесь остаток равен нулю. Поэтому число 12 является корнем q(x) , а значит, и f (x) . Запишем соответствующее разложение на множители для f (x) :

только отрицательные корни. Поэтому осталось проверить лишь числа 13 и 23 . Запишем схему Горнера для коэффи-

циентов многочлена 6x3 4x2 6x 4 . Для числа 23 имеем:

26

Из таблицы видно, что 23 является корнем. Следовательно, разложение на множители для данного многочлена f (x)

Задачи и упражнения для самостоятельного решения

1) Пользуясь признаком Эйзенштейна, докажите неприводимость над полем следующих многочленов:

а) 2x5 15x3 21x 24 ; б) 3x6 20x4 30x2 20x 20 ;

в) 4x7 21x5 28x4 14x2 35 ; г) 2x8 14x3 35x2 56x 63 . 2) Найдите все рациональные корни данных многочленов:

3) Выясните, какие из данных многочленов 2-й и 3-й степени приводимы над полем рациональных чисел. В случае

27

г) 24x5 10x4 x3 19x2 5x 6 .

6. ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЙ МНОГОЧЛЕН ЛАГРАНЖА

Основные теоретические сведения

Пусть известно значение многочлена в нескольких точках. Как восстановить в явном виде сам многочлен? Это задача «интерполяции».

Рассмотрим следующую задачу: по данной таблице x b1 b2 ... bn 1

f (x) c1 c2 ... cn 1

найти многочлен f (x) , принимающий в данных точках bi заданные значения ci , т.е. f (bi ) ci , i 1, n 1 , и имеющий

В правой части этой формулы имеется n 1 слагаемое, каждое из которых представляяет собой многочлен n -й степени, поскольку содержит n линейных множителей.

28