Материал: Методические указания для организации самостоятельной работы по дисциплине «Алгебра и геометрия». Майорова С.П., Завгородний М.Г

g(x) (x (2 i))(x (2 i)) x2 4x 5 .

Кроме того, по условию 1 i - корень кратности 2; следовательно, число 1 i также является корнем кратности 2. Тогда

многочлен (x 2 i)(x 2 i) x2 4x 5 . Разделив f (x) на

плексный корень x0 2 i . Какое число обязано быть

корнем этого многочлена? Разложите многочлен на неприводимые множители над полем действительных чисел.

3)Постройте многочлен наименьшей степени с действительными коэффициентами, имеющий данные корни:

19

а) корень 1 кратности 2 и простой корень 2 i ;

5. НЕПРИВОДИМЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ НАД ПОЛЕМ РАЦИОНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ

Основные теоретические сведения

Как следует из предыдущих пунктов, в кольцах [x] и [x] удается явно описать все неприводимые многочлены. В

кольце [x] полного описания неприводимых многочленов

не существует, и можно дать лишь некоторые достаточные условия неприводимости.

Отметим следующее. Изучение свойств многочленов с рациональными коэффициентами удается свести к изучению многочленов с целыми коэффициентами. А именно, если f (x) [x] , то умножив f (x) на наименьшее общее крат-

ное знаменателей его коэффициентов, получим многочлен с целыми коэффициентами, имеющий те же корни, что и f (x) . Поэтому достаточно научиться находить рациональ-

ные корни многочленов с целыми коэффициентами.

Теорема (о рациональных корнях многочлена). Если

тами, то число m является делителем свободного члена a0 ; число q является делителем старшего коэффициента an .

20

Следствие. Если целое число m является корнем многочлена с целыми коэффициентами, то m является делителем свободного члена.

Сформулированная теорема дает способ нахождения всех рациональных корней многочлена с целыми коэффициентами:

1)сначала надо найти все делители m свободного члена a0 ;

2)затем найти все делители q старшего коэффициента an ;

3)составить всевозможные дроби вида mq . Тогда все раци-

ональные корни многочлена будут находиться среди таких дробей.

коэффициентами. Если существует такое простое число р, что: 1) старший коэффициент an не делится на р;

2)все остальные коэффициенты ai делятся на p ;

3)свободный член a0 не делится на p2 ;

тогда f (x) неприводим над полем рациональных чисел. Следствие. Над полем существуют неприводимые

многочлены любой натуральной степени.

Важное значение этой теоремы состоит не только в том, что она позволяет легко доказывать неприводимость некоторых многочленов, но и в том, что она дает возможность строить такие многочлены. Например, для любого

простого числа p многочлен xn p неприводим над .

21

Вопросы для самоконтроля

3)Как находятся рациональные корни многочлена с целыми коэффициентами?

4)Как найти целые корни многочлена?

5)Приведите пример многочлена третьей степени над полем рациональных чисел, имеющего ровно один корень в этом поле.

6)Сформулируйте признак неприводимости Эйзенштейна.

7)Пользуясь признаком Эйзенштейна, постройте несколько неприводимых многочленов шестой степени над полем рациональных чисел.

Примеры решения задач

Задача 1. Выясните, приводимы ли над полем дан-

ные многочлены. В случае приводимости разложите их на

f (x) x3 6x2 15x 2 . Так как старший коэффициент ра-

22

вен единице, то все рациональные корни должны быть целыми и их следует искать среди делителей свободного члена

многочлена, кроме старшего an 5 , делятся на простое число p 3 , причем свободный член a0 12 не делится на

p2 9 . Следовательно, условия признака Эйзенштейна выполнены, и многочлен – неприводим.

Отметим, что признак Эйзенштейна неприменим к данному многочлену при p 2 . Действительно, старший коэффициент не делится на 2, а все остальные коэффициен-

ты на 2 делятся; однако, свободный член делится на p2 4 . Задача 3. Найдите все рациональные корни многочле-

на f (x) x4 3x3 4x2 18x 18 и разложите его на неприводимые над полем множители.

Решение. Старший коэффициент многочлена f (x) равен единице, поэтому многочлен может иметь только целые

23