Материал: Методические указания к лабораторным работам 2,3,4,5 по дисциплине «Моделирование биологических процессов и систем» (90

Работа с моделью тогда представляет собой изучение коллективного поведения автоматов в случайной или детерминированной среде.

Производятся верификация имитационной модели в целом и проверка ее адекватности. Здесь решающими оказываются знания экспертов – специалистов, хорошо знающих реальную систему.

Планируются эксперименты с моделью. При анализе их результатов используются статистическая обработка информации, графические формы выдачи данных и пр. Результаты экспериментов пополняют информационный фонд (банк данных) и используются при дальнейшей работе с моделью.

На каждом из этапов могут возникнуть трудности, для преодоления которых необходимо перестраивать модель, расширять список фазовых переменных, уточнять вид их взаимодействий. По существу, создание имитационной модели включает путь последовательных приближений, в процессе которых получается новая информация об объекте моделирования, усовершенствуется система наблюдений, проверяются гипотезы о механизмах тех или иных процессов в рамках общей имитационной системы. Основным преимуществом имитационного моделирования по сравнению с аналитическим подходом заключается в возможности решать задачи исключительной сложности, а именно:

—при наличии в одной системе элементов непрерывного и дискретного действия;

—в случае нелинейных соотношений любого характера, описывающих связи между элементами системы;

—в условиях воздействия многочисленных случайных факторов сложной природы, которые приводят к принципиальным и часто непреодолимым трудностям при аналитических исследованиях.

Моделирование биологических систем при выполнении лабораторных работ будем осуществлять с помощью математического пакета программ

MathCAD.

Математический пакет программ MathCAD предоставляет набор встроенных функций по численному решению дифференциальных уравнений.

Две из таких функций: rkfixed и Rkadapt, производящие вычисления согласно методу Рунге-Кутта k-го порядка.

Вфункции rkfixed (Y,x1,x2,n,F) и Rkadapt (Y,x1,x2,n,F) входят следующие параметры:

Y – вектор начальных условий с размерностью, соответствующей порядку k дифференциального уравнения или числу уравнений первого порядка;

x1,x2,n – граничные значения интервала и число фиксированных точек, в которых ищется приближенное решение;

F– вектор, в котором записаны правые части дифференциальных уравнений.

Врезультате решения получается матрица, содержащая (k+1) столбцов и (n+1) строчек. В первом столбце содержатся фиксированные значения аргумента t0, t1,t2,…,tn, во втором – соответствующие им значения искомой функции у(t0), у(t1), у(t2),… у(tn), в третьем - значения первых производных в тех же узлах и т.д.

Различия между функциями rkfixed и Rkadapt состоит в следующем. Первая из них ищет приближенное решение с постоянным шагом, втораяосуществляет адаптивный контроль процесса решения: с более мелким шагом при быстром изменении функции и более крупным – при медленном.

Лабораторная работа №2 «Модель Вольтера».

Цель работы: закрепление знаний о функционировании биологических систем, полученных на лекциях по дисциплине «Моделирование

биологических процессов и систем», приобретение навыков работы с программным пакетом MATHCAD, составление программы расчета и ее решение для модели Вольтера.

Пусть в некоторой среде обитания с неограниченными запасами пищи проживает определенный вид животных, который мирно уживается с другими видами и поэтому живет как бы изолированно. Обозначим общее число особей вида в данный момент через N. Примем, что прирост N особей за малый промежуток времени t пропорционален числу особей N и потому определяется зависимостью:

где N0 – число особей при t t0 .

Таким образом, согласно (1.3) в изолированной системе число особей возрастает со временем по экспоненциальному закону. Ситуация усложняется, если часть прироста особей поедается некими «хищниками». С учетом данного фактора, Вольтер при составлении уравнений исходил из следующих, вполне реальных допущений:

-пища «жертвы» не ограничена средой обитания;

-«хищник» питается только жертвой;

-прирост «жертв» пропорционален их численности;

-убыль «жертв» пропорциональна произведению числа «жертв» и «хищников»;

-прирост «хищников» пропорционален произведению числа «хищников» и «жертв»;

-убыль «хищников» пропорциональна их числу.

Модель такого биоценоза, т.е. некоторого сообщества животных, с учетом введенных допущений определяется следующей системой из двух дифференциальных нелинейных уравнений:

где N1 - число особей «жертв»; N2 - число особей «хищников»; 1 -

коэффициент естественного прироста «жертв»; 2 - коэффициент естественной убыли числа «хищников»; 1 - коэффициент уничтожения «хищниками» своих

«жертв»; 2 - коэффициент защиты «жертв» от «хищников».

Приведем уравнения (1.4) к нормированному виду:

нелинейные дифференциальные уравнения (1.5), составив программу,

приведенную на рис.1.

ORIGIN 1

Рис.1. Программа расчета колебаний в модели Вольтера

Результат решения по программе при В=4 в виде графиков приведен на рис.2.

Рис.2. Результаты расчета по программе рис.1

Дадим пояснение к составленной программе (рис.1) решения системы уравнений (1.1).

ORIGIN=1 означает, что нумерация координат вектора начинается с 1. N=3001 – число рассчитываемых точек или узлов.

2

y – вектор начальных значений функций y1 и ее производной y2.1

F(t, у) – вектор правых частей уравнений.