Материал: Методические указания к лабораторным работам 2,3,4,5 по дисциплине «Моделирование биологических процессов и систем» (90

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

x1 = 0, x2 = 30 – начальное и конечное значения интервала времени t, внутри которого находится решение;

Z – матрица, содержащая значения решения уравнения и его производной в рассчитываемых точках – узлах сетки;

Z 1 – столбец, содержащий координаты узлов времени t;

Z 2 – столбец, содержащий значения решения y в этих узлах;

Z 3 – столбец, содержащий значения производной решения в этих узлах. Помимо самой программы на рис.1. представлены результаты решения в виде таблицы и графиков искомой функции y(t) и фазовой траектории системы

– зависимости y(x) имеет вид замкнутой кривой – искривленного эллипса рис.2.

Из рис.2. следует, что функции x(t) («жертвы») y(t) («хищники») имеют колебательный характер, причем максимум y(t) сдвинут по фазе относительно x(t) на определенную величину. Такой же характер имеют графики, построенные на основании экспериментальных данных при близком соблюдении условий существования биоценоза, положенных в основу уравнений Вольтера. Следовательно, развитие жизни при определенных условиях может носить колебательный характер.

Содержание отчета.

Отчет по лабораторной работе должен содержать:

1)краткую теоретическую часть, включающую в себя дифференциальные уравнения для описания данной модели;

2)программу расчета модели;

3)таблицу, содержащую значения решения уравнений в рассчитываемых точках;

4)результат решения модели по программе в виде графиков;

5)выводы по проделанной работе.

Контрольные вопросы

1)Что такое математическое моделирование, цели и задачи?

2)Опишите общий алгоритм математического моделирования.

3)Что такое имитационное моделирование?

4)Расскажите основные принципы имитационного моделирования.

5)Перечислите основные функции математического пакета программ

MathCAD, используемые для моделирования биологических систем.

6)Метод Рунге-Кутта.

7)Особенности построения модели Вольтера.

8)Составьте дифференциальные уравнения, описывающие модель биоценоза.

9)Докажите, что развитие жизни при определенных условиях может носить колебательный характер.

Библиографический список

1.Охорзин, В.А. Прикладная математика в системах MATHCAD: учебное пособие/В.А.Охорзин.-СПБ.:Лань,2009.-с.352.

2.Герман, И. Физика организма человека/ И.Герман.-М.:Интеллект,2011.-

с.992.

3.Дворецкий, С.И. Моделирование систем [ Текст ]/ С.И. Дворецкий, Ю.Л. Муромцев, В.А. Погонин, А.Г. Схиртладзе.-М.: Академия, 2009.-с.320

4.Советов, Б.Я. Моделирование систем. Практикум / Б.Я. Советов. – М.: Высшая школа, 2009.-с.295.

Лабораторная работа №3 « Моделирование процесса гликолиза».

Цель работы: закрепление знаний о функционировании биологических систем, полученных на лекциях по дисциплине «Моделирование биологических процессов и систем», приобретение навыков работы с

программным пакетом MATHCAD, составление программы расчета и ее решение для модели процесса гликолиза.

Рассмотрим живую клетку, в которой в процессе гликолиза происходят колебания концентрации реагентов протекающей биохимической реакции. Сам гликолиз представляет собой сложную цепь химических реакций, приводящих к расщеплению молекул глюкозы и синтезу вещества, с помощью которого клетка пополняет запасы энергии. Всякий раз, когда живая клетка черпает энергию, происходят концентрационные колебания. Вычисленные согласно теории периоды этих колебаний и необходимые значения концентраций реагентов, участвующих в процессе гликолиза, удовлетворительно согласуются с биохимическими экспериментами.

Процесс гликолиза, распадающийся на несколько стадий, в упрощенном виде может быть описан с помощью двух нелинейных дифференциальных уравнений, предложенных Дж. Хингинсом:

dx	1 xy,

dt				(1.6)
		1
dy	y(x
			),
dt		y

где x, у — безразмерные переменные, определяющие концентрации участвующих в реакции реагентов; , — постоянные коэффициенты,

влияющие на скорость протекания реакции.

Программа решения уравнений (1.6) приведена на рис.3. Результаты решения по программе при 100, 10 (1-й случай) и 10, 10 (2-й

случай) в виде графиков зависимостей концентраций реагентов от времени x(t)=U(t) и y(t)=V(t), а также фазовые портреты системы х(у)=U(V) приведены на рис.4.

ORIGIN 1 10

x 2

100

		1 x1		x2

F(t x)			x	1
x			x
	2		1	x2
				x2	t:= X<1>	U:= X<2> V:=X<3>

Рис.3.Программа расчета процесса гликолиза

X rkfixed

Рис.4. Результаты расчета по программе MATHCAD

В первом случае процесс гликолиза носит колебательный характер, во втором - затухающий колебательный. Изменяя параметры легко найти их бифуркационные значения, означающие переход от одного вида колебаний к другим. Так, при =10=const система из состояния стационарных автоколебаний переходит к затухающим при 17 . В первом случае — при стационарных колебаниях — фазовый портрет имеет устойчивый предельный

цикл в виде замкнутой кривой по форме, близкой к треугольнику, во втором — при затухающих колебаниях — в виде сворачивающейся спирали с устойчивым фокусом. Затухание колебаний связано с ограниченным количеством исходного вещества, расходуемого в процессе реакции.

Период колебаний Т в системе в определенной зоне изменения параметров и слабо зависит от их значений. Так, в рассматриваемых примерах значение Т=2,35. Такое постоянство периода колебаний позволяет ввести такое понятие, как «химические часы». Во многих случаях при протекании химических реакций периодические колебания концентраций реагентов перерождаются в хаотические, а затем вновь возвращаются к периодическому характеру колебаний.