Курсовая работа (т): Методика навчання учнів основної школи методу інтервалів

Методика навчання учнів основної школи методу інтервалів

Вступ

Актуальність теми: у сучасному процесі навчання математики більше уваги приділяється на розв’язанні рівнянь різних видів та нерівностей , разом з тим за розв’язання нерівностей за допомогою методу інтервалів. Учні вивчають різні схеми розв’язання нерівностей та рівносильні системи і совокупності. Цей спосіб ефективний під час вирішення простих нерівностей, які розглядають у шкільному курсі. У складних випадках, наприклад, в, які пропонують на вступних іспитах у вузи, навіть сильні учні часом опиняються у скруті, тому що їм доводиться робити громіздкі обчислення під час вирішення тих самих систем і сукупностей. Мало хто з кишені вчителів знайомить під час уроків учнів з іншими засобами розв'язання нерівностей, які полегшують пошук рішення, одним із таких методів є мотод інтервалів. Саме тому обрана нами тема курсової роботи є досить актуальною.

Об’єкт дослідження: методика навчання учнів основної школи розв’язувати нерівності методом інтервалів.

Предмет дослідження: метод інтервалів, та методика його навчання в курсі основної школи.

Мета дослідження: проаналізувати методичну, педагогічну літературу на тему курсової роботи (зокрема діючі підручники з алгебри для 9 класу);

Завдання дослідження:

)        Охарактеризувати діючі підручники з алгебри для учнів 9 класу

)        Систематизувати матеріал вивчення методу інтервалів

)        Проаналізувати методичні рекомендації щодо подання теми

Методи дослідження: розгляд подання матеріалу у шкільних підручниках, вивчення теми та аналіз її подачі в основній школі.

Логіка дослідження зумовила структуру курсової роботи: вступ, 3 розділи, висновки, список використаних джерел із…найменувань, Загальний обсяг 34 сторінки.

Розділ І. Метод інтервалів та предмет дослідження

квадратичний нерівність інтервал функція

Два математичні вирази, сполучені знаком «більше» (>), «менше» (<), «не більше» () або «не менше» (), називаються нерівностями.

Запис  означає, що  або .

Нерівності бувають числові і буквені. Числовими називають такі нерівності, обидві частини яких є числа, записані цифрами. Якщо хоча б одна частина нерівності є буквеним виразом, така нерівність називається буквеною.

Будь-яка правильна числова нерівність, а також будь-яка буквена нерівність, що справджується при всіх допустимих значеннях букв, які входять до неї, називається тотожною нерівністю. Наприклад:

Наведемо властивості тотожних нерівностей.

. Якщо , то .

. Якщо , , то .

. Якщо , то .

. Якщо , , то , .

. Якщо , , то .

. Якщо  і n - натуральне число, то , .

.1 Нерівності першого степеня з одним невідомим

Нерівність, яка містить букви, що позначають невідомі числа, називається нерівністю з невідомими.

Якщо в нерівність з одним невідомим замість невідомого підставити яке-небудь число і в результаті дістанемо правильну числову нерівність, то кажуть, що це число задовольняє дану нерівність.

Кожне число, що задовольняє нерівність, називають розв’язком цієї нерівності.

Розв’язати нерівність - означає знайти всі її розв’язки.

Нерівність виду  називається нерівністю першого степеня з одним невідомим.

Приклад 1.1.1. Розв’язати нерівність

Після перетворень дістанемо , звідки .

Система двох нерівностей з одним невідомим зводиться до одного з таких випадків.

1) ;    2) ;    3) ;    4) .

Якщо , то розв’язок такої системи нерівностей подається у вигляді:

) ;        2) ;      3) ; 4) .

.2 Квадратні нерівності

Розглянемо квадратну нерівність

 .                 (1)

Якщо , то нерівність (1) виконується для всіх  при  і не виконується для жодного  (рис. 1).

Рис. 1.

Якщо , то нерівність (1) виконується для всіх  при , причому  в точці  і не виконується для жодного  крім  де  (рис. 2).

Рис. 2.

При  знаходимо корені рівняння

, .

Якщо , нерівність (1) виконується при  (рис. 3).

Рис. 3.

Якщо , нерівність (1) виконується при  (рис. 4).

Рис. 4.

Можна сформулювати просте правило.

Якщо квадратна нерівність (1) виконується при великих значеннях , то вона виконується поза відрізком, обмеженим коренями рівняння . Якщо нерівність (1) не виконується при великих значеннях , то вона виконується на відрізку, обмеженому коренями рівняння (1).

Приклад. Розв’язати нерівність .

Оскільки нерівність не виконується при великих значеннях , то вона виконується між коренями рівняння , , тобто при .

Приклад 1.2.1. Розв’язати нерівність .

Дана нерівність виконується при великих значеннях , тому вона виконується поза інтервалом, обмеженим коренями рівняння , тобто при

Часто доводиться розв’язувати нерівність виду

,                   (2)

рівносильну системі нерівностей.

Приклад 1.2.2. Розв’язати нерівність

.

·   За формулою (2) дістаємо систему нерівностей:

, звідки .

.3 Ірраціональні нерівності

Ірраціональні нерівності зводяться, як правило, до однієї з двох таких нерівностей:

;          (1)

.          (2)

Нерівність (1) виконується в одному з двох випадків:

Нерівність (2) виконується, якщо виконуються нерівності:

Приклад 1.3.1. Розв’язати нерівність

.

·   Маємо нерівність виду (1). Розв’яжемо системи нерівностей:

Остаточно знаходимо розв’язок

Приклад 1.3.2. Розв’язати ірраціональну нерівність

.

·   Маємо нерівність виду (2), розв’язання якої таке:

.

Приклад 1.3.3. Розв’язати нерівність

.

Розв’язуємо окрему нерівність і рівняння:

;

.

Остаточно дістаємо розв’язок

Кожну ірраціональну нерівність можна розв’язати методом інтервалів. Для цього знаходять її ОДЗ, а далі замінюють нерівність рівністю і розв’язують рівняння. Точки, що відповідають розв’язкам, розбивають ОДЗ на інтервали. Якщо в одній точці деякого інтервалу нерівність виконується, то вона виконується в усіх точках цього інтервалу. І навпаки: якщо в будь-якій одній точці інтервалу нерівність не виконується, то вона не виконується в усіх його точках.

Приклад 1.3.4. Розв’язати методом інтервалів нерівність

.            (3)

З нерівності  знаходимо ОДЗ:

Далі замість нерівності (3) розв’язуємо рівняння  або  звідки

Наносимо відповідні точки на числову вісь (див. рисунок).

Розглядаємо кожний з утворених інтервалів окремо.

. Підставляємо значення  з інтервалу  у нерівність (3). Дістаємо нерівність , яка не виконується. Тому нерівність (3) не виконується в усіх точках інтервалу .

. Підставляючи в нерівність (3) значення  з інтервалу , дістаємо правильну нерівність . Отже, нерівність (3) виконується на інтервалі .

. Підставляючи в (3) значення  з інтервалу  дістаємо неправильну нерівність . Це означає, що нерівність (3) не виконується ні в одній точці інтервалу .

Остаточно маємо розв’язок нерівності (3) .

.4 Раціональні нерівності

Раціональною нерівністю з однією змінною x називають нерівність виду

де  і  - раціональні вирази, тобто алгебраїчні вирази, складені з чисел, змінної x і за допомогою математичних дій, тобто операцій додавання, віднімання, множення, ділення і піднесення до натурального ступеня.

При розв'язанні раціональних нерівностей застосовують правила, які використовуються при розв'язанні лінійних і квадратних нерівностей.

За допомогою рівносильних перетворень раціональну нерівність призводять до вигляду , де - алгебраїчний дріб або многочлен і застосовують метод інтервалів.