Курсовая работа (т): Методика навчання учнів основної школи методу інтервалів
) 
(область визначення функції: 
)
) а) Дати означення квадратичного
тричлена (квадратичний тричлен називається многочлен виду
де х - змінна, а,Ь,с деякі числа, причому 
).
Навести приклади квадратичного тричлена.
б) Дати означення кореня квадратичного тричлена (коренем тричлена називається значення змінної, при якому значення цього тричлена дорівнює нулю).
в) За якою формулою можна
розкласти квадаричний тричлен ах1 +bх + с на лінійні множники?
(
-
вийти і записати на дошці.
г) А за якої умови квадратичний
тричлен не можна розкласти на
множники? (якщо квадратичний тричлен не має коренів)
д) Розкласти на множники квадратичний тричлен:
(усно визначити корені. Тричлени
записані на дошці зразу).
1) 
) 
) 
Є) Дати означення квадратичної
нерівності та її розв’язку (нерівність виду
де 
-
змінна, 
-
деякі числа, причому ;
розв'язком нерівності може бути розв'язків, або один проміжок, або об'єднання
двох, або точка, або зовсім не має розв'язків).
Ж) Назвати квадратичні нерівності:
а) 
(квадратична
нерівність)
б) 
(
не є квадратичною нерівність)
в) 
(квадратичною
нерівність)
г)
(квадратичною нерівність)
д) 
(квадратична
нерівність)
е) 
(квадратична
нерівність)
. Сприйняття і усвідомлення нової теми.
На попередніх уроках ви познайомилися з графічним способом розв'язування квадратичних нерівностей. Існують інщі методи розв'язування квадратичних нерівностей. Зокрема, метод інтервалів. Отже, тема нашого уроку: розв'язування квадратичних нерівностей методом інтервалів. То ж яку мету поставимо?
познайомитися з розв'язанням нерівностей методом інтервалів; та навчитися розв'язувати квадратичні нерівності методом інтервалів.
Розв'язування нерівності другого степеню з однією змінною можна розглядати як знаходження проміжків, в яких відповідна квадратична функція приймає додатні або від'ємні значення.
Познайомимося з розв'язуванням квадратичних нерівностей методом інтервалів на конкретному прикладі.
Приклад 1. Розв’язати нерівність
Розкладемо квадратичний тричлен на
множники:
отримаємо квадратичну нерівність
виду:
отже розглянемо функцію
нулі функції розбили 
на
проміжки знакосталості, визначимо знаки цих проміжків.
Отже В: 
Взагалі, якщо функцію задано формулою виду:
f(x) = (x-xl)(x-x2)...(x-xn)
де х - змінна, а хх,х2...хп- не рівні одне одному числа. Причому числа х1,х2...хп є нулями функції.
На кождому із проміжків, на які область визначення розбивається нулями функції, знак зберігається, а при переході через нуль її знак змінюється. Ця властивість використовується для розв'язування нерівностей виду: (х-х1)(х-х2)...(х-хп) <0, (х-х1)(х-х2)...(х-хп) >0, де хІ, х2...х„ не рівні між собою числа. Ми сьогодні розв'язуємо нерівності другого степеню, але ця теорема дає можливість розв'язувати нерівності і більш високих степенів, і в майбутньому до способу розв'язування нерівностей методом інтервалів ми будемо повертатися неоднарозово.
Отже: Приклад 2. (розв’язує вчитель)
Потрібно розв’язати нерівність
1. Введемо фунцію.
Знайдемо її область визначення.
2.
2. Нулі функції:
,
якщо:
;
.
Нулями функції розіб'ю 
на
проміжки знакосталості.
5. Отже розв'язком нерівності є
об'єднання проміжків:
2.
Відповідь:
Ще раз звернути увагу на порядок розв'язування.
То ж який алгоритм розв'язування нерівностей методом інтервалів
отримали. (учні проговорюють порядок).
Відкриваю алгоритм на дошці:
1. Знайти ОДЗ <#"878160.files/image221.gif">
1. 
. 
. ,
якщо 
4. 
. Відповідь:
Приклад уроку №2
Тема уроку: Метод інтервалів
(2 уроки)
І. Актуалізація опорних знань.
Проміжки знакосталості
На рисунку 1 зображено графік деякої функції f, у якої D (f) = R і нулями є числа x1, x2 і x3.
Ці числа розбивають область визначення функції на проміжки
знакосталості (-∞; x1), (x1; x2), (x2; x3), (x3; +∞).
Для функції g, графік якої зображено на рисунку 2, проміжок (x2; x3) не є проміжком знакосталості. Справді, якщо x ∈ (x2; x0), то g (x) > 0, а якщо x ∈ (x0; x3), то g (x) < 0.
Неперервність функції.
Принципова відмінність між функціями f і g полягає в тому, що
графіком функції f є неперервна крива, а графік функції g такої властивості не
має.
Говорять, що функція f неперервна в кожній точці області визначення, або, як ще прийнято говорити, неперервна на D (f), а функція g у точці x0 ∈ D (g) має розрив.
Теорема 3.1. Якщо функція f неперервна і не має нулів на деякому проміжку, то вона на цьому проміжку зберігає постійний знак.
Ілюстрацією до цієї теореми слугує графік функції, зображений на рисунку 1. Ця теорема дозволяє, не будуючи графіка функції f, розв’язувати нерівності f (x) > 0 і f (x) < 0.
Доведення
Уявімо собі, що з цього рисунка «зникли» всі точки графіка функції f, за винятком точок A (x1; 0), B (x2; 0), C (x3; 0) (рис. 3).
Очевидно, що кожний з проміжків (-∞; x1), (x1; x2), (x2; x3), (x3; +∞) не містить нулів функції f.
Тоді, пам’ятаючи, що функція f неперервна на D (f) = R, можна стверджувати: указані проміжки є проміжками знакосталості функції f. Залишається лише з’ясувати, якого знака набувають значення функції f на цих проміжках. Це можна зробити за допомогою «пробних точок». Нехай, наприклад, a ∈ (-∞; x1) і f (a) > 0. Тоді для будь-якого x ∈ (-∞; x1) виконується нерівність f (x) > 0. Аналогічно можна «взяти пробу» з кожного проміжку знакосталості.
Описаний метод розв’язування нерівностей називають методом інтервалів.
Теорема 3.2. Функція
де 
і
-
многочлени, неперервна на 
.
Наприклад, функція 
неперервна
в кожній точці множини 
,
тобто на .
Ця теорема дозволяє для нерівностей виду
де і
-
многочлени, застосовувати метод інтервалів.
Приклад 1. Розв’яжіть нерівність 
Розв’язання. Числа -3, 1 і 2 є нулями функції 
,
яка неперервна на 
.
Тому ці числа розбивають множину R на проміжки знакосталості функції 
(рис.4)
За допомогою «пробних» точок установимо знаки функції 
на
зазначених проміжках.
Маємо:
тому
при
будь якому 
;
тому
при
будь якому 
;
тому
при
будь якому 
;
тому
при
будь якому 
.
Результати дослідження знака функції показано
на рисунку 5.
Рис.4
Тепер можна записати відповідь: 
+
.