Курсовая работа (т): Методика навчання учнів основної школи методу інтервалів
Приклад 1.4.1 Розв'язати нерівність
Розв'язання.
. Знайдемо корені квадратного тричлена 
і
розкладемо його на множники за формулою
;
.
. Розділимо обидві частини нерівності на додатний при всіх значеннях 
вираз
,
при цьому знак нерівності > не зміниться.
3. Позначимо на числовій прямій корені і знайдемо знаки квадратного
тричлена на кожному інтервалі. Для цього з кожного інтервалу достатньо взяти
довільно по одному значенню і підставити замість x у тричлен.
На інтервалі 
візьмемо
,
тоді
На інтервалі 
візьмемо
,
тоді
На інтервалі 
візьмемо
,
тоді
Квадратний тричлен приймає додатні значення на інтервалах (−∞;−0,5) і (4;+∞).
Відповідь: 
.
Висновок: в даному розділі було розглянуто 4 типи нерівностей, для того щоб, показати як розв’язувати методом інтервалів дані нерівності треба засвоїти спосіб їх розв’язання за означенням та властивостями функцій що задають ці нерівності.
1.5 Властивості неперервних функцій
Загальні властивості неперервних функцій однакові як для функцій однієї змінної, так і для функцій багатьох змінних.
Теорема 1. (Вейєрштрасса). Функція 
,
визначена і неперервна в обмеженій замкненій області D, є обмеженою.
Для функції однієї змінної замкненою областю D є сегмент, наприклад, [а, b].
Сформулюємо теорему 3 для функції однієї змінної у = f(х). Функція f(х), неперервна на [а, b], є обмеженою.
Зауваження. Теорема 1 не виконується, якщо область D відкрита.
Наприклад, у = 
неперервна в інтервалі (0, 1), але вона в цьому
інтервалі не обмежена.
Теорема 2. (про знак функції). Якщо функція 
неперервна в точці А
і f(А) ≠ 0, то функція в достатньо малому околі
точки А зберігає знак.
Сформулюємо теорему 4 в термінах функції однієї змінної:
якщо функція у = f (х) неперервна в точці а і f(а) ≠ 0, то функція в достатньо малому околі точки а зберігає знак.
Дійсно, нехай 
, наприклад, f(а) > 0. Покажемо, що для будь-якого 
> 0 можна знайти таке 
> 0, що для всіх х 
(а
- , а + )
виконується нерівність f(х) > 0.
Побудуємо -окіл точки а і -окіл
точки f(а) (рис. 3.75).
Якщо взяти = min (h1 h2), то завжди можна побудувати прямокутник
із сторонами 2 і 2
такий, що f(х) > 0.
Теорема 3 (про корінь функції). Якщо функція визначена і неперервна в деякій однозв'язній області
D, причому в цій області дві точки А (а1 а2, ..., аn) і В (b1, b2, ..., bn), в
яких функція набуває значень різних знаків:
(А) < 0, f(В) > 0,
то в цій області знайдеться принаймні одна точка С, в якій функція
перетворюється в нуль, тобто f(С) = 0.
Введемо поняття однозв'язної області.
Множина точок простору Е„ називається простою дугою Жордана (простою кривою),
якщо цей простір можна дістати в результаті відображення деякого сегмента t0 ≤
t ≤ Т за допомогою системи функцій
неперервних на цьому сегменті, причому двом різним значенням параметра t відповідають, дві різні точки.
Якщо точка М0 (
, (t0), 
,…,
збігається з точкою 
, то крива називається простою замкненою кривою.
Розглянемо просту криву, задану рівняннями
х = х(t), y = y(t) (1)
на площині. Якщо будь-які дві точки області, розміщеної на площині, можна сполучити простою кривою, яка міститься в цій області, то область називається зв'язною. Для утворення однозв'язної області необхідно розглядати замкнену криву (1).
Якщо побудувати просту замкнену криву (1) на площині, то площина розіб'ється на дві області - внутрішню і зовнішню.
Область D на площині називається однозв'язною, якщо будь-яка область внутрішня відносно простої довільної замкненої кривої, яка міститься в D, також міститься в D. На рис. 3.76 області а і б однозв'язні, а область в - неоднозв'язна. Поняття зв'язної і однозв'язної областей поширюється і на випадок n-вимірного простору.
Для функції однієї змінної теорема 5 формулюється таким чином: якщо у =
f(х) неперервна на [а, b] і на кінцях сегмента набуває значень різних знаків,
то всередині сегмента знайдеться принаймні одна точка 
така, що f ()
= 0.
Точка 
називається коренем (нулем) функції f(х), а
сформульована теорема називається теоремою про корінь (про нуль).
На рис. б - три корені, а на рис., a - один.
Теорема 4 (про проміжне значення). Якщо функція неперервна в зв'язній області D (відкритій або
замкненій) і набуває різних значень у точках М1 і М2, то яким би не було число
С, що міститься між значеннями f(М1) і f(М2), існує принаймні одна така точка
М3, яка лежить всередині D, що f(М3) = С
Сформулюємо теорему 4 для функції однієї змінної: якщо у = f(х)
неперервна у проміжку 
і набуває різних значень у двох точках а і b сегмента
[а, b] 
f(a) = А і f(b) = В, то для будь-якого С, що лежить
між А і В, А < С < В, всередині сегмента знайдеться принаймні одна така
точка , що С = f().
Теорема 5 (про найменше і найбільше значення). Якщо функція 
неперервна в обмеженій замкненій області D, то вона
обмежена, тобто всі її значення містяться між двома скінченними числами та і М:
≤ f(X) ≤ M.
Числа т і М називаються найменшим і найбільшим значеннями функції. При
цьому в області D знайдеться принаймні одна точка Х1 D, в якій функція f(X1) набуває найменшого значення
f(Х1) = т; і принаймні одна точка Х2 D,
в якій функція набуває найбільшого значення f(Х2) = М.
Сформулюємо теорему 5 для функції однієї змінної: якщо функція у = f(х) неперервна на [а, b], то вона обмежена, тобто всі її значення містяться між. двома скінченними числами т і М, які називаються найменшим і найбільшим значеннями функції на сегменті [а, b].
m ≤ f(x) ≤ M.
На рис. зображена неперервна на [а, b] функція, у якої є точки 
і 
такі,
що
і одна точка х2, в якій f(х2) = М.
Теорема 6 (Кантора). Якщо функція 
неперервна
в обмеженій замкнутій області D, то вона рівномірно неперервна в D.
1.6 Теоретичні відомості про метод інтервалів
Метод інтервалів застосовується при розв’язуванні будь-яких
нерівностей, але найчастіше до нього вдаються, розв’язуючи раціональні
нерівності виду
, (1)
де 
- натуральні показники степеня. Щоб розв’язати таку
нерівність, знаходимо корені многочлена в лівій її частині і позначають їх на
числовій осі. Далі проводимо криву (орієнтовний графік цього многочлена) так,
щоб вона проходила над віссю, коли многочлен (1) додатний і під віссю, коли цей
многочлен від’ємний. Якщо многочлен не має квадратних коренів 
то зазначена крива ніде не дотикається до осі, а лише
перетинає її в точках, які відповідають кореням многочлена. Тому достатньо
визначити знак многочлена в якомусь одному інтервалі, на які поділяють числову
вісь корені многочлена, щоб дізнатися, в яких інтервалах графік розглядуваного
многочлена міститься вище від осі, а в яких - нижче, тобто при яких значеннях x
даний многочлен додатний, а при яких від’ємний. При переході через кратний
корінь 
крива залишається з того самого боку від осі х бік,
якщо показник 
парний, і переходить на інший відносно осі х бік,
якщо показник непарний.
Приклад 1.6.1. Розв’язати нерівність
.
Позначаємо корені 
на осі х і зображуємо криву, що визначає знаки лівої
частини нерівності (рис. 1).
Рис. 1.
Нерівність має розв’язок 
.
Приклад 1.6..2. Розв’язати нерівність
.
·
Розкладемо
ліву частину нерівності на множники:
.
Поділивши обидві частини нерівності на множники 
і 
які
завжди додатні, дістанемо:
.
Відкладаємо на числовій осі точки 
(рис.
2).
Рис. 2.
Отже, даний многочлен скрізь додатний, крім двох точок 
, які є розв’язками нерівності.
Приклад 1.6.3. Розв’язати раціональну нерівність
.
Відкладаємо на числовій осі точки 
, в яких ліва частина нерівності може змінити свій
знак (рис. 3).
Рис. 3.
Точки 
, в яких нерівність не виконується, позначаємо
порожнім кружечком. Отже, маємо такий розв’язок нерівності:
Розділ ІІ. Навчально - методична модель методу інтервалів в курсі основної школи
.1 Аналіз програмних вимог
Цілі навчання математики
Навчання математики в основній школі спрямоване на досягнення таких цілей:
1 формування в учнів математичних знань як невід’ємної складової загальної культури людини, необхідної умови її повноцінного життя в сучасному суспільстві на основі ознайомлення школярів з ідеями і методами математики як універсальної мови науки і техніки, ефективного засобу моделювання і дослідження процесів і явищ навколишньої дійсності;
2 інтелектуальний розвиток учнів, розвиток їхнього логічного мислення, пам’яті, уваги, інтуїції, умінь аналізувати, класифікувати, узагальнювати, робити умовиводи за аналогією, діставати наслідки з даних передумов шляхом несуперечливих міркувань тощо;
3 опанування учнями системи математичних знань і вмінь, що є базою для реалізації зазначених цілей, а також необхідні у повсякденному житті й достатні для оволодіння іншими шкільними предметами та продовження навчання.