Курсовая работа (т): Методика реализации внутрипредметных связей в школьном курсе математики

Замечание. Следует иметь в виду, что формирование понятия в сознании учащихся в значительной степени зависит от того, в каком виде произошло первое знакомство с этим понятием (в психологии этот факт получил название “силы первого впечатления”).

Не менее важным в работе над внутрипонятийными связями является формирование у школьников умения переосмысливать фигуру в плане другого понятия, вычленять и комбинировать из элементов изображения новые фигуры, не указанные в условии задачи.

На уровне внутрипонятийных связей важна работа по формированию у школьников представления о свойствах, являющихся следствием других свойств, о понятии противоречивости свойств.

С этой целью учащимся 5 класса предлагать задачи такого содержания: ”Могут ли одновременно  и  удовлетворять условиям:

.  больше ;  меньше ;

.  больше ; произведение чисел  и  равно нулю;

.  делитель ;  меньше ;

.  расположено на числовом луче правее ;  равно ;

.  расположено на числовом луче левее ; меньше ; ;

. прямая параллельна прямой ; прямая  перпендикулярна прямой ?”

Приведённые примеры показывают, что для усвоения понятия необходимо отыскать такой вид деятельности, который позволял бы усваивать основные элементы понятия и отношения между ними. При этом вид деятельности будет зависеть от характера понятия.

В курсе школьной математики все понятия можно условно подразделить на группы, положив в основу классификации тот или иной признак, а именно:

. понятия, аналогами которых являются житейские представления учащихся (например, число, прямая, точка);

. понятия, вводимые в курс без определений (например, величина, множество);

. понятия, вводимые в курс через определения (например, функция, уравнение, неравенство, логарифм числа);

. понятия, введённые ранее в “расплывчатом” виде, в дальнейшем получающие своё чёткое определение (например, график, равенство фигур).

При формировании понятий первой группы следует связывать математические понятия с их житейскими прототипами, приобретёнными учащимися вне целенаправленного обучения. Житейские прототипы, или, как их ещё называют, аналоги, могут либо верно, либо неверно отражать основную суть научного понятия. Например, учащиеся до 7 класса довольно часто пользуются термином функция. Но смысл, который вкладывается ими в данный термин, не соответствует его научной трактовке. Этот термин учащиеся до изучения понятия функции на уроках алгебры используют в смысле назначения: роль одного объекта по отношению к другому (функция органов дыхания, функция воды по отношению к растениям и т. д.) Ясно, что при формировании математического понятия функция в смысле зависимости опора на житейский прототип невозможна. В данном случае привычка учащихся к обыденном оборотам речи лишь тормозит понимание математического понятия.

Далее приведём пример, в котором формирование научного понятия возможно на основе его житейского аналога.

При формировании понятия натуральное число как количественной характеристики множества возможна опора на житейский прототип, так как фактически школьники ещё до целенаправленного обучения имеют такое же представление об этих числах. Знакомясь с натуральными числами в начальной школе, учащиеся получают их путём отсчитывания или присчитывания палочек, косточек и т. д. Мы в процессе обучения учащихся приходим к научной характеристике понятия, известного ещё ранее из жизненного опыта. При этом совершается переход от предметных действий к выделению формального содержания и его изображению на уровне абстракции и обобщения.

Особое значение соотношение житейских прообразов и их научных образов приобретает в случае изучения основных неопределяемых понятий курса. Формирование этих невозможно без опоры на жизненный опыт учащихся. Первостепенное значение при этом имеет мотивация введения этих понятий.

Например, в курсе геометрии при введении различных геометрических фигур учащимся полезно предлагать задания по составлению “родословной”

каждого понятия (в виде схемы).

Сравнивая эти схемы “родословной”, учащиеся замечают, что каждое из этих понятий сводится к таким, как точка, прямая, плоскость, расстояние. Тем самым школьники подводятся к мысли, что не все понятия могут быть определены, а следовательно, некоторые из них должны быть взяты в качестве основных, неопределяемых. В действующем школьном курсе геометрии к ним относятся точка, прямая, плоскость, лежать между, принадлежит.

При работе над этими понятиями опора на житейские прототипы не только не исключает (как это было в примере с понятием функции), а, наоборот, предполагает как можно более частое обращение к ним.

Если понятие определяется в школьном курсе математики, то чаще всего определение даётся сразу в завершённой, свёрнутой форме. Однако такой подход не требует от школьников самостоятельного выделения существенных признаков понятий, а это в итоге приводит к тому, что ученики не могут их сознательно использовать при решении практических задач. В подобных определениях для учащихся остаются скрытыми не только те действия, которые позволяют распознавать понятие в изменяющихся условиях, но и сам процедурный характер его получения.

Исключение составляют те случаи, когда для распознания объекта в определении соответствующего понятия дан эталон, с которым этот объект может быть сравнён. Например, в такой форме даётся определение линейной функции: “Функция, которую можно задать формулой вида  где  и  - некоторые числа, называется линейной”.

Раскрытие внутрипонятийных связей должно идти через действия учащихся, при этом учитель должен организовать целесообразную деятельность учеников.

Рассмотрим пример.

В 9 классе учащиеся знакомятся с понятием чётной и нечётной функции. Даётся следующее определение чётной функции: “Функции называется чётной, если для каждого  из области определения этой функции выполняется равенство

Такое положение приводит к тому, что школьники на вопрос: “Является ли функция  заданная на отрезке чётной?” - дают утвердительный ответ, так как приоритет отдаётся второму признаку, хотя оба признака в этом определении необходимы и лишь вместе достаточны.

Аналогичную картину наблюдаем и в случае выполнения задания на определение чётности функции  Учащиеся поступают следующим образом:

Из этого следует вывод: так как функция  нечётная, то нечётна и заданная функция. Но, как легко заметить, область определения заданной функции несимметрична относительно нуля , и значит, можно сразу утверждать, что эта функция ни чётна, ни нечётна.

Обнаруженная типичная ошибка учащихся показывает, что приведённое выше определение педагогически нецелесообразно ( Алгебра и начала анализа: Пробный учебник для 10-11 кл. ср. шк. / Под ред. А. Н. Тихонова. - М.: Просвещение, 1989).

Конечно, авторы правы, утверждая далее, что “из этого определения следует, что вместе с каждым  значение  также входит в область определения функции ”. Учитывая типичную ошибку школьников, следовало бы дать это определение с избытком, включив в него ещё один существенный признак - симметричность области определения функции относительно нуля.

Недостаточная работа над внутрипонятийными связями приводит, как правило, к типичным ошибкам. Обратим внимание на некоторые из них:

. Ошибки, связанные с неправильным указанием родового понятия.

Например, средней линией треугольника называется прямая, соединяющая середины его двух сторон (указано понятие, которое для определяемого не является родовым).

. Ошибки, связанные с неправильным указанием видового отличия.

Например, угол, образованный двумя хордами, называется вписанным (не указан ещё один существенный признак - вершина угла должна лежать на окружности).

. Ошибки, связанные с тавтологией.

Например, равными треугольниками называются такие треугольники, которые равны между собой.

. Ошибки, связанные с пропуском слов.

Например, простое число - это натуральное число, которое делится само на себя и на единицу (пропущено слово “только”).

Задача учителя - вести исчерпывающий разбор типичных ошибок, выявлять их природу и происхождение, ибо без этого нельзя обеспечить эффективные средства исправления и предупреждения ошибок в будущем.

В педагогической литературе правомерно ставятся вопросы: ”Нужно ли предупреждать ошибки в действиях учащихся?”; “ Нужно ли допущенную ошибку обсуждать фронтально или же целесообразнее это сделать индивидуально?”; “Есть ли ошибки такого рода, обсуждение которых вообще не целесообразно?”.

Практика преподавания математики в школе показывает, что продуманная работа над систематическими ошибками может оказаться эффективным средством формирования сознательных и прочных знаний учащихся. В каждом конкретном учитель должен сам определить, какая форма работы будет целесообразнее: фронтальная или индивидуальная.

Большое значение в работе с внутрипонятийными связями играют контрпримеры, которые вначале приводятся учителем, а затем к их конструированию подключаются и учащиеся.

Так, для примера, приведённого в четвёртом пункте типичных ошибок, можно привести такой контрпример: число 12 делится на себя и на единицу, но оно не является простым.

Подобного рода работа повысит математическую культуру учащихся, научит их сознательно относиться к каждому слову в определении.

Контрпримеры чаще всего применяются тогда, когда надо убедить ученика в том, что он ошибается. Полезно уже на уровне 5-6 классов предлагать задания следующего содержания: “Приведите контрпримеры, доказывающие ложность следующих высказываний:

. любые три отрезка могут быть сторонами треугольника;

. сумма любого чётного и любого нечётного числа есть число простое;

. любая фигура, имеющая три угла, является треугольником;

. любое число, оканчивающееся единицей, делится на 3;

. чтобы углы были смежными, достаточно, чтобы две их стороны были бы противоположными лучами”.

Успешному усвоению внутрипонятийных связей будет способствовать организация активной познавательной деятельности школьников на всех этапах формирования понятия. Приведём пример.

Для формирования понятия медианы треугольника учащимся предлагается:

. построить произвольный треугольник;

. соединить отрезком его вершину с серединой противоположной стороны.

После этой работы учитель говорит: “Такой отрезок называется медианой треугольника” - и предлагает учащимся самим сформулировать определение медианы треугольника.

Учителю при работе над внутрипонятийными связями следует иметь в виду, что не всегда структура текста учебника математически соответствует оптимальной последовательности этапов формирования понятий, которая может быть такой:

. Рассмотрение примеров объектов, входящих в объём понятия.

. Ведение термина, обозначающего понятие.

. Рассмотрение примеров объектов, не входящих в объём понятия.

. Формулирование определения понятия.

. Сообщение дополнительных сведений, в частности указание несущественных признаков понятия.

. Систематизация знаний.

Часто в учебниках математики авторы по ряду причин освещают не все этапы образования понятий. Так, например, в учебнике геометрии А. В. Погорелова почти все параграфы, посвящённые понятиям, начинаются с определений. В учебнике алгебры для 7 класса под редакцией А. Н. Тихонова текст, в котором вводится понятие функции, содержит лишь этапы 1, 4, 5.

Задача учителя состоит в том, чтобы на уроках, посвящённых формированию понятий, восполнять недостающие этапы. В таком случае формируемое понятие будет усвоено учащимися сознательно и полно.

Большую роль в работе с внутрипонятийными связями играют упражнения по практическому применению понятий и теорем. На уроках мы часто сталкиваемся с ситуацией, когда учащиеся верно формулируют определение понятия, теорему, но оказываются бессильными в случае решения конкретной задачи. Например, учащиеся 7 класса верно формулировали определения соответствующих понятий и теорем, но не могли ответить на вопросы:

. хватит ли 20 см проволоки, чтобы согнуть из неё треугольник, одна сторона которого была бы равна: 12 см; 8 см; 10 см;

. почему углы при основании равнобедренного треугольника всегда острые;

. как при помощи рулетки убедиться в том, что оконная рама имеет форму прямоугольника;

. почему каждый острый угол прямоугольного равнобедренного треугольника равен ?

Чтобы учитель мог отличить формальные знания учащихся от сознательных, он должен помнить о следующих внешних проявлениях формализма: отрыв формы от содержания; неумение применять теорию на практике; преобладание памяти над пониманием.