Документ: Начала математического анализа. Часть 2. Горбунов В.В., Соколова О.А, страницы 21-25

постоянной, то равенство производных от неопределенных интегралов означает равенство и самих неопределенных интегралов.

5. Неопределѐнный интеграл от алгебраической суммы двух функций равен сумме неопределѐнных интегралов от слагаемых функций:

	f x g x dx					f x dx g x dx .
Пусть F	x	f	x	и G	x	g x . Тогда
		f	x	g x	dx	f x	g x и
f x dx	g x dx			f x dx			g x dx	f x g x .
Как было		отмечено при				доказательстве		предыдущего

свойства, равенство производных от неопределенных интегралов означает и равенство самих неопределенных интегралов.

6. Если

f x dx F x

C , то и

f u du

F u

C , где

u

x

произвольная

функция,

имеющая

непрерывную

производную

(Свойство

инвариантности

формулы

интегрирования).

Пусть

x

независимая

переменная, f

x

непрерывная

функция,

F x

первообразная

непрерывной

функции

f x ,

u

x

непрерывно-дифференцируемая

функция.

Для

сложной

функции

F u

F

x

в

силу

инвариантности

формы первого дифференциала имеем

dF u

F

u du

f u du .

Тогда

f u du

d F u

F u

C .

Формула для неопределенного интеграла не меняется в зависимости от того, что используется в качестве переменной интегрирования, независимая переменная или любая ее непрерывно-дифференцируемая функция.

21

Так, из формулы x5dx	x6
		C , поменяв x	на tgx ,
	6

получим

tgx 5 d tgx	tgx 6	C , или,
	6

поменяв x на ln x , получим

ln x 5 d ln x	ln x 6	C .
	6

2.3. Таблица неопределѐнных интегралов

Пользуясь тем, что интегрирование есть операция обратная дифференцированию, можно получить таблицу основных интегралов с помощью обращения формул для производной конкретных функций и использовния свойства неопределенного интеграла:

xa dx

xa 1

1 ;

1.

c

a

1

2.

1

;

xdx

c

2

x

3.

dx

1

c ;

x 2

x

4.

dx

ln

x

c x

0 ;

x

a x

5.

a x dx

c

a

0; a 1 ;

ln a

6.

e x dx e x

c ;

7.

sin xdx

cos x

c ;

8.

cos xdx

sin x

c ;

22

9.		dx		tgx c ;

	cos2		x
	cos2		x
10.		dx		ctgx c ;

		sin2	x
		sin2	x

11.

dx

arcsin x

c ;

1

x2

12.

dx

arcsin

x

c ;

a

2

x

2

13.

dx

arctgx c ;

1

x2

14.

dx

1

arctg

x

c ;

a 2

x2

a

dx

15.

ln

x

x2

a2

c ;

x2

a2

16.

dx

1

ln

x

a

c ;

x2

a2

2a

x

a

17.

shxdx

chx

c ;

18.

chxdx

shx

c ;

19.

dx

tgx

c ;

ch 2 x

20.

dx

ctgx

c ;

sh2 x

21.

tgxdx

ln

cos x

c ;

c .

22.

ctgxdx

ln

sin x

Все эти формулы проверяются дифференцированием правой части. Например, проверим формулу 12:

23

arcsin

x

1

a

1

.

a

x 2 a

1

a 2

x 2

a

Проверим формулу 15:

1

2x

ln

x

x2

a 2

1

x2

a 2

x2

a 2

x

2

1

x2

a 2 x

1

.

x

x2

a 2

x2

a 2

x2

a 2

Проверим формулу 16:

1

a x

1

ln

a x

ln

a x

2a

a x

2a

2a a x a x

1

a

x

a x

1

.

2a

a 2

x 2

a 2

x 2

Следует отметить, что в таблице основных интегралов вместо переменной интегрирования x может быть использована непрерывно-дифференцируемая функция переменной x .

В простых случаях неопределенный интеграл с помощью тождественных преобразований подынтегральной функции и использования свойств интеграла приводится к одному или нескольким табличным интегралам, что называется

непосредственным интегрированием.

Пример	2.1. Найти неопределенный интеграл

x7 2x 4 x x	9	dx .
x 2

Решение:

24

1

x7 2x 4 x x 9

x5

2x 2

9x 2 dx x5 dx

dx

x 2

1

x6

2x3

x 1

x 2

2 x2 dx x 2 dx 9 x 2 dx

9

c .

6

3

1

2

2.4 Замена переменной в неопределенном интеграле

Одним из основных методов интегрирование является

метод замены переменной.

Теорема. Пусть функция t

x

непрерывна

и

дифференцируема,

а

функция

g t

непрерывна

и имеет

первообразную G t

,

т.е. G

t

g t

или

g t dt

G t

C ,

тогда

g x x dx G x C .

Доказательство:

Возьмем производную от правой части равенства по x , воспользовавшись правилом дифференцирования сложной функции:

G x C Gx gx .

Поскольку производная оказалась равна подынтегральной функции, т.е. производные правой и левой части равенства совпали, то в исходном равенстве левая и правая части могут отличаться только на постоянную величину, что и требовалось доказать.

Пример 2.2. Найти	esin x cos xdx.
Решение: Пусть t	sin x , тогда dt cos xdx. Тогда
esin x cos xdx et dt et	C esin x C .

25

Материал: Начала математического анализа. Часть 2. Горбунов В.В., Соколова О.А

Смотрите также: