Материал: Н.Н. Акифьева. Метрология, стандартизация и сертификация

6.4Обработка результатов косвенных измерений

При косвенных измерениях искомая величина находится расчетом на основе измерения других величин, связанных с измеряемой величиной известной зависимостью

(6.15)

Результатом косвенного измерения является оценка величины А, которую находят подстановкой оценок аргументов а_i в формулу (6.15).

Задача оценивания погрешности результата решается с учетом вида зависимости , а также с учетом отсутствия или наличия связи (корреляции) между погрешностями аргументов. Вид функциональной зависимости должен быть известен из теоретических предпосылок или установлен экспериментально и, как правило, является нелинейной функцией своих аргументов.

Согласно рекомендации государственной системы обеспечения единства измерений МИ 2083-90 [22], следует различать три случая:

1. линейная зависимость и отсутствие корреляции между погрешностями измерений аргументов;

2. нелинейная зависимость и отсутствие корреляции между погрешностями измерений аргументов;

3. коррелированные погрешности измерений аргументов при наличии рядов отдельных значений измеряемых аргументов.

Рассмотрим последовательно методику обработки результатов косвенных измерений при отсутствии и наличии корреляции между погрешностями измерений аргументов.

6.4.1Косвенные измерения при отсутствии корреляции между погрешностями измерений аргументов

Рассмотрим нелинейную зависимость как более общую зависимость, частным случаем которой является линейная зависимость .

Любую нелинейную функцию можно разложить в ряд Тейлора по малым приращениям аргументов , в качестве которых можно рассматривать абсолютные погрешности измерений аргументов, если только значения этих погрешностей достаточно малы по сравнению с измеряемыми величинами:

, (6.16)

где - функциональная зависимость измеряемой величины А от измеряемых аргументов ; - первая производная от функции f по аргументу a_i, вычисленная в точке ,де аргументы имеют значения среднего арифметического результатов их измерений; - отклонение результата измерения аргумента от его среднего арифметического; - остаточный член.

Остаточным членом пренебрегают, если выполняется условие

, (6.17)

где - среднее квадратическое отклонение случайных погрешностей результата измерения -го аргумента.

Для оценки результата и погрешности косвенного измерения рекомендуется использовать метод линеаризации, согласно которому измерямую величину представляют в виде ряда (6.16), тогда за результат измерения берется величина , вычисленная по формуле

, (6.18)

Среднее квадратическое отклонение случайной погрешности результата косвенного измерения вычисляют по формуле

. (6.19)

Доверительные границы случайной погрешности результата косвенного измерения при заданной доверительной вероятности Р =  и при условии, что распределения погрешностей результатов измерений соответствуют нормальному закону, вычисляют по формуле

(6.20)

где t – коэффициент Стьюдента; –оценка среднего квадратического отклонения результата измерения.

Коэффициент t распределения Стьюдента для среднеквадратического отклонения величины, являющейся функцией многих измереннных аргументов, зависит от выбранной доверительной вероятности Р и числа степеней свободы f_эф . Число степеней свободы вычисляется по формуле

f_эф = , (6.21)

где - число измерений при определении аргумента . Для вычисления доверительного интервала случайной ошибки измерения стандартом рекомендовано значение доверительной вероятности Р=0,95. В случаях, когда измерение нельзя повторить или когда результат измерения важен для здоровья людей рекомендуется принимать Р=0,99.

Границы неисключенной систематической погрешности результата косвенного измерения оценивают по заданным границам неисключенных систематических погрешностей измерений аргументов и заданной доверительной вероятности Р

(6.22)

где k – поправочный коэффициент, определяемый принятой доверительной вероятностью и числом аргументов m. При доверительной вероятности P=0,95 значение коэффициента k принимают равным 1,1.

Так же как и в случае прямых измерений, критерием существенности неисключенной систематической погрешности является отношение . Если <0,8, то неисключенными систематическими погрешностями по сравнению со случайными пренебрегают и принимают, что граница погрешности результата . Если >8, то случайной погрешностью по сравнению с систематической пренебрегают и принимают, что граница погрешности результата . Если значение отношения находится между 0,8 и 8, то границы погрешности результата, в соответствии со стандартом, допускается вычислять по формуле (6.10).

При симметричной доверительной погрешности результат косвенных измерений представляют в форме:

(6.23)

Числовое значение результата измерения должно оканчиваться цифрой того же разряда, что и значение погрешности .

6.4.2Косвенные измерения при наличии корреляции между погрешностями измерений

При наличии корреляции между погрешностями измерений аргументов для определения результатов косвенного измерения и его погрешности рекомендуется [22] метод приведения. Этот метод также рекомендуется при неизвестных распределениях погрешностей измерения аргументов (напомним, что распределение погрешности аргументов считают неизвестным, если гипотезу о нормальном распределении погрешностей следует отклонить в соответствии с принятыми в стандартах критериями).

Метод основан на приведении ряда вычисленных значений косвенно измеряемой величины к ряду прямых измерений, фактически, на имитации ряда прямых измерений.

Ряд значений измеряемой величины получается в результате вычислений величины по формуле , при подстановке в формулу всех возможных сочетаний измеренных значений аргументов , полученных в результате многократных измерений. Длина ряда равняется количеству сочетаний измеренных значений аргументов, которое вычисляется как произведение количества сочетаний из по одному для всех аргументов косвенно измеряемой величины, где - число произведенных измерений аргументов

(6.24)

Результат косвенного измерения вычисляют по формуле

, (6.25)

где - число вычисленных значений косвенно измеряемой величины (длина имитируемого ряда прямых измерений); - -е отдельное значение измеряемой величины, полученное в результате подстановки -го сочетания согласованных измеренных значений аргументов в формулу .

Среднее квадратическое отклонение случайных погрешностей результата косвенного измерения вычисляют по формуле

(6.26)

Доверительные границы случайной погрешности для результата измерения вычисляют по формуле

(6.27)

где - коэффициент, зависящий от выбранной доверительной вероятности и вида распределения отдельных значений косвенно измеряемой величины .

При нормальном распределении отдельных значений косвенно измеряемой величины доверительные границы случайных погрешностей определяют аналогично доверительным границам случайных погрешностей прямых измерений (п.6.2)

Границы неисключенной систематической погрешности, а также доверительные границы общей погрешности результата косвенных измерений при наличии корреляции между погрешностями измерений аргументов вычисляются аналогично границам неисключенной систематической погрешности при отсутствии кореляции (п.6.3.1).

Если границы погрешности результата измерения симметричны, то результат измерения и его общую погрешность представляют в виде

(6.28)

Исследование корреляционной связи между погрешностями аргументов может быть выполнено в соответствии с общей методикой исследования корреляции, необходимый методический минимум приведен в МИ 2083-90.

Пример. Производится косвенное измерение электрической мощности, рассеянной на резисторе сопротивлением R при протекании по нему тока J. В результате измерений тока и сопротивления получены оценки и , а также пределы относительных погрешностей .

Линеаризация исходного уравнения дает

где - остаточный член разложения.

Очевидно, что , т.е. линеаризация допустима, и погрешность результата можно оценить по формуле .

Далее, полагая, что случайные погрешности несущественны по сравнению с систематическими, т.е. выполняется условие , то доверительную погрешность результата измерений можно оценить исходя из свойств используемых приборов

Для доверительной вероятности получим