Материал: Н.Н. Акифьева. Метрология, стандартизация и сертификация

6.2Обработка результатов прямых измерений

При обработке результатов прямых измерений с многократными наблюдениями следует придерживаться рекомендаций ГОСТ 8.207-76³ «Прямые измерения с многократными наблюдениями. Методы обработки результатов наблюдений» [4]. Документ устанавливает основные положения методов обработки результата и оценивания погрешностей результата измерения.

Согласно ГОСТ 8.207-76 при статистической обработке группы результатов наблюдений следует выполнить следующие операции:

• исключить известные систематические погрешности из результатов наблюдений;

• вычислить среднее арифметическое исправленных результатов наблюдений, принимаемое за результат измерения;

• вычислить оценку среднего квадратического отклонения результата наблюдения (т.е. оценку среднего квадратического отклонения результата наблюдения от среднего арифметического);

• вычислить оценку среднего квадратического отклонения результата измерения;

• проверить гипотезу о том, что результаты наблюдений принадлежат нормальному распределению;

• вычислить доверительные границы случайной погрешности (случайной составляющей погрешности) результата измерения;

• вычислить границы неисключенной систематической пгрешности (неисключенных остатков систематической погрешности) результата измерения;

• вычислить доверительные границы погрешности результата измерения.

Если результаты наблюдений можно считать принадлежащими к нормальному распределению, грубые погрешности исключают в соответствии с указаниями, приведенными в ГОСТ 11.002-73.

За результат измерения принимают среднее арифметическое результатов наблюдений, в которые предварительно введены поправки для исключения систематических погрешностей:

, (6.5)

где x_i - i-й исправленный результат наблюдения;

- результат измерения (среднее арифметическое исправленных результатов наблюдений);

n - число результатов наблюдений.

Среднее квадратическое отклонение результата наблюдения оценивают по формуле:

(6.6)

Среднее квадратическое отклонение результата измерения оценивают по формуле:

(6.7)

Проверку принадлежности результатов наблюдений нормальному распределению производят по одному из критериев: Пирсона или Мизеса-Смирнова. Проверку гипотезы следует проводить с уровнем значимости от 10 до 2%. При числе результатов наблюдений принадлежность нормальному распределению согласно ГОСТ 8.207 – 76 допускается не проверять.

Доверительные границы случайной погрешности результата измерения устанавливаются для результатов наблюдений, принадлежащих нормальному распределению. Однако, в практических измерениях, когда число наблюдений редко превышает 15-20, следуя общим традициям статистики, стандартом предусмотрено использование вместо нормального распределения Стьюдента⁴.

При большом числе наблюдений распределение Стьюдента не отличается от нормального, при малом числе наблюдений отличается довольно значительно. Измерения при малом числе наблюдений чаще дают преуменьшенное значение средней квадратической погрешности по сравнению с погрешностью для большого ряда тех же наблюдений. Распределение Стьюдента учитывает это обстоятельство, и при одинаковой доверительной вероятности значение коэффициента , где - доверительный интервал, больше в распределении Стьюдента, чем в нормальном.

Используя коэффициенты Cтьюдента t, можно определить

а) доверительный интервал при заданной доверительной вероятности Р = 

(6.8)

где t – коэффициент Стьюдента; –оценка среднего квадратического отклонения результата измерения;

б) доверительную вероятность Р =  при заданном доверительном интервале :

Коэффициент t распределения Стьюдента зависит от числа наблюдений n и выбранной доверительной вероятности Р и находится по таблице (Приложение 2). Так при числе наблюдений n = 5 и доверительной вероятности Р =  = 0,95 t = t_0,95;5 = 2,776.

Для вычисления доверительного интервала случайной ошибки измерения стандартом рекомендовано значение доверительной вероятности Р=0,95. В случаях, когда измерение нельзя повторить или когда результат измерения важен для здоровья людей рекомендуется принимать Р=0,99.

После оценки доверительного интервала случайной погрешности , производят оценку доверительных границ неисключенной систематической погрешности.

Неисключенная систематическая погрешность результата складывается из неисключенных систематических погрешностей:

• метода;

• средства измерений;

• других источников.

Чаще всего неисключенной оставляют систематическую погрешность средства измерения. В качестве границ составляющей неисключенной систематической погрешности средства измерения принимают предел допускаемой основной погрешности, а также дополнительные систематические погрешности.

Границы неисключенной систематической погрешности , при условии равномерного распределения неисключенных систематических погрешностей, вызванных различными источниками, оцениваются по формуле:

при или при (6.9)

где - граница i-й неисключенной систематической погрешности;

k – коэффициент, определяемый принятой доверительной вероятностью. Коэффициент k принимают равным 1,1 при доверительной вероятности Р=0,95.

Доверительную вероятность для вычисления границ неисключенной систематической погрешности принимают той же, что при вычислении доверительных границ случайной погрешности результата измерения.

Критерием существенности неисключенной систематической погрешности является отношение . Если <0,8, то неисключенными систематическими погрешностями по сравнению со случайными пренебрегают и принимают, что граница погрешности результата . Если >8, то случайной погрешностью по сравнению с систематической пренебрегают и принимают, что граница погрешности результата . Если значение отношения находится между 0,8 и 8, то границы погрешности результата, в соответствии со стандартом, допускается вычислить по формуле:

, (6.10)

где K- коэффициент, зависящий от соотношения случайной и неисключенной систематической погрешностей;

- оценка суммарного среднего квадратического отклонения результата измерения.

Оценку суммарного среднего квадратического отклонения результата измерения производят по формуле:

(6.11)

Для вычисления коэффициента К стандартом рекомендуется эмпирическая формула:

(6.12)

При симметричной доверительной погрешности результат измерений представляют в форме:

(6.13)

Числовое значение результата измерения должно оканчиваться цифрой того же разряда, что и значение погрешности .

6.3Прямые однократные измерения

Подавляющее большинство технических измерений являются однократными. При однократных измерениях для получения результата измерения используется одно единственное значение показаний прибора. Однократное измерение, будучи фактически случайным, включает в себя инструментальную, методическую и субъективную составляющие погрешности измерения, в каждой из которых могут быть выделены систематические и случайные составляющие.

Особенностью однократных измерений является отсутствие информации о законах распределения случайных составляющих.

При измерении с точным оцениванием погрешности необходимо произвести оценку систематических и случайных составляющих погрешностей с последующим их раздельным суммированием.

где - доверительные границы результирующей случайной погрешности; - доверительная граница неисключенной систематической погрешности; P – доверительная вероятность, принятая при оценивании погрешностей.

По паспортным данным может быть получена оценка систематической погрешности прибора, а из анализа метода измерения – оценка систематической погрешности методического происхождения. После исключения из отсчета всех известных систематических погрешностей можно полагать, что погрешность исправленного результата состоит из неисключенных остатков систематических погрешностей и случайных составляющих погрешностей.

Доверительная граница систематической погрешности может быть рассчитана по формуле (6.9). В качестве границ _i принимают пределы допустимых основных и дополнительных погрешностей средств измерений, погрешности расчетных поправок и др.

Составляющие случайных погрешностей могут быть рассчитаны по формуле (6.8), где оценка среднеквадратичного отклонения результата измерения найдена предварительно по результатам многократных наблюдений, с использованием данного метода и данного измерительного средства.

В практике часто встречаются прямые однократные измерения с приближенным оцениванием погрешности на основе метрологических характеристик средств измерения.

Верхняя оценка погрешности результата измерения может быть найдена суммированием составляющих по абсолютной величине:

(6.14)

где - предел допускаемой погрешности прибора; - дополнительные погрешности, связанные с эксплуатацией прибора в рабочих условиях.

Пример. Выполнено однократное измерение напряжения вольтметром класса точности 0,5 на участке электрической цепи сопротивлением R_i = 3 Ом. Показание вольтметра 0,9 В; шкала прибора 01,5 В; внутреннее сопротивление вольтметра R_v = 1000 Ом; измерения выполнены при температуре среды +30^оС.

Оценим составляющие погрешности измерения методом приближенного оценивания погрешности.

Рис. 6.1. Схема измерения

Методическая погрешность определяется соотношением между сопротивлением участка цепи , на котором производится измерение падения напряжения, и сопротивлением вольтметра . Значение измеряемого напряжение и измеренное значение связаны между собой соотношением

Это соотношение позволяет найти значение измеряемого напряжения по измеренному значению , исключив тем самым методическую погрешность

Инструментальная составляющая погрешности измерения определяется основной и дополнительной погрешностями.

Допускаемая относительная погрешность вольтметра

 = (0,51,5)/0,9 = 0,83 %.

Дополнительная температурная погрешность определяется по паспортным данным и находится в пределах  0,5 %.

Границы погрешности результата измерений

_ = 0,83 + 0,50 = 1,33 %.

Поскольку измерение не относится к точным, числовое значение погрешности можно округлить до _ = 1,3 %. В форме абсолютной погрешности граница погрешности результата измерения равна _ = 0,01 В.

Округляя, результат измерения можно представить в виде

U_x = (0,90  0,01) В.