Материал: Определение длины световой волны с помощью дифракционной решетки (90
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
|
a |
|
+ α) . |
|
dA = |
r cos(ωt − |
kr |
(1) |
В соотношении (1) амплитуда а пропорциональна площади dS и зависит от угла ϕ между нормалью n к dS и радиус-вектором r от dS к точке Р, т.е.
a = B(ϕ ) × a0 × dS,
где В(ϕ) - некоторый коэффициент, зависящий от ϕ,
a0 - амплитуда колебаний на единичном расстоянии от элемента dS. Результирующее колебание в точке Р представляет собой суперпозицию ко-
лебаний (1), взятых для всей поверхности S:
A = ò B(ϕ ) |
a |
0 |
cos(ωt − |
|
+ α)dS, |
|
|||
|
kr |
(2) |
|||||||
r |
|||||||||
S |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где k - волновой вектор, k = |
|k| = |
2π |
- модуль волнового вектора (волновое |
||||||
λ |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
число),
(ωt+α) - фаза колебаний в месте расположения элемента поверхности dS. Каждый элемент dS рассматривается как некоторый вспомогательный источник. Так как фазы всех вспомогательных источников определяются колебанием, идущим из первичного источника света, то они строго согласованы между собой, и, следовательно, вспомогательные источники когерентны. В случае если вспомогательная поверхность S совпадает с фронтом волны, идущей из первичного источника света, то все вспомогательные источники будут иметь одинаковую фазу. Если же выбор S сделан иначе, то фазы вспомогательных источников не
одинаковы, но источники, конечно, остаются когерентными.
1 Дифракция Фраунгофера от одной щели
Точное вычисление интеграла (2) возможно только в простейших случаях. Обычно его вычисляют с помощью приближённых методов. В частности, точный расчет интеграла (2) возможен для дифракции Фраунгофера от щели. Пусть, на щель шириной b падает плоская монохроматическая световая волна (рисунок 2). Поместим за щелью собирающую линзу, а в фокальной плоскости линзы - экран. Волновая поверхность падающей волны, плоскость щели и экран параллельны друг другу.
Наша цель - найти распределение интенсивности света в плоскости экрана. При этом мы используем примечательное свойство собирающей линзы - все параллельные пучки света 00', NN', FF' собираются в одной и той же точке Р фокальной плоскости линзы, в которой расположен экран. Для аналитического расчета интенсивности света, распространяющегося по разным направлениям за щелью, напишем выражение для волны, посылаемой каждым элементом
6
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
волнового фронта и просуммируем действие всех элементов. Амплитуда волны, обусловленной одним таким элементом, пропорциональна его ширине dх, т.е. равна C×dx. Множитель С определяется из условия, что по направлению j = 0
амплитуда волны, посылаемой всей щелью, равна A0, т.е. C×b = A0, или С = Ab0 .
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
х |
|
х |
|
0 |
|
|
|
|
|
О |
N |
F |
|
|
|
|
|
D=xsinj |
|
|
|
j |
|
|
||
|
Q |
|
|
||
О¢ |
|
|
Собирающая линза |
||
|
N¢ |
F¢ |
|||
экран
РРисунок 2
Таким образом, световое колебание на соответствующем участке dx щели выразится соотношением:
dA = |
A0 |
× dx × cos(ω × t) |
(3) |
|
b |
||||
|
|
|
Для отыскания действия всей щели в направлении, определяемом углом j с первоначальным направлением, необходимо учесть разность фаз, характеризующую волны, доходящие от различных элементов волнового фронта до точки наблюдения Р.
Из рисунка 2 видно, что разность хода между волнами, идущими от элементарной зоны при точке О (левый край щели) и от какой – либо точки N (лежащей на расстоянии х от края щели), есть NQ = ∆ = x×sinj. Световое колебание, идущее от элемента dх в точке N, в точку Р экрана запишем следующим образом:
dA = |
A0 |
cos(ωt - kx × sinϕ )dx |
(4) |
|
b |
||||
|
|
|
Результирующее колебание в точке Р определится как сумма этих выражений, т.е. выразится интегралом по всей ширине щели:
7
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
b |
|
|
|
æ |
1 |
|
ö |
|
|
|
|
|
A0 |
|
|
sinç |
2 |
bk × sin j ÷ |
|
1 bk × sin j |
|
|
|||
A = |
× cos(ω × t - kx × sin j )dx = A |
|
è |
|
ø |
× cosæ |
ω × t - |
ö |
(5) |
|||
|
0 |
|
|
|
|
÷ |
||||||
ò0 |
b |
1 |
|
|
ç |
|
2 |
|
||||
|
|
|
è |
|
ø |
|
||||||
|
|
|
|
2 bk × sin j |
|
|
|
|
|
|
||
Таким образом, результирующая волна, идущая в направлении j имеет амплитуду:
|
|
|
æ |
1 |
ö |
|
|
æ |
πb × sin j |
ö |
|
|
|
|
|
sinç |
2 |
bk × sin j ÷ |
|
|
sinç |
λ |
÷ |
|
|
Aϕ |
= |
A0 |
è |
ø |
= |
A0 |
è |
ø |
, |
(6) |
||
1 bk × sin j |
πb × sin j |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
λ |
|
|
|
так как k = 2πλ .
Для точки, лежащей против центра линзы, j=0 и Аϕ½ϕ=0=А0. При j=0 колебания от всех элементарных зон приходят в точку Р в одинаковой фазе. Поэтому амплитуда результирующего колебания равна алгебраической сумме амплитуд складываемых колебаний.
При значениях j, удовлетворяющих условию
πb × sinϕ |
=±np, |
(7) |
λ |
|
|
т.е. в случае, если b×sinj = ± nl, (n = 1,2,3,..), амплитуда Аϕ обращается в нуль. Условию (7) можно дать простое объяснение. Допустим, что n=1. Тогда раз-
ность хода между лучами, идущими от краёв щели, составляет l, или разность фаз между этими лучами равна 2p. Тогда для любого луча, проходящего через щель, можно найти другой луч, колебания вектора напряжённости электрического поля в котором происходят в противофазе с первым лучом (разность фаз составляет p). Эти два луча в точке Р, в которой собираются лучи идущие в направлении j, взаимно компенсируют друг друга. Очевидно, эти рассуждения можно повторить для любого целого n. Таким образом, если на разности хода между лучами, идущими от краёв щели в направлении j, укладывается целое число длин волн, то в точке Р экрана Аϕ = 0.
Интенсивность света пропорциональна квадрату амплитуды. Следовательно, в соответствии с (6):
|
|
sin |
2 |
æ πb × sinj |
ö |
|
|
|||
|
|
|
ç |
λ |
|
|
÷ |
|
|
|
Iϕ |
= I0 |
|
|
è |
|
|
ø |
, |
(8) |
|
æ |
πb × sinj |
ö |
2 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
ç |
|
|
λ |
÷ |
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
ø |
|
|
|
|
|
8
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
где I0 - интенсивность света в середине дифракционной картины (против центра линзы),
Iϕ-интенсивность в точке, положение которой определяется значением j. Выражения (7) и (8) показывают, что вдоль экрана (с изменением угла j)
интенсивность меняется, проходя через максимумы и минимумы, в частности, краям центрального максимума соответствуют значения угла j, получающиеся из условия b×sinj = ±l. Эти значения угла j равны ±arccos(l/b). Следовательно, угловая ширина центрального максимума равна dj = 2arccos(l/b). На рисунке 3 показана кривая распределения интенсивности Iϕ в зависимости от sinj.
Iϕ
I0
-2 |
- |
0 |
λ |
2 |
3 |
sinj |
|
b |
|
||||
|
|
|
|
|
|
Рисунок 3 Как видно из рисунка 3 величина вторичных максимумов быстро убывает.
Так, расчет по формуле (8) дает, что численные значения интенсивностей центрального и следующих максимумов относятся как 1 : 0,045 : 0,016 : 0,008 и т.д.
Из приведенных выше формул ясно, что положение минимумов и максимумов зависит от длины волны l. Поэтому дифракционная картина имеет описанный вид лишь для монохроматического света. В случае белого света мы имеем совокупность соответствующих картин для разных цветов (сдвинутых одна относительно другой в соответствии с различием в l).
Центральный максимум (j = 0) будет, конечно, общим для всех длин волн, так что центр дифракционной картины представится в виде белой полоски, переходящей в цветную каемку. Вторичные максимумы для разных длин волн уже не совпадают между собой; ближе к центру располагаются максимумы, соответствующие более коротким волнам. Длинноволновые максимумы отстоят друг от друга дальше, чем коротковолновые. Однако максимумы эти настолько расплывчаты, что никакого сколько-нибудь отчетливого разделения различных длин волн (спектрального разложения) при помощи дифракции на одной щели получить нельзя. Для получения более яркой дифракционной картины используются дифракционные решетки.
9
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2 Дифракционная решетка
Дифракционные решетки бывают различных типов – прозрачные, отражательные, пространственные, амплитудные, фазовые. В данной работе используется прозрачная дифракционная решетка. В дальнейшем тексте используется термин ²дифракционная решетка², хотя имеется в виду прозрачная дифракционная решетка.
Дифракционная решетка представляет собой совокупность большого числа одинаковых отстоящих друг от друга на равных расстояниях параллельных щелей, разделенных непрозрачными промежутками, нанесенными тем или иным способом на плоскую или вогнутую оптическую поверхность. Дифракционная решетка используется в спектральных приборах в качестве диспергирующей системы для пространственного разложения электромагнитного излучения (в т.ч. света) в спектр. Фронт световой волны, падающей на дифракционную решетку, разбивается ее непрозрачными участками (штрихами) на отдельные когерентные пучки, которые, претерпев дифракцию на штрихах, интерферируют, образуя результирующее пространственное распределение света – спектр излучения.
b |
a |
d |
|
|
j |
j |
|
D=d×sinj |
Собирающая линза
Р |
экран |
Рисунок 4
Плоская дифракционная решётка представляет собой периодическую структуру с постоянным расстоянием d между штрихами, которое называется периодом дифракционной решетки (рисунок 4), причем d = a + b, где а - ширина непро-
зрачной части (штриха), b - ширина щели. На рисунке 4 j - угол дифракции, D - разность хода между лучами, проходящими через соседние щели при падении нормально на решетку плоской монохроматической световой волны.
Выясним характер дифракционной картины на экране. Каждая из щелей дает на экране картину, описываемую кривой, изображенной на рисунке 3. При
10